Sei
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
eine natürliche Zahl. Das kartesische Produkt
R
n
:=
R
×
…
×
R
⏟
n
−
m
a
l
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} } _{n-mal}}
bezeichnen wir als
n
{\displaystyle n}
-dimensionalen reellen Zahlenraum. Ein Punkt
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
ist ein geordnetes
n
{\displaystyle n}
-Tupel reeller Zahlen. Das ausgezeichnete Element
0
:=
(
0
,
…
,
0
)
∈
R
n
{\displaystyle 0:=(0,\ldots ,0)\in \mathbb {R} ^{n}}
heißt Nullelement bzw. Nullvektor . Seien weiter
x
,
y
∈
R
n
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}
und
λ
∈
R
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }
, so erklären wir durch
(1)
x
+
y
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
+
(
y
1
,
…
,
y
n
)
:=
(
x
1
+
y
1
,
…
,
x
n
+
y
n
)
{\displaystyle x+y=(x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})}
eine Addition und durch
(2)
λ
⋅
x
=
λ
⋅
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:=
(
λ
⋅
x
1
,
…
,
λ
⋅
x
n
)
{\displaystyle \lambda \cdot x=\lambda \cdot (x_{1},\ldots ,x_{n}):=(\lambda \cdot x_{1},\ldots ,\lambda \cdot x_{n})}
eine skalare Multiplikation .
1. Für zwei Punkte
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
y
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∈
R
n
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),y=(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
gilt:
x
=
y
⇔
x
k
=
y
k
{\displaystyle x=y\Leftrightarrow x_{k}=y_{k}}
für
k
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle k=1,\ldots ,n}
.
2. Für beliebige
x
,
y
∈
R
n
,
λ
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n},\lambda \in \mathbb {R} }
sind
x
+
y
∈
R
n
{\displaystyle x+y\in \mathbb {R} ^{n}}
und
λ
x
∈
R
n
{\displaystyle \lambda x\in \mathbb {R} ^{n}}
. Somit wird aufgrund der Eigenschaften von
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
als Körper der Raum
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
zusammen mit den Verknüpfungen (1) und (2) zu einem
n
{\displaystyle n}
-dimensionalen Vektorraum über
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
.
Seien
x
,
y
∈
R
n
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}
zwei Vektoren, so erklären wir deren Skalarprodukt (auch inneres Produkt genannt) durch
(3)
x
⋅
y
:=
(
x
,
y
)
:=
∑
k
=
1
n
x
k
y
k
{\displaystyle x\cdot y:=(x,y):=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}}
und den Betrag bzw. die Norm (euklidische Norm oder 2-Norm) des Vektors
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
durch
(4)
|
x
|
:=
(
x
,
x
)
=
∑
k
=
1
n
x
k
2
{\displaystyle |x|:={\sqrt {(x,x)}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}}}
.
Es gilt
|
x
|
=
0
⇔
x
=
0
{\displaystyle |x|=0\Leftrightarrow x=0}
.
(Eigenschaften der Norm ||•|| in einem Vektorraum V über einem Körper K sind Nichtnegativität, Definitheit, absolute Homogenität, Subadditivität )
Zwei Vektoren
x
,
y
∈
R
n
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}
heißen zueinander orthogonal (symbolisch:
x
⊥
y
{\displaystyle x\perp y}
), falls
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle (x,y)=0}
gilt.
Für alle
x
,
y
∈
R
n
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}
gelten die folgenden Ungleichungen
(5)
|
(
x
,
y
)
|
≤
|
x
|
⋅
|
y
|
{\displaystyle |(x,y)|\leq |x|\cdot |y|}
,
(6)
|
x
+
y
|
≤
|
x
|
+
|
y
|
{\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}
(Dreiecksungleichung),
(7)
|
x
−
y
|
≥
|
|
x
|
−
|
y
|
|
{\displaystyle |x-y|\geq ||x|-|y||}
.
Seien
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
y
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∈
R
n
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),y=(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
. Mit Hilfe der Ungleichung von Cauchy-Schwarz erhalten wir:
(
x
,
y
)
2
=
(
3
)
(
∑
k
=
1
n
x
k
y
k
)
2
≤
(
∑
k
=
1
n
x
k
2
)
⋅
(
∑
k
=
1
n
y
k
2
)
=
(
4
)
|
x
|
2
⋅
|
y
|
2
{\displaystyle (x,y)^{2}{\stackrel {(3)}{=}}\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right)^{2}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right){\stackrel {(4)}{=}}|x|^{2}\cdot |y|^{2}}
.
Durch Wurzelziehen erhalten wir die Behauptung.
Wir berechnen
|
x
+
y
|
2
=
(
4
)
∑
k
=
1
n
(
x
k
+
y
k
)
2
=
∑
k
=
1
n
(
x
k
2
+
2
x
k
y
k
+
y
k
2
)
=
∑
k
=
1
n
x
k
2
+
2
∑
k
=
1
n
x
k
y
k
+
∑
k
=
1
n
y
k
2
{\displaystyle |x+y|^{2}{\stackrel {(4)}{=}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})^{2}=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}^{2}+2x_{k}y_{k}+y_{k}^{2})=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}+2\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\sum _{k=1}^{n}y_{k}^{2}}
=
(
3
)
,
(
4
)
|
x
|
2
+
2
(
x
,
y
)
+
|
y
|
2
≤
|
x
|
2
+
2
|
(
x
,
y
)
|
+
|
y
|
2
≤
(
5
)
|
x
|
2
+
2
|
x
|
|
y
|
+
|
y
|
2
=
(
|
x
|
+
|
y
|
)
2
{\displaystyle {\stackrel {(3),(4)}{=}}|x|^{2}+2(x,y)+|y|^{2}\leq |x|^{2}+2|(x,y)|+|y|^{2}{\stackrel {(5)}{\leq }}|x|^{2}+2|x||y|+|y|^{2}=(|x|+|y|)^{2}}
und Radizieren liefert die Behauptung.
