Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher (§1)
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- Seien die Dimensionen
und die Menge
![{\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}:=\{x=(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{j}\in \mathbb {R} ,j=1,\ldots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f8807cd8004fd34acf52dad3a4fd07ebe4fbcd)
- sowie der Raum
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}:=\{y=(y_{1},\ldots ,y_{m}):y_{j}\in \mathbb {R} ,j=1,\ldots ,m\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8251f9dae6da538015f1cd3b6289c1b66cbe028e)
- gegeben. Jedem Punkt
werde vermöge der Funktion
![{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b5bd290bf75656b09ff1302cc4137d95ef9c5b)
- genau ein Punkt
![{\displaystyle y=f(x)\in \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/befe592922a0e4e1493a682ef8e2e344ea50fa0e)
- zugeordnet. Wir nennen
den Definitionsbereich und
![{\displaystyle W:=\{f(x)\in \mathbb {R} ^{m}:x\in D\}:=f(D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe5c53277a6489601c126b1d3eac840984c288f)
- den Wertebereich der Funktion
. Genauer schreiben wir:
![{\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{m})=y=f(x)=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})):D\to \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e07f492a5bee1bb9babbc2de5bba5b7f72e0a4)
.
- Wir sprechen von einer beschränkten Funktion
, wenn es eine Konstante
gibt, so dass die Abschätzung
für alle ![{\displaystyle x\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f)
- richtig ist. Andernfalls sprechen wir von einer unbeschränkten Funktion.
- Sei im Definitionsbereich
der Funktion
ein Häufungspunkt
gewählt. Weiter existiere ein Punkt
, so dass es für alle
ein
gibt mit der Eigenschaft
für alle
mit
.
- Dann heißt A der Limes der Funktion
an der Stelle
und man schreibt:
oder
.
- Auf dem Intervall
mit
sei die Funktion
gegeben. Dann nennen wir
![{\displaystyle f(a+):=\lim _{t\to a,t>a}f(t):=\lim _{t\to a,t\in D}f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8d1d75a0bc387b7dca96a566e66f5aee92418c)
- den rechtsseitigen Limes der Funktion
an der Stelle
und
![{\displaystyle f(b-):=\lim _{t\to b,t<b}f(t):=\lim _{t\to b,t\in D}f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba8c204db52fbf8b9b1bf28a8ee2ff29ec895e3d)
- den linksseitigen Limes der Funktion
an der Stelle
.
- Sei die Funktion
auf dem Definitionsbereich
gegeben, welcher den Häufungspunkt
enthält. Weiter sei der Punkt
gewählt. Dann gilt die beziehung
![{\displaystyle \lim _{t\to x,t\in D}f(t)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16e72969ad02491448a9005a5bba83cf729c7fe)
- genau dann, wenn für jede Punktfolge
mit ![{\displaystyle x^{(p)}\to x\quad (p\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a95953c2f62c8c6380aedb5743b96f8d2e50c2)
- die Aussage
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1310d340f16617b839a292b1269326a1c3fb2a22)
- gilt.
„
“:
Sei
![{\displaystyle \lim _{t\to x,t\in D}f(t)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16e72969ad02491448a9005a5bba83cf729c7fe)
erfüllt. Dann gibt es nach Definition 2 für alle
ein
, so dass
![{\displaystyle |f(t)-A|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c573f956cea5980ab81e6e6af634b220522c58f6)
für alle
![{\displaystyle t\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a790676d6c608a907315181df3db521ee56f20)
mit
![{\displaystyle |t-x|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803d4286e08a70be7272781de82e4b545781a761)
ausfällt. Für eine konvergente Punktfolge
![{\displaystyle \{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}=\{y\in D:y\neq x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85e126f3b052879377680d9e97539f4167e94a4)
mit
![{\displaystyle x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282006fb128219a782bd70299d74574b91523d6a)
erhalten wir
![{\displaystyle \left|x^{(p)}-x\right|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cb88172324c0c54521efc5ca14b5ca6fcc7a39)
für alle
![{\displaystyle p\geq p_{0}(\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac706a7b039ed12d7964655ad5d48524a9185ff)
und somit folgt
. Also ergibt sich
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1310d340f16617b839a292b1269326a1c3fb2a22)
.
