Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§6 Doppelreihen

6.1 Vorbemerkung

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Für   setzt man

 


 

 

   

Falls die Reihe   absolut konvergiert

Bemerkung

  konvergiert genau dann absolut, wenn   und   konvergieren

Es ist zu beachten, dass:  

6.2 Umordnung einer Folge/ Reihe

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Eine Umordnung einer Folge/ Reihe ist eine Bijektion  

(oder   ):

Die umgeordnete Folge ist (Reihe):

 
 
Beispiel
1 2 3 4 5 6 7  8  9...
1 2 4 3 6 8 5 10 12 ...

 

 
 
 

Bijektion  

 

6.3 Umordnungssatz von Riemann

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Ist   konvergent, aber nicht absolut konvergent, und ist   gegeben, dann existiert eine Umordnung   mit  

(ohne Beweis)

6.4 Umordnungssatz

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Eine absolut konvergente Reihe kann beliebig umgeordnet werden, d.h. für jede Umordnung gilt

 

(absolute Konvergenz auch links)

Beweis

zuerst seien alle  

 

  absolute Konvergenz von   und  

auch  

   

 

 

 

6.5 Multiplikation von Reihen

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(*)  

mit  

Wenn   und   absolut konvergent, dann auch   und es gilt (*)

 

  • Diagonalsummen
  • Spaltensummen
  • Zeilensummen
  • Quadratsummen
Cauchyprodukt
Beweis

Zuerst alle  

 

alle  

 

(1)   beschränkt, also   konvergent

(1) + (2)   (*)


     

vier Produkte wie im 1. Teil

  :

 

Beispiel
 
 
 


hier fehlt einiges .....


Beispiel


hier fehlt einiges .....


Beispiel

  konvergiert nach Leibniz, aber nicht absolut

  die Reihe divergiert!

 

 

  divergent

6.6 Doppelreihe

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Sei   ein doppelt indiziertes Schema  

Dann heißt   Doppelreihe.

Sie heißt absolut konvergent, wenn für eine Abzählung   von   die Reihe   absolut konvergiert.

Man sieht  

Dies ist unabhängig von  .

Eine Abzählung von   ist eine bijektive Abbildung  

 

Beispiel

 

bijektiv: weil jedes   hat eine eindeutige Darstellung der Form  

Beweis

Seien  


hier fehlt etwas ...


 

Bijektion  

 

  ist Umordnung von  

Umordnungssatz


Beispiel
 

6.7 Doppelreihensatz

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  Zeilensummen
  Spaltensummen
  Quadratsummen
  Diagonalsumme

falls die linksstehende Reihe oder eine der rechts stehenden Reihen mit   anstelle   existiert.

Beweis
Für  
dann   mit  
dann   mit  
alle dann   mit  :
 
  existiert, dann  
 
 

Zeilensummen, Spaltensummen genauso

Quadratsummen:

 

Spezialfall:

mit  

Diagonalsummen:

 

Umkehrung: Eine rechte Seite existiert:

 
 

Es genügt den Fall der Diagonalsummen zu betrachten.

zu zeigen
 
 
Beispiel
 
  für  
  für  

  existiert nicht.

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.