Es gilt einerseits
|
x
|
=
|
x
−
y
+
y
|
≤
(
6
)
|
x
−
y
|
+
|
y
|
{\displaystyle |x|=|x-y+y|{\stackrel {(6)}{\leq }}|x-y|+|y|}
also
|
x
|
−
|
y
|
≤
|
x
−
y
|
{\displaystyle |x|-|y|\leq |x-y|}
. Andererseits haben wir
|
y
|
=
|
y
−
x
+
x
|
≤
(
6
)
|
y
−
x
|
+
|
x
|
{\displaystyle |y|=|y-x+x|{\stackrel {(6)}{\leq }}|y-x|+|x|}
also
−
(
|
x
|
−
|
y
|
)
=
|
y
|
−
|
x
|
≤
|
y
−
x
|
=
|
x
−
y
|
{\displaystyle -(|x|-|y|)=|y|-|x|\leq |y-x|=|x-y|}
. Es folgt schließlich (7)
q.e.d.
Unter einer Punktfolge im
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
verstehen wir – wie üblich – die Abbildung
N
∋
k
↦
x
(
k
)
∈
R
n
{\displaystyle \mathbb {N} \ni k\mapsto x^{(k)}\in \mathbb {R} ^{n}}
, welche wir zu
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
⊂
R
n
{\displaystyle \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{n}}
abkürzen. Eine Teilfolge dieser Punktfolge
{
x
(
k
l
)
}
l
∈
N
⊂
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
{\displaystyle \{x^{(k_{l})}\}_{l\in \mathbb {N} }\subset \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }}
wird gegeben durch die aufsteigende Auswahl der Indices
1
≤
k
1
<
k
2
<
k
3
<
…
{\displaystyle 1\leq k_{1}<k_{2}<k_{3}<\ldots }
.
Wir sprechen von einer beschränkten Punktfolge , wenn es eine Schranke
c
∈
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle c\in [0,+\infty )}
so gibt, dass
|
x
(
k
)
|
≤
c
{\displaystyle |x^{(k)}|\leq c}
für alle
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
erfüllt ist.
Eine Punktfolge
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
⊂
R
n
{\displaystyle \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{n}}
heißt konvergent genau dann, wenn es ein
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
gibt, so dass
(8)
lim
k
→
∞
|
x
(
k
)
−
x
|
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }|x^{(k)}-x|=0}
gilt. Der Punkt
x
{\displaystyle x}
heißt Grenzpunkt der Folge und ist eindeutig bestimmt. Wir schreiben
x
=
lim
k
→
∞
x
(
k
)
{\displaystyle x=\lim _{k\to \infty }x^{(k)}}
oder
x
(
k
)
→
x
(
k
→
∞
)
{\displaystyle x^{(k)}\to x\ (k\to \infty )}
.
Sei
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
⊂
R
n
{\displaystyle \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{n}}
mit
x
(
k
)
=
(
x
1
(
k
)
,
…
,
x
n
(
k
)
)
,
k
∈
N
{\displaystyle x^{(k)}=(x_{1}^{(k)},\ldots ,x_{n}^{(k)}),k\in \mathbb {N} }
, eine Punktfolge und
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
ein Punkt. Dann gilt
x
(
k
)
→
x
(
k
→
∞
)
{\displaystyle x^{(k)}\to x\ (k\to \infty )}
genau dann, wenn
x
i
(
k
)
→
x
i
(
k
→
∞
)
{\displaystyle x_{i}^{(k)}\to x_{i}\ (k\to \infty )}
für
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
richtig ist.
„
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
“:
Gilt
lim
k
→
∞
|
x
(
k
)
−
x
|
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }|x^{(k)}-x|=0}
, so folgt wegen
0
≤
|
x
i
(
k
)
−
x
i
|
≤
|
x
(
k
)
−
x
|
{\displaystyle 0\leq |x_{i}^{(k)}-x_{i}|\leq |x^{(k)}-x|}
für
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
und alle
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
die Relation
lim
k
→
∞
|
x
i
(
k
)
−
x
i
|
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }|x_{i}^{(k)}-x_{i}|=0}
für
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
.
„
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
“:
Gilt
lim
k
→
∞
|
x
i
(
k
)
−
x
i
|
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }|x_{i}^{(k)}-x_{i}|=0}
für
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
, so haben wir
lim
k
→
∞
max
{
|
x
i
(
k
)
−
x
i
|
:
i
=
1
,
…
,
n
}
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\max \left\{|x_{i}^{(k)}-x_{i}|:i=1,\ldots ,n\right\}=0}
.
Wegen der Ungleichung
0
≤
|
x
(
k
)
−
x
|
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
(
k
)
−
x
i
)
2
≤
∑
i
=
1
n
(
max
{
|
x
i
(
k
)
−
x
i
|
:
i
=
1
,
…
,
n
}
)
2
{\displaystyle 0\leq |x^{(k)}-x|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{(k)}-x_{i}\right)^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(\max \left\{|x_{i}^{(k)}-x_{i}|:i=1,\ldots ,n\right\}\right)^{2}}}}
=
n
⋅
max
{
|
x
i
(
k
)
−
x
i
|
:
i
=
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle ={\sqrt {n}}\cdot \max \left\{|x_{i}^{(k)}-x_{i}|:i=1,\ldots ,n\right\}}
für alle
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
folgt schließlich
lim
k
→
∞
|
x
(
k
)
−
x
|
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }|x^{(k)}-x|=0}
.
q.e.d.
Eine Punktfolge
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
⊂
R
n
{\displaystyle \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{n}}
heißt Cauchy-Folge (oder auch in sich konvergente Folge ) genau dann, wenn die folgende Aussage richtig ist: Zu jedem
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
gibt es eine natürliche Zahl
N
=
N
(
ε
)
∈
N
{\displaystyle N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N} }
, so dass
|
x
(
k
)
−
x
(
l
)
|
<
ε
{\displaystyle |x^{(k)}-x^{(l)}|<\varepsilon }
für alle
k
,
l
≥
N
{\displaystyle k,l\geq N}
erfüllt ist.