„
“:
Wir zeigen diese Implikation indirekt – unter der Voraussetzung
(1) Für alle
![{\displaystyle \{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset D\setminus \{x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f83b537b7e0a9996b392d952990e73ca4bf770)
mit
![{\displaystyle x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282006fb128219a782bd70299d74574b91523d6a)
gilt
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1310d340f16617b839a292b1269326a1c3fb2a22)
.
Wäre die Aussage
(2)
![{\displaystyle \lim _{t\to x,t\in D}f(t)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16e72969ad02491448a9005a5bba83cf729c7fe)
falsch – also die folgende Behauptung:
(3) Für alle
![{\displaystyle \varepsilon >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12)
existiert ein
![{\displaystyle \delta =\delta (\varepsilon )>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cdddc4e26269f38b199c2da4600fc430b6b4b2)
, so dass
![{\displaystyle |f(t)-A|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c573f956cea5980ab81e6e6af634b220522c58f6)
für alle
![{\displaystyle t\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a790676d6c608a907315181df3db521ee56f20)
mit
![{\displaystyle \left|t-x\right|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfc1b8d2410c4728b61f6633e666fdbd20ac7b4)
erfüllt ist.
Dann existiert ein
, sodass es zu jedem
einen Punkt
mit
gibt, welcher
erfüllt. Wählen wir nun sukzessiv
so finden wir Punkte
![{\displaystyle x^{(p)}\in D\setminus \{x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a42a9e5eff746ce272fd06dcd2a10ff3f90c160)
mit
![{\displaystyle |x^{(p)}-x|<{\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76a8f97a5e766c7dcffb2c2c7ae5935f07be0bd)
und
![{\displaystyle |f(x^{(p)})-A|\geq \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95f5678ae434d8d37589d0033591a5dd8f084a3)
.
Offenbar ist nun
aber
erfüllt – im widerspruch zur voraussetzung (1).
q.e.d.
- Sei der Punkt
und die Funktion
auf dem Definitionsbereich
gegeben. Dann heißt die Funktion
stetig im Punkt
, wenn es zu jedem
ein
mit der Eigenschaft
für alle
mit ![{\displaystyle \left|t-x\right|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfc1b8d2410c4728b61f6633e666fdbd20ac7b4)
- gibt.
- Sei die Funktion
auf dem Definitionsbereich
erklärt und
ein Häufungspunkt von
. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent
- 1. Es ist
stetig im Punkt
;
- 2. Es gilt
![{\displaystyle \lim _{t\to x,t\in D}f(t)=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9aef56699d010e28c25927128216382a2b0a073)
;
- 3. Für alle Folgen
mit ![{\displaystyle x^{(p)}\to x\ (p\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282006fb128219a782bd70299d74574b91523d6a)
- haben wir
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c5fc164f7525be77d9a6e34b133ffd951cadfd)
.
Dieser folgt sofort aus den Definitionen 2 und 4 sowie Satz 1.
q.e.d.
- Seien die Funktionen
im Punkt
stetig und die Skalare
beliebig gewählt. Dann ist auch die Funktion
![{\displaystyle h(t):=a\cdot f(t)+b\cdot g(t),\quad t\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/937f7738408df4e0c99c6569261d58cfd75b03c5)
- im Punkt
stetig.
Sei
eine Folge mit
. Dann erhalten wir
(4)
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }h(x^{(p)})=\lim _{p\to \infty }\{af(x^{(p)})+bg(x^{(p)})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66138e63d329e05b686613c76f7017ed2bc7c51b)
![{\displaystyle =a\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})+b\lim _{p\to \infty }g(x^{(p)})=af(x)+bg(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb67573ebc88f5304b60ca70eec0b2fcd6b61356)
.
q.e.d.
