Für setzt man
Falls die Reihe absolut konvergiert
- Bemerkung
konvergiert genau dann absolut, wenn und konvergieren
Es ist zu beachten, dass:
Eine absolut konvergente Reihe kann beliebig umgeordnet werden, d.h. für jede Umordnung gilt
(absolute Konvergenz auch links)
- Beweis
zuerst seien alle
absolute Konvergenz von und
auch
(*)
mit
Wenn und absolut konvergent, dann auch und es gilt (*)
- Diagonalsummen
- Spaltensummen
- Zeilensummen
- Quadratsummen
- Cauchyprodukt
- Beweis
Zuerst alle
alle
(1) beschränkt, also konvergent
(1) + (2) (*)
vier Produkte wie im 1. Teil
:
- Beispiel
-
-
-
hier fehlt einiges .....
- Beispiel
hier fehlt einiges .....
- Beispiel
konvergiert nach Leibniz, aber nicht absolut
die Reihe divergiert!
divergent
Sei ein doppelt indiziertes Schema
Dann heißt Doppelreihe.
Sie heißt absolut konvergent, wenn für eine Abzählung von die Reihe absolut konvergiert.
Man sieht
Dies ist unabhängig von .
Eine Abzählung von ist eine bijektive Abbildung
- Beispiel
bijektiv: weil jedes hat eine eindeutige Darstellung der Form
- Beweis
Seien
hier fehlt etwas ...
Bijektion
ist Umordnung von
Umordnungssatz
- Beispiel
-
- Zeilensummen
- Spaltensummen
- Quadratsummen
- Diagonalsumme
falls die linksstehende Reihe oder eine der rechts stehenden Reihen mit anstelle existiert.
- Beweis
- Für
- dann mit
- dann mit
- alle dann mit :
-
- existiert, dann
-
-
Zeilensummen, Spaltensummen genauso
Quadratsummen:
-
Spezialfall:
- mit
Diagonalsummen:
-
Umkehrung: Eine rechte Seite existiert:
-
-
Es genügt den Fall der Diagonalsummen zu betrachten.
- zu zeigen
-
-
- Beispiel
-
- für
- für
existiert nicht.