Satz 2 (Cauchysches Konvergenzkriterium im
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
)
Bearbeiten
Satz 3 (Weierstraßscher Häufungsstellensatz im
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
)
Bearbeiten
Sei
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
{\displaystyle \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }}
mit
x
(
k
)
=
(
x
1
(
k
)
,
…
,
x
n
(
k
)
)
{\displaystyle x^{(k)}=(x_{1}^{(k)},\ldots ,x_{n}^{(k)})}
,
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
, eine beschränkte Folge, d. h. es gibt eine reelle Zahl
c
>
0
{\displaystyle c>0}
, so dass
|
x
(
k
)
|
≤
c
{\displaystyle |x^{(k)}|\leq c}
für alle
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
richtig ist. Dann gibt es eine Teilfolge
{
x
(
k
p
)
}
p
∈
N
⊂
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
{\displaystyle \{x^{(k_{p})}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }}
und ein
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
, so dass
x
(
k
p
)
→
x
(
k
→
∞
)
{\displaystyle x^{(k_{p})}\to x\ (k\to \infty )}
gilt.
Für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
haben wir den Weierstraßschen Häufungsstellensatz in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(Satz 4 aus §3) bereits gezeigt.
Sei nun
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
beliebig und
z
(
k
)
=
(
x
1
(
k
)
,
…
,
x
n
−
1
(
k
)
)
∈
R
n
−
1
,
k
∈
N
{\displaystyle z^{(k)}=(x_{1}^{(k)},\ldots ,x_{n-1}^{(k)})\in \mathbb {R} ^{n-1},\quad k\in \mathbb {N} }
gesetzt, so erhalten wir
x
(
k
)
=
(
z
(
k
)
,
x
n
(
k
)
)
,
k
∈
N
{\displaystyle x^{(k)}=\left(z^{(k)},x_{n}^{(k)}\right),\quad k\in \mathbb {N} }
.
Dabei ist
{
z
(
k
)
}
k
∈
N
{\displaystyle \{z^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }}
eine Punktfolge im
R
n
−
1
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}
. Wir haben dann die Abschätzung
c
2
≥
|
x
(
k
)
|
2
=
|
z
(
k
)
|
2
+
(
x
n
(
k
)
)
2
,
k
∈
N
{\displaystyle c^{2}\geq |x^{(k)}|^{2}=|z^{(k)}|^{2}+(x_{n}^{(k)})^{2},\quad k\in \mathbb {N} }
und somit
|
z
(
k
)
|
≤
c
{\displaystyle |z^{(k)}|\leq c}
sowie
|
x
n
(
k
)
|
≤
c
{\displaystyle |x_{n}^{(k)}|\leq c}
für alle
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
.
Es sind also
{
z
(
k
)
}
k
∈
N
⊂
R
n
−
1
{\displaystyle \{z^{(k)}\}{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{n-1}}
und
{
x
n
(
k
)
}
k
∈
N
⊂
R
{\displaystyle \{x_{n}^{(k)}\}{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} }
beschränkte Punktfolgen. Gelte nun die Aussage von Satz 3 bereits für
n
−
1
{\displaystyle n-1}
. Dann können wir eine Teilfolge
{
z
(
k
p
)
}
p
∈
N
⊂
{
z
(
k
)
}
k
∈
N
{\displaystyle \{z^{(k_{p})}\}{p\in \mathbb {N} }\subset \{z^{(k)}\}{k\in \mathbb {N} }}
und ein
z
=
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
∈
R
n
−
1
{\displaystyle z=(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}}
so finden, dass
z
(
k
p
)
→
z
(
p
→
∞
)
{\displaystyle z^{(k_{p})}\to z\ (p\to \infty )}
bzw.
x
i
(
k
p
)
→
x
i
(
p
→
∞
)
{\displaystyle x_{i}^{(k_{p})}\to x_{i}\ (p\to \infty )}
für
i
=
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}
richtig ist. Wegen
|
x
n
(
k
)
|
≤
c
{\displaystyle |x_{n}^{(k)}|\leq c}
für alle
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
haben wir
|
x
n
(
k
p
)
|
≤
c
{\displaystyle |x_{n}^{(k_{p})}|\leq c}
für alle
p
∈
N
{\displaystyle p\in \mathbb {N} }
und nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
finden wir wiederum eine Teilfolge
{
x
n
(
k
p
l
)
}
l
∈
N
⊂
{
x
n
(
k
p
)
}
p
∈
N
{\displaystyle \{x_{n}^{(k_{p_{l}})}\}{l\in \mathbb {N} }\subset \{x_{n}^{(k_{p})}\}{p\in \mathbb {N} }}
und ein
x
n
∈
R
{\displaystyle x_{n}\in \mathbb {R} }
, so dass
x
n
(
k
p
l
)
→
x
n
(
l
→
∞
)
{\displaystyle x_{n}^{(k_{p_{l}})}\to x_{n}\ (l\to \infty )}
erfüllt ist. Wegen
x
i
(
k
p
)
→
x
i
(
p
→
∞
)
{\displaystyle x_{i}^{(k_{p})}\to x_{i}\ (p\to \infty )}
für
i
=
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}
folgt
x
i
(
k
p
l
)
→
x
i
(
l
→
∞
)
{\displaystyle x_{i}^{(k_{p_{l}})}\to x_{i}\ (l\to \infty )}
für
i
=
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}
.
Es gilt also
x
(
k
p
l
)
→
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
(
l
→
∞
)
{\displaystyle x^{(k_{p_{l}})}\to x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ (l\to \infty )}
und wir haben die Aussage für
n
{\displaystyle n}
bewiesen.
q.e.d.
Sei
M
⊂
R
n
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}
. Dann nennen wir die Menge
C
M
:=
{
x
∈
R
n
:
x
∉
M
}
{\displaystyle {\mathcal {C}}M:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\notin M\}}
das Komplement der Menge
M
{\displaystyle M}
.
Sei
M
⊂
R
n
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}
eine Punktmenge.
(a) Ein Punkt
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
heißt Häufungspunkt von
M
{\displaystyle M}
, wenn es zu jedem
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
einen Punkt
y
∈
M
∖
{
x
}
{\displaystyle y\in M\setminus \{x\}}
gibt, der auch
y
∈
K
ε
(
x
)
{\displaystyle y\in K_{\varepsilon }(x)}
erfüllt.