- Seien die Funktionen
im Punkt
stetig. Dann ist auch die Funktion
![{\displaystyle h(t):=f(t)\cdot g(t),\quad t\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f492541b2281ced1da4baadb2ae620309b64ff8)
- im Punkt
stetig. Falls zusätzlich
für alle
erfüllt ist, so ist auch die Funktion
![{\displaystyle k(t):={\frac {f(t)}{g(t)}},\quad t\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7bca15e89e8125367828fe6a5dc815114c7014)
- stetig im Punkt
.
Sei
eine Folge mit
. Dann liefern die grenzwertsätze
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }h(x^{(p)})=\lim _{p\to \infty }\{f\cdot g\}(x^{(p)})=\{\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})\}\cdot \{\lim _{p\to \infty }g(x^{(p)})\}=f(x)\cdot g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7453aa44e05277690eaac4b3f8252238cadafb)
sowie
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }k(x^{(p)})=\lim _{p\to \infty }\left\{{\frac {f}{g}}\right\}(x^{(p)})={\frac {\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})}{\lim _{p\to \infty }g(x^{(p)})}}={\frac {f(x)}{g(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686efb61ff52c41f83ec2ba078384c4ad1984206)
.
q.e.d.
Satz 5 (Komposition stetiger Abbildungen)
Bearbeiten
- Seien die Punkte
und
gegeben sowie die Funktionen
und
mit
– dabei sind die Dimensionen
gewählt. Weiter sei
stetig im Punkt
und
stetig im Punkt
. Dann ist auch die verkettete Funktion bzw. die Komposition
(5)
![{\displaystyle h(t):=(g\circ f)(t)=g(f(t))={\Bigl (}g_{1}{\bigl (}f_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,f_{m}(t_{1},\ldots ,t_{n}){\bigr )},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dad186ba5ad0814b21dcd239030ffcd9bcd68e9)
![{\displaystyle \ldots ,g_{l}{\bigl (}f_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,f_{m}(t_{1},\ldots ,t_{n}){\bigr )}{\Bigr )},\quad t=(t_{1},\ldots ,t_{n})\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f498e7a7c97bdaf12d2683c866a2875d7299b0)
- im Punkt
stetig.
Sei
eine Folge mit
, dann ist
![{\displaystyle y^{(p)}=f(x^{(p)}),\quad p\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2a08e6a27bb0008e5c96bc3ae2664088ce1976)
die Folge der Funktionswerte. Da f im Punkt x stetig ist gilt
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }y^{(p)}=\lim _{p\to \infty }f(x^{(p)})=f(x)=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e864caba6a0f0208b860f23dd1803ab94bed67a)
.
Da nun
im Punkt
stetig ist, folgt
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }h(x^{(p)})=\lim _{p\to \infty }g(f(x^{(p)}))=\lim _{p\to \infty }g(y^{(p)})=g(y)=g(f(x))=h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96cd0489946e15aa23b5f68739a3dd6d7d40da67)
.
Also ist
im Punkt
stetig.
- Sei die Funktion
auf dem Definitionsbereich
gegeben. Dann heißt die Funktion
stetig auf
, wenn
in jedem Punkt
stetig ist.
- Den Vektorraum der stetigen Funktionen
auf dem Definitionsbereich
bezeichnen wir mit
. Hierbei haben wir für
und
die Verknüpfungen:
sowie
.
- Falls
die Bilddimension darstellt, schreiben wir kurz
. Auch wenn aus dem Zusammenhang der Bildraum hervorgeht, lassen wir diesen unerwähnt. Mit
deuten wir im Fall
an, dass wir im Bildbereich die komplexe Multiplikation verwenden.
- Auf der kompakten Menge
sei die stetige Funktion
vermöge
mit dem Wertebereich
![{\displaystyle W=f(D)=\{y\in \mathbb {R} ^{m}:y=f(x)\ mit\ einem\ x\in D\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d6aa8647f0f0fc0bd571f5c51667e9ac33157ae)
- gegeben. Weiter sei
injektiv, d. h. für je zwei Punkte
mit
folgt
. Dann ist die Umkehrfunktion
![{\displaystyle g:W\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d9aa79d937d7018ef52ca445ba6b55bf4b2a34)
- von
erklärt durch
für
und
mit ![{\displaystyle y=f\left(x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6ccf0a9ab28774e2b12ebc47e9947ec70812d5)
- stetig auf
. Dabei erfüllt die Umkehrfunktion die Identitäten:
für alle
und
für alle
.