(b) Ein Punkt
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
heißt Randpunkt von
M
{\displaystyle M}
, wenn es zu jedem
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
Punkte
y
,
z
∈
K
ε
(
x
)
{\displaystyle y,z\in K_{\varepsilon }(x)}
gibt, so dass
y
∈
M
{\displaystyle y\in M}
und
z
∈
C
M
{\displaystyle z\in {\mathcal {C}}M}
richtig sind.
(c) Ein Punkt
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
heißt isolierter Punkt von
M
{\displaystyle M}
, wenn
x
{\displaystyle x}
kein Häufungspunkt von
M
{\displaystyle M}
ist.
(d) Ein Punkt
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
heißt innerer Punkt von
M
{\displaystyle M}
, wenn es ein
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
mit der Eigenschaft
K
ε
(
x
)
⊂
M
{\displaystyle K_{\varepsilon }(x)\subset M}
gibt.
(e) Eine Menge
M
⊂
R
n
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}
heißt offen , falls jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt ist.
(f) Eine Menge
M
⊂
R
n
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}
heißt abgeschlossen , wenn für jeden Häufungspunkt
ξ
∈
R
n
{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}
von
M
{\displaystyle M}
gilt, das
ξ
∈
M
{\displaystyle \xi \in M}
ist.
(g) Eine Menge
M
⊂
R
n
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}
heißt beschränkt , falls eine reelle Zahl
c
>
0
{\displaystyle c>0}
existiert, so dass
|
x
|
≤
c
{\displaystyle |x|\leq c}
für alle
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
richtig ist.
Sei die Menge
M
⊂
R
n
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}
gegeben.
(h) Die Menge
M
∘
:=
{
x
∈
R
n
:
x
i
s
t
i
n
n
e
r
e
r
P
u
n
k
t
v
o
n
M
}
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{M}}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\ ist\ innerer\ Punkt\ von\ M\}}
nennen wir den offenen Kern oder auch das Innere der Menge
M
{\displaystyle M}
.
(i) Die Menge
M
¯
:=
{
x
∈
R
n
:
x
l
i
e
g
t
i
n
M
o
d
e
r
i
s
t
H
a
e
u
f
u
n
g
s
p
u
n
k
t
v
o
n
M
{\displaystyle {\overline {M}}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\ liegt\ in\ M\ oder\ ist\ Haeufungspunkt\ von\ M}
heißt abgeschlossene Hülle bzw. Abschluss von
M
{\displaystyle M}
.
(j) Die Menge
∂
M
:=
{
x
∈
R
n
:
x
i
s
t
R
a
n
d
p
u
n
k
t
v
o
n
M
}
{\displaystyle \partial M:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\ ist\ Randpunkt\ von\ M\}}
nennen wir den topologischen Rand von
M
{\displaystyle M}
.
Eine Menge
M
⊂
R
n
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}
ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
⊂
M
∖
{
x
}
{\displaystyle \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset M\setminus \{x\}}
die Aussage
lim
k
→
∞
x
(
k
)
∈
M
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }x^{(k)}\in M}
richtig ist.
Satz 4 (Vereinigung und durchschnitt von Teilmengen des
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
)
Bearbeiten
(a) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
(b) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
(c) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
(d) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
(a) Es seien
I
{\displaystyle I}
eine beliebige Indexmenge und
M
i
⊂
R
n
{\displaystyle M_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}}
offen für alle
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
. Sei weiter
x
∈
M
:=
⋃
i
∈
I
M
i
{\displaystyle x\in M:=\bigcup _{i\in I}M_{i}}
. Dann gibt es einen Index
j
∈
I
{\displaystyle j\in I}
mit
x
∈
M
j
{\displaystyle x\in M_{j}}
. Da
M
j
{\displaystyle M_{j}}
offen ist, gilt
K
ε
(
x
)
⊂
M
j
{\displaystyle K_{\varepsilon }(x)\subset M_{j}}
für ein
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
und damit
K
ε
(
x
)
⊂
M
j
⊂
⋃
i
∈
I
M
i
=
M
{\displaystyle K_{\varepsilon }(x)\subset M_{j}\subset \bigcup _{i\in I}M_{i}=M}
. Also ist
M
{\displaystyle M}
offen.
(b) Seien
I
:=
{
1
,
…
,
m
}
{\displaystyle I:=\{1,\ldots ,m\}}
eine endliche Indexmenge und
M
i
⊂
R
n
{\displaystyle M_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}}
offen für alle
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
. Sei weiter
x
∈
⋂
i
∈
I
M
i
{\displaystyle x\in \bigcap _{i\in I}M_{i}}
, so haben wir
x
∈
M
i
{\displaystyle x\in M_{i}}
für alle
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
. Ferner gibt es zu jedem
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
ein
ε
i
>
0
{\displaystyle \varepsilon _{i}>0}
, so dass
K
ε
i
(
x
)
⊂
M
i
{\displaystyle K_{\varepsilon _{i}}(x)\subset M_{i}}
gilt. Mit
ε
:=
min
i
∈
I
ε
i
=
min
{
ε
1
,
…
,
ε
m
}
>
0
{\displaystyle \varepsilon :=\min _{i\in I}\varepsilon _{i}=\min\{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{m}\}>0}
erhalten wir
K
ε
(
x
)
⊂
K
ε
i
(
x
)
⊂
M
i
{\displaystyle K_{\varepsilon }(x)\subset K_{\varepsilon _{i}}(x)\subset M_{i}}
für alle
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
und damit
K
ε
(
x
)
⊂
⋂
i
∈
I
M
i
=
M
{\displaystyle K_{\varepsilon }(x)\subset \bigcap _{i\in I}M_{i}=M}
. Es ist also
M
{\displaystyle M}
offen.
(c) Seien
I
:=
{
1
,
…
,
m
}
{\displaystyle I:=\{1,\ldots ,m\}}
und
M
i
⊂
R
n
{\displaystyle M_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}}
abgeschlossen für alle
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
. Wir betrachten eine konvergente Folge
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
⊂
M
:=
⋃
i
∈
I
M
i
{\displaystyle \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset M:=\bigcup _{i\in I}M_{i}}
mit
lim
k
→
∞
x
(
k
)
=
x
∈
R
n
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }x^{(k)}=x\in \mathbb {R} ^{n}}
. Da
I
{\displaystyle I}
endlich ist, gibt es ein
j
∈
I
{\displaystyle j\in I}
und eine Teilfolge
{
x
(
k
p
)
}
p
∈
N
⊂
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
{\displaystyle \{x^{(k_{p})}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }}
mit
x
(
k
p
)
∈
M
j
{\displaystyle x^{(k_{p})}\in M_{j}}
für alle
p
∈
N
{\displaystyle p\in \mathbb {N} }
. Wegen
x
(
k
)
→
x
(
k
→
∞
)
{\displaystyle x^{(k)}\to x\ (k\to \infty )}
gilt auch
x
(
k
p
)
→
x
(
p
→
∞
)
{\displaystyle x^{(k_{p})}\to x\ (p\to \infty )}
. Nun ist
M
j
{\displaystyle M_{j}}
abgeschlossen, also ist
x
∈
M
j
{\displaystyle x\in M_{j}}
, folglich gilt
x
∈
M
j
⊂
⋃
i
∈
I
M
i
=
M
{\displaystyle x\in M_{j}\subset \bigcup _{i\in I}M_{i}=M}
und damit ist
M
{\displaystyle M}
abgeschlossen.
(d) Seien nun
I
{\displaystyle I}
eine beliebige Indexmenge und
M
i
⊂
R
n
{\displaystyle M_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}}
abgeschlossen für alle
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
. Sei weiter
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
⊂
M
:=
⋃
i
∈
I
M
i
{\displaystyle \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset M:=\bigcup _{i\in I}M_{i}}
eine konvergente Folge mit
lim
k
→
∞
x
(
k
)
=
x
∈
R
n
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }x^{(k)}=x\in \mathbb {R} ^{n}}
. Dann gilt
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
⊂
M
i
{\displaystyle \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset M_{i}}
für alle
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
. Weil
M
i
{\displaystyle M_{i}}
abgeschlossen ist, gilt
x
∈
M
i
{\displaystyle x\in M_{i}}
für alle
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
, also
x
∈
⋂
i
∈
I
M
i
=
M
{\displaystyle x\in \bigcap _{i\in I}M_{i}=M}
. Es ist
M
{\displaystyle M}
demnach abgeschlossen.
Auf die Endlichkeit der Indexmengen in den Aussagen (b) und (c) können wir nicht verzichten, wie bereits im Beweis ersichtlich wird. So muss ein unendlicher Durchschnitt von offenen Mengen durchaus nicht mehr offen sein. Für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
gilt zum Beispiel
⋂
i
∈
N
(
−
1
i
,
1
+
1
i
)
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }\left(-{\frac {1}{i}},1+{\frac {1}{i}}\right)=[0,1]}
.
Analog ist eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen im allgemeinen nicht mehr abgeschlossen, wie das folgende Beispiel für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
zeigt:
⋃
i
∈
N
[
−
1
+
1
i
,
1
−
1
i
]
=
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }\left[-1+{\frac {1}{i}},1-{\frac {1}{i}}\right]=(-1,1)}
.
Sei
X
{\displaystyle X}
eine beliebige Menge und
P
(
X
)
:=
{
A
:
A
⊂
X
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(X):=\{A:A\subset X\}}
deren Potenzmenge. Ein System von Teilmengen
T
⊂
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {P}}(X)}
heißt Topologie auf
X
{\displaystyle X}
, wenn es folgende Bedingungen erfüllt:
(i) Es gelten
∅
∈
T
{\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {T}}}
und
X
∈
T
{\displaystyle X\in {\mathcal {T}}}
;
(ii) Mit
A
,
B
∈
T
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {T}}}
ist auch
A
∩
B
∈
T
{\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {T}}}
;
(iii) Für eine beliebige Indexmenge
I
{\displaystyle I}
ist mit
U
i
∈
T
{\displaystyle U_{i}\in {\mathcal {T}}}
für alle
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
auch
⋃
i
∈
I
U
i
∈
T
{\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}}
erfüllt.
Das geordnete Paar
(
X
,
T
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}
heißt topologischer Raum mit den offenen Mengen
U
∈
T
{\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}
.
Mit
O
:=
{
U
⊂
R
n
:
U
ist offen gemaess Definition 9(e)
}
{\displaystyle {\mathcal {O}}:=\{U\subset \mathbb {R} ^{n}:U{\text{ ist offen gemaess Definition 9(e)}}\}}
wird
(
R
n
,
O
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {O}})}
zu einem topologischen Raum.
Satz 6 (Cantorscher Durchschnittssatz)
Bearbeiten
Sei
{
A
i
}
i
∈
N
{\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}
eine Folge von nicht leeren, abgeschlossenen Teilmengen des
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
. Sei weiter die Menge
A
1
{\displaystyle A_{1}}
beschränkt und
A
i
+
1
⊂
A
i
{\displaystyle A_{i+1}\subset A_{i}}
für alle
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
erfüllt. Dann ist
⋂
i
∈
N
A
i
≠
∅
{\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\neq \emptyset }
.