Sei
und
eine Folge mit
. Dann haben wir
(6)
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }g(y^{(p)})=g(y^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b998fcc78948567bda4a4e1912cffe2c9989a18)
zu zeigen. Hierzu setzen wir
und
. Wäre die Aussage (6) falsch, so gäbe es von der Folge
in der kompakten Menge
eine Teilfolge
mit
![{\displaystyle \lim _{l\to \infty }x^{(p_{l})}=x^{**}\in D\setminus \{x^{*}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8e8165cecb9008cafd727d81d920417706ee16)
.
Da die Funktion
stetig ist, erhalten wir
![{\displaystyle f(x^{**})=f(\lim _{l\to \infty }x^{(p_{l})})=\lim _{l\to \infty }f(x^{(p_{l})})=\lim _{l\to \infty }y^{(p_{l})}=\lim _{p\to \infty }y^{(p)}=y^{*}=f(x^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c0eec0d33b1efedceaa521bbb23d17a1445225)
.
Wegen der Injektivität von
folgt mit
ein Widerspruch – und (6) ist richtig.
q.e.d.
- Sei die Funktion
auf dem Definitionsbereich
gegeben. Dann heißt die Funktion
gleichmäßig stetig auf
, wenn es zu jedem
ein
mit der Eigenschaft
für alle
mit ![{\displaystyle |x-y|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7479ee617769fe3ee2772cbecb7e8b4a4ac9a001)
- gibt.
- Sei
eine beschränkte und abgeschlossene – d. h. kompakte – Punktmenge und
eine stetige Funktion. Dann ist
gleichmäßig stetig auf
.
Sei
vorgegeben. Da die Funktion
in jedem Punkt
stetig ist, gibt es zu jedem
ein
derart, dass für alle
mit
die Ungleichung
gilt. Zu jedem
definieren wir nun die offene Teilmenge
![{\displaystyle O_{x}:=\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y-x|<{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b55cedcc5746fc0600f73747960da38e49b876)
Diese Menge
bilden eine offene Überdeckung von
. Da
nach Voraussetzung beschränkt und abgeschlossen ist, gibt es nach dem Überdeckungssatz von Heine und Borel endlich viele Punkte
![{\displaystyle x^{(1)},\ldots ,x^{(N)}\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabec2b28a58932366ef083d6ca8453d60500dbd)
mit
, so dass
![{\displaystyle K\subset \bigcup _{j=1}^{N}O_{x^{(j)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271df612393798160704a839faebdc8630279449)
gilt. Wir setzen jetzt
![{\displaystyle \delta (\varepsilon ):=\min \left\{{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(1)}),\ldots ,{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(N)})\right\}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6b4974984340792248bb745fa5ccf4f4186205)
.
Nun seien
beliebige Punkte mit
. Da die Mengen
![{\displaystyle \{O_{x^{(j)}}\}_{j=1,\ldots ,N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc98c7cd1860f297b10c503926566389438af0ba)
ein Überdeckungssystem von
bilden, finden wir ein
mit der Eigenschaft
![{\displaystyle |x-x^{(j)}|<{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(j)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6135850d4d93d431f5a647d5ee4eb2ab53d8ec8)
.
Weiter gilt dann:
(7)
![{\displaystyle |y-x^{(j)}|\leq |y-x|+|x-x^{(j)}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe74f95e5fcefff8395ddee98b45143379976e4)
![{\displaystyle <\delta (\varepsilon )+\delta (\varepsilon ,x^{(j)})\leq {\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(j)})+{\frac {1}{2}}\delta (\varepsilon ,x^{(j)})=\delta (\varepsilon ,x^{(j)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b494b00b40f0f8bd39c61e5e955a8326c2814e7)
.