Zu jedem
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
wählen wir einen Punkt
x
(
k
)
∈
A
k
⊂
A
1
{\displaystyle x^{(k)}\in A_{k}\subset A_{1}}
und erhalten eine Folge
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
⊂
A
1
{\displaystyle \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset A_{1}}
. Diese ist beschränkt, weil
A
1
{\displaystyle A_{1}}
beschränkt ist. Nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz im
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
gibt es eine Teilfolge
{
x
(
k
p
)
}
p
∈
N
⊂
{
x
(
k
)
}
k
∈
N
{\displaystyle \{x^{(k_{p})}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset \{x^{(k)}\}_{k\in \mathbb {N} }}
und ein
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
, so dass
x
(
k
p
)
→
x
(
p
→
∞
)
{\displaystyle x^{(k_{p})}\to x\ (p\to \infty )}
gilt. Nach Voraussetzung ist nun zu beliebig vorgegebenem
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
die Inklusion
A
k
⊂
A
i
{\displaystyle A_{k}\subset A_{i}}
für alle
k
≥
i
{\displaystyle k\geq i}
richtig und damit folgt
x
(
k
)
∈
A
k
⊂
A
i
{\displaystyle x^{(k)}\in A_{k}\subset A_{i}}
für alle
k
≥
i
{\displaystyle k\geq i}
. Wir bestimmen einen Index
P
=
P
(
i
)
{\displaystyle P=P(i)}
, so dass
k
p
≥
i
{\displaystyle k_{p}\geq i}
und damit
x
(
k
p
)
∈
A
i
{\displaystyle x^{(k_{p})}\in A_{i}}
für alle
p
≥
P
{\displaystyle p\geq P}
erfüllt ist. Wegen der Konvergenz
x
(
k
p
)
→
x
(
p
→
∞
)
{\displaystyle x^{(k_{p})}\to x\ (p\to \infty )}
und der Abgeschlossenheit von
A
i
{\displaystyle A_{i}}
folgt
x
∈
A
i
{\displaystyle x\in A_{i}}
für alle
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
. Somit ist
x
∈
⋂
i
∈
N
A
i
{\displaystyle x\in \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}}
gezeigt.
q.e.d.
Auf die Beschränktheit können wir nicht verzichten, denn wählen wir für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
beispielsweise
A
i
:=
[
i
,
+
∞
)
,
i
∈
N
{\displaystyle A_{i}:=[i,+\infty ),i\in \mathbb {N} }
, so erhalten wir
⋂
i
∈
N
A
i
=
∅
{\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=\emptyset }
.
Ebenso wird obige Aussage für nicht abgeschlossene Mengen im allgemeinen falsch: Die Mengen
U
i
:=
(
0
,
1
i
)
,
i
∈
N
{\displaystyle U_{i}:=\left(0,{\frac {1}{i}}\right),i\in \mathbb {N} }
haben den leeren Durchschnitt
⋂
i
∈
N
U
i
=
∅
{\displaystyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}=\emptyset }
.
Seien
a
,
b
∈
R
n
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}
zwei Punkte mit der Eigenschaft
a
<
b
⇔
a
i
<
b
i
{\displaystyle a<b\Leftrightarrow a_{i}<b_{i}}
für
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
.
Dann nennen wir die abgeschlossene Punktmenge
(10)
Q
:=
{
x
∈
R
n
:
a
i
≤
x
i
≤
b
i
,
i
=
1
,
…
,
n
}
=
[
a
1
,
b
1
]
×
…
×
[
a
n
,
b
n
]
{\displaystyle Q:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i},i=1,\ldots ,n\}=[a_{1},b_{1}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]}
einen Quader im
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
. Gilt speziell
b
i
−
a
i
=
c
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle b_{i}-a_{i}=c,i=1,\ldots ,n}
mit einem
c
∈
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle c\in (0,+\infty )}
, dann sprechen wir auch von einem Würfel der Kantenlänge
2
c
{\displaystyle 2c}
.
Sei
M
⊂
R
n
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}
. Wir nennen
d
i
a
m
(
M
)
=
δ
(
M
)
:=
sup
{
|
x
−
y
|
:
x
,
y
∈
M
}
∈
[
0
,
+
∞
]
{\displaystyle diam(M)=\delta (M):=\sup\{|x-y|:x,y\in M\}\in [0,+\infty ]}
den Durchmesser – im Englischen 'diameter' – der Menge
M
{\displaystyle M}
.
Der Durchmesser eines Quaders ist gerade die Länge seiner Diagonale
(11)
δ
(
Q
)
=
d
i
a
m
(
Q
)
=
|
b
−
a
|
=
∑
i
=
1
n
(
b
i
−
a
i
)
2
{\displaystyle \delta (Q)=diam(Q)=|b-a|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})^{2}}}}
.
Wir wollen nun die Methode der Quaderzerlegung kennenlernen: Wir gehen aus von einem Quader gemäß Definition 12, nämlich
Q
=
I
1
×
…
×
I
n
⊂
R
n
{\displaystyle Q=I_{1}\times \ldots \times I_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}
mit den konstituierenden Intervallen
I
i
:=
[
a
i
,
b
i
]
{\displaystyle I_{i}:=[a_{i},b_{i}]}
für
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
. Diese Intervalle halbieren wir und erhalten zwei Teilintervalle
(12)
I
i
(
1
)
:=
[
a
i
,
1
2
(
a
i
+
b
i
)
]
{\displaystyle I_{i}^{(1)}:=\left[a_{i},{\frac {1}{2}}(a_{i}+b_{i})\right]}
und
I
i
(
2
)
:=
[
1
2
(
a
i
+
b
i
)
,
b
i
]
{\displaystyle I_{i}^{(2)}:=\left[{\frac {1}{2}}(a_{i}+b_{i}),b_{i}\right]}
,
so dass
(13)
I
i
(
1
)
∪
I
i
(
2
)
=
I
i
{\displaystyle I_{i}^{(1)}\cup I_{i}^{(2)}=I_{i}}
und
I
i
(
1
)
∘
∩
I
i
(
2
)
∘
=
∅
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{I_{i}^{(1)}}}\cap {\stackrel {\circ }{I_{i}^{(2)}}}=\emptyset }
für
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
gilt. Dann wählen wir
n
{\displaystyle n}
Indices
p
1
,
…
,
p
n
∈
{
1
,
2
}
{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \{1,2\}}
bzw. den Multiindex
p
=
(
p
1
,
…
,
p
n
)
∈
{
1
,
2
}
×
…
×
{
1
,
2
}
=
{
1
,
2
}
n
{\displaystyle p=(p_{1},\ldots ,p_{n})\in \{1,2\}\times \ldots \times \{1,2\}=\{1,2\}^{n}}
und erhalten in
(14)
Q
p
=
Q
(
p
1
,
…
,
p
n
)
:=
I
1
(
p
1
)
×
…
×
I
n
(
p
n
)
⊂
Q
{\displaystyle Q^{p}=Q^{(p_{1},\ldots ,p_{n})}:=I_{1}^{(p_{1})}\times \ldots \times I_{n}^{(p_{n})}\subset Q}
jeweils einen der
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
gleich großen Teilquader von
Q
{\displaystyle Q}
. Es gelten die Identitäten
(15)
Q
=
⋃
p
∈
{
1
,
2
}
n
Q
p
{\displaystyle Q=\bigcup _{p\in \{1,2\}^{n}}Q^{p}}
und
Q
p
∘
∩
Q
q
∘
=
∅
{\displaystyle {\stackrel {\circ }{Q^{p}}}\cap {\stackrel {\circ }{Q^{q}}}=\emptyset }
für
p
,
q
∈
{
1
,
2
}
n
{\displaystyle p,q\in \{1,2\}^{n}}
mit
p
≠
q
{\displaystyle p\neq q}
.
Außerdem berechnen wir für
p
∈
{
1
,
2
}
n
{\displaystyle p\in \{1,2\}^{n}}
die Durchmesser der Teilquader
(16)
δ
(
Q
p
)
=
∑
i
=
1
n
[
1
2
(
b
i
−
a
i
)
]
2
=
1
2
∑
i
=
1
n
(
b
i
−
a
i
)
2
=
1
2
δ
(
Q
)
{\displaystyle \delta (Q^{p})={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}(b_{i}-a_{i})\right]^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})^{2}}}={\frac {1}{2}}\delta (Q)}
.
Satz 7 (Überdeckungssatz von E. Heine und E. Borel)
Bearbeiten
Sei
M
⊂
R
n
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}
eine beschränkte, abgeschlossene Menge. Sei weiter
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}
ein offenes Überdeckungssystem von
M
{\displaystyle M}
mit der Indexmenge
I
{\displaystyle I}
. Dann existiert eine endliche Indexmenge
J
{\displaystyle J}
mit
J
⊂
I
{\displaystyle J\subset I}
, so dass auch
{
U
i
}
i
∈
J
{\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in J}}
ein offenes Überdeckungssystem von
M
{\displaystyle M}
ist.
1. Da die Menge
M
{\displaystyle M}
beschränkt ist, existiert eine reelle Zahl
c
>
0
{\displaystyle c>0}
hinreichend groß, so dass der zugehörige Würfel
W
{\displaystyle W}
der Kantenlänge
2
c
{\displaystyle 2c}
um den Nullpunkt die Inklusion
M
⊂
[
−
c
,
+
c
]
×
…
×
[
−
c
,
+
c
]
=:
W
⊂
R
n
{\displaystyle M\subset [-c,+c]\times \ldots \times [-c,+c]=:W\subset \mathbb {R} ^{n}}
erfüllt.
Wir nehmen nun an, die Aussage des Satzes wäre falsch: Also ist für jede endliche Indexmenge
J
⊂
I
{\displaystyle J\subset I}
die Aussage
M
⊄
⋃
i
∈
J
U
i
{\displaystyle M\not \subset \bigcup _{i\in J}U_{i}}
richtig, d. h. endlich viele Mengen des Überdeckungssystems reichen nicht zur Überdeckung von
M
{\displaystyle M}
aus.
2. Zunächst setzen wir
W
0
:=
W
{\displaystyle W_{0}:=W}
. Dann konstruieren wir eine Folge
{
W
k
}
k
∈
N
0
{\displaystyle \{W_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
von Würfeln, so dass für alle
k
∈
N
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
die Bedingungen
(17)
W
k
+
1
⊂
W
k
{\displaystyle W_{k+1}\subset W_{k}}
sowie
δ
(
W
k
)
=
1
2
k
2
c
n
{\displaystyle \delta (W_{k})={\frac {1}{2^{k}}}2c{\sqrt {n}}}
und
(18)
M
∩
W
k
⊄
⋃
i
∈
J
U
i
{\displaystyle M\cap W_{k}\not \subset \bigcup _{i\in J}U_{i}}
für jede endliche Indexmenge
J
⊂
I
{\displaystyle J\subset I}
erfüllt sind.
Sei für ein beliebiges
k
∈
N
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
bereits der Würfel
W
k
∈
R
n
{\displaystyle W_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}
mit den o. a. Eigenschaften gefunden. Diesen zerlegen wir wie oben beschrieben in
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
gleich große Teilwürfel
W
k
p
,
p
∈
{
1
,
2
}
n
{\displaystyle W_{k}^{p},p\in \{1,2\}^{n}}
. Dann sehen wir:
(19)
M
∩
W
k
=
M
∩
(
⋃
p
∈
{
1
,
2
}
n
W
k
p
)
=
⋃
p
∈
{
1
,
2
}
n
(
M
∩
W
k
p
)
.
{\displaystyle M\cap W_{k}=M\cap \left(\bigcup _{p\in \{1,2\}^{n}}W_{k}^{p}\right)=\bigcup _{p\in \{1,2\}^{n}}\left(M\cap W_{k}^{p}\right).}
Nun muss es ein
p
∈
{
1
,
2
}
n
{\displaystyle p\in \{1,2\}^{n}}
geben, so dass auch
W
k
p
{\displaystyle W_{k}^{p}}
die Bedingung erfüllt:
M
∩
W
k
p
⊄
⋃
i
∈
J
U
i
{\displaystyle M\cap W_{k}^{p}\not \subset \bigcup _{i\in J}U_{i}}
ist für jede endliche Indexmenge richtig bzw. endlich viele Mengen des Überdeckungssystems reichen zur Überdeckung von
M
∩
W
k
p
{\displaystyle M\cap W_{k}^{p}}
nicht aus.
Wäre dies nämlich nicht so, dann könnten wir alle Teilmengen
M
∩
W
k
p
,
p
∈
{
1
,
2
}
n
{\displaystyle M\cap W_{k}^{p},\quad p\in \{1,2\}^{n}}
durch endlich viele Mengen aus dem Überdeckungssystem überdecken und somit auch die endliche Vereinigung (19) – im Widerspruch zu (18).