Wegen der Stetigkeit folgt hieraus
und
![{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(x^{(j)})|+|f(y)-f(x^{(j)})|<2\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874012ddccf97aaba07a0fa5722358de12aade9d)
für alle
![{\displaystyle x,y\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93db9c4784bc82a2dfe9ea58ea1167080010e574)
mit
![{\displaystyle |x-y|<\delta (\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b5c5b7ac17598b3ee81a19d0071e4f711f715b)
.
Also ist
gleichmäßig stetig auf
.
q.e.d.
Satz 8 (Fundamentalsatz von Weierstrass über Maxima und Minima)
Bearbeiten
- Auf der kompakten Menge
sei die reellwertige Funktion
stetig. Dann gibt es Punkte
und
, so dass
für alle ![{\displaystyle x\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9075ef2df706bf2764f76182a1ddf55ff231a92)
- erfüllt ist.
Wir zeigen nur die Existenz von
. Durch die Spiegelung
folgt dann die Existenz von
. Wir erklären
![{\displaystyle \mu :=\inf _{x\in K}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55eb28ee3c4eaa1b6e415822d211bee47ed378e)
und finden eine Folge
mit der Eigenschaft
![{\displaystyle f(x^{(p)})\to \mu \ (p\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d65d9923c505b16fb16b7ec70ca7e9ecfea0ad)
.
Die Folge
ist beschränkt, da die Menge
beschränkt ist. Nach dem Häufungsstellensatz von Weierstrass gibt es eine konvergente Teilfolge
![{\displaystyle \{x^{(p_{l})}\}_{l\in \mathbb {N} }\subset \{x^{(p)}\}_{p\in \mathbb {N} }\subset K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84a3166c07a8d70295b530ff2feb97a204908c0)
mit der Eigenschaft
![{\displaystyle x^{(p_{l})}\to \xi \in K\ (l\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ee295d78e1a57ce2ae86f664bd6939ed9a7419)
,
denn die Menge
ist abgeschlossen. Wegen der Stetigkeit von
auf
gilt weiter
![{\displaystyle f(\xi )=\lim _{l\to \infty }f(x^{(p_{l})})=\mu =\inf _{x\in K}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f501fc4590e8ce6dc61c4ffc0405f4aabc0d1b7f)
.
Mit
haben wir einen Punkt gefunden, an dem
das Minimum annimmt.
q.e.d.
Satz 9 (Zwischenwertsatz von Bolzano und Weierstrass)
Bearbeiten
- Sei das Intervall
mit
gegeben sowie eine stetige Funktion
mit der Eigenschaft
. Dann gibt es zu jedem Wert
ein
mit
.
Nach Voraussetzung ist die Menge
![{\displaystyle D:=\{x\in I:f(x)<\eta \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407f6ac73eda647ace2eaab8ffee5ede5d3b7478)
nicht leer. Wir erklären
![{\displaystyle \xi :=\sup _{x\in D}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4005e3c52b3291418f865e77b8aca8e01dc6720)
und sehen
ein. Es gilt
![{\displaystyle \xi \geq x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32bd869f02634c5459082a8849527c2044decfa5)
für alle
![{\displaystyle x\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f)
und wir finden eine Folge
mit
. Somit gilt
![{\displaystyle f(\xi )\lim _{k\to \infty }f(x_{k})\leq \eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d753a6c651fb8a70dc9755e883c321ea13fa07b)
.
Wäre nun
richtig, so gäbe es wegen der Stetigkeit von
ein
, so dass
![{\displaystyle f\left(x\right)<\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43dfe2ba9692ee77d0f67d572cdd117aa5ba0487)
für alle
![{\displaystyle x\in (\xi ,\xi +\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc70f0429e794abcf9d3e5fe353e454030b24e03)
gilt. Dieses steht im Widerspruch zur Wahl von
und es folgt
.
q.e.d.
- Eine reellwertige Funktion
auf dem Definitionsbereich
heißt (schwach) monoton steigend, wenn für alle
mit
die Ungleichung
(bzw.