Wir wählen dieses
p
∈
{
1
,
2
}
n
{\displaystyle p\in \{1,2\}^{n}}
und setzen
W
k
+
1
:=
W
k
p
⊂
W
k
{\displaystyle W_{k+1}:=W_{k}^{p}\subset W_{k}}
.
Mit Hilfe von (17) ermitteln wir
δ
(
W
k
+
1
)
=
δ
(
W
k
p
)
=
1
2
δ
(
W
k
)
=
1
2
1
2
k
2
c
n
=
1
2
k
+
1
2
c
n
{\displaystyle \delta (W_{k+1})=\delta (W_{k}^{p})={\frac {1}{2}}\delta (W_{k})={\frac {1}{2}}{\frac {1}{2^{k}}}2c{\sqrt {n}}={\frac {1}{2^{k+1}}}2c{\sqrt {n}}}
.
3. Mit der in Teil 2.) konstruierten Würfelfolge
{
W
k
}
k
∈
N
0
{\displaystyle \{W_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
bilden wir die Folge
{
M
k
}
k
∈
N
0
{\displaystyle \{M_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
abgeschlossener Mengen
M
k
:=
M
∩
W
k
⊂
M
,
k
∈
N
0
{\displaystyle M_{k}:=M\cap W_{k}\subset M,\quad k\in \mathbb {N} _{0}}
.
Wegen (17) folgt
M
k
+
1
⊂
M
k
{\displaystyle M_{k+1}\subset M_{k}}
für alle
k
∈
N
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
. Da
M
0
=
M
∩
W
0
=
M
{\displaystyle M_{0}=M\cap W_{0}=M}
beschränkt ist, gibt es nach dem Cantorschen Durchschnittssatz einen Punkt
x
∈
⋂
k
∈
N
0
M
k
⊂
M
{\displaystyle x\in \bigcap _{k\in \mathbb {N} _{0}}M_{k}\subset M}
. Da weiter
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}
ein Überdeckungssystem von
M
{\displaystyle M}
ist, gibt es einen Index
j
∈
I
{\displaystyle j\in I}
mit
x
∈
U
j
{\displaystyle x\in U_{j}}
. Die Menge
U
j
{\displaystyle U_{j}}
ist offen, also existiert ein
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
, so dass
K
ε
(
x
)
⊂
U
j
{\displaystyle K_{\varepsilon }(x)\subset U_{j}}
gilt. Mit (17) erhalten wir
δ
(
M
k
)
≤
δ
(
W
k
)
=
1
2
k
2
c
n
{\displaystyle \delta (M_{k})\leq \delta (W_{k})={\frac {1}{2^{k}}}2c{\sqrt {n}}}
.
Wir können also ein
k
∈
N
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
finden, so dass
δ
(
M
K
)
≤
2
−
K
⋅
2
c
⋅
n
<
ε
{\displaystyle \delta (M_{K})\leq 2^{-K}\cdot 2c\cdot {\sqrt {n}}<\varepsilon }
richtig wird. Wegen
x
∈
M
K
{\displaystyle x\in M_{K}}
folgt mit der endlichen Menge
J
:=
{
j
}
⊂
I
{\displaystyle J:=\{j\}\subset I}
, dass die Inklusion
M
∩
W
K
=
M
K
⊂
K
ε
(
x
)
⊂
U
j
=
⋃
i
∈
J
U
i
{\displaystyle M\cap W_{K}=M_{K}\subset K_{\varepsilon }(x)\subset U_{j}=\bigcup _{i\in J}U_{i}}
gilt – im Widerspruch zu (18). Unsere Annahme ist also falsch und somit ist die Behauptung des Satzes richtig.
q.e.d.
1. Wir können obigen Satz auch folgendermaßen formulieren:
Sei
M
⊂
R
n
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}
eine beschränkte, abgeschlossene Menge und sei jedem Punkt
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
eine offene Menge
U
x
⊂
R
n
{\displaystyle U_{x}\subset \mathbb {R} ^{n}}
mit
x
∈
U
x
{\displaystyle x\in U_{x}}
zugeordnet. Dann gibt es endlich viele Punkte
x
(
1
)
,
…
,
x
(
m
)
∈
M
{\displaystyle x^{(1)},\ldots ,x^{(m)}\in M}
, so dass
M
⊂
⋃
i
=
1
m
U
x
(
i
)
{\displaystyle M\subset \bigcup _{i=1}^{m}U_{x^{(i)}}}
gilt.
2. Aus einer gegebenen unendlichen offenen Überdeckung einer offenen Menge können wir nicht immer eine endliche Teilüberdeckung auswählen, wie für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
das folgende Beispiel zeigt:
Seien die offene Menge
M
:=
(
0
,
1
)
{\displaystyle M:=(0,1)}
und die offenen Intervalle
U
i
:=
(
1
2
i
+
2
,
1
2
i
)
,
i
∈
N
0
{\displaystyle U_{i}:=\left({\frac {1}{2^{i+2}}},{\frac {1}{2^{i}}}\right),\quad i\in \mathbb {N} _{0}}
definiert. Dann ist die Überdeckung
M
⊂
⋃
i
∈
N
0
U
i
{\displaystyle M\subset \bigcup _{i\in \mathbb {N} _{0}}U_{i}}
erfüllt, aber für jede endliche Teilmenge
J
⊂
N
0
{\displaystyle J\subset \mathbb {N} _{0}}
sehen wir die Aussage
M
⊄
⋃
i
∈
J
U
i
{\displaystyle M\not \subset \bigcup _{i\in J}U_{i}}
leicht ein.
3. Eine beschränkte, abgeschlossene Menge
M
⊂
R
n
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}
erfüllt nach dem Heine-Borelschen Satz die folgende Überdeckungseigenschaft : Ein beliebig vorgegebenes Überdeckungssystem von
M
{\displaystyle M}
enthält eine endliche Teilüberdeckung. Diese Eigenschaft nennt man in der Topologie Kompaktheit .
Eine beschränkte, abgeschlossene Menge
M
{\displaystyle M}
im
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
heißt kompakt .