) erfüllt ist. Sie heißt (schwach) monoton fallend, wenn für alle
mit
die Ungleichung
(bzw.
) gilt.
- Sei auf dem Intervall
die monoton steigende Funktion
erklärt und
gesetzt. Dann hat die Gleichung
für jedes
die eindeutig bestimmte Lösung
. Die so definierte Funktion
ist auf dem Intervall
stetig und es gilt:
Nach dem Zwischenwertsatz hat die Gleichung
![{\displaystyle f(x)=y,\quad x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26151302fe092499ec2042e44a3013882f103de5)
für alle
mindestens eine Lösung.
Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der Lösung: Gäbe es nämlich zwei Lösungen
mit
,
so entsteht ein Widerspruch zur Monotonie der Funktion
. Also gibt es zu jedem
genau ein
mit
. Wir erhalten mittels
die Umkehrfunktion
.
Die Stetigkeit der Umkehrfunktion entnehmen wir sofort dem Satz 6.
q.e.d.
Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen (§2)
Bearbeiten
- Auf dem Definitionsbereich
sei die Folge der Funktionen
![{\displaystyle f_{k}:D\to \mathbb {R} ^{m},\quad k=1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a396484cf4d1ba18e6b70d68bd3090ae35ecc017)
- gegeben; dabei sind die Dimensionen
gewählt. Dann heißt diese Funktionenfolge (punktweise) konvergent, wenn für jedes
der Grenzwert
existiert. Wir nennen dann
![{\displaystyle f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x),\quad x\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9120fbdd7b2390c6413a9a881fe32e30fff843)
- ihre Grenzfunktion.
- Auf dem Definitionsbereich D
sei die Folge der stetigen Funktionen
![{\displaystyle f_{k}:D\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m}),\quad k=1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76c35be317f3e699e3c2925393af36e60b128294)
- gegeben; dabei sind die Dimensionen
gewählt. Dann heißt diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergent, wenn für jedes
ein Index
mit der eigenschaft
- existiert.
Satz 1 (Konvergenzsatz von Weierstrass)
Bearbeiten
- Auf dem Definitionsbereich
konvergiere die Folge stetiger Funktionen
![{\displaystyle f_{k}:D\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m}),k=1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb9d6a76013b0330100c5de1eb3a25ae4cc18b2)
- gleichmäßig gegen die Grenzfunktion
. Dann ist
stetig auf
.
Sei
beliebig gewählt. Zu vorgegebenem
existiert ein Index
, so dass (3) erfüllt ist. Da die Funktion
im Punkt
stetig ist, gibt es ein
, so dass
(4)
![{\displaystyle |f_{N}\left(x)-f_{N}(\xi \right)|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c4594b97752099cb5cacf60c51e5c5d7a266cf)
für alle
![{\displaystyle x\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f)
mit
![{\displaystyle {\begin{matrix}|x-\xi |<\delta \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7809dc8511a4ae395febd6267a10064d41c0239)
richtig ist. Somit folgt
(5)
![{\displaystyle |f(x)-f(\xi )|\leq |f(x)-f_{N}(x)|+|f_{N}(x)-f_{N}(\xi )|+|f_{N}(\xi )-f(\xi )|<3\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10bcfa4245710c1cb186dcbbca45a0800f8d3213)
für alle
![{\displaystyle x\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f)
mit
![{\displaystyle {\begin{matrix}|x-\xi |<\delta \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7809dc8511a4ae395febd6267a10064d41c0239)
.
Also ist
stetig in
.
q.e.d.
Satz 2 (Vollständigkeit des
-Raums)
Bearbeiten
- Sei die Folge stetiger Funktionen
![{\displaystyle f_{k}:D\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m}),\quad k=1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76c35be317f3e699e3c2925393af36e60b128294)
- auf dem Definitionsbereich
gegeben. Dann konvergiert die Funktionenfolge
gleichmäßig gegen die stetige Grenzfunktion
genau dann, wenn es zu jedem
einen Index
gibt, so dass
- erfüllt ist.
Die Funktionenfolge
konvergiere gleichmäßig auf
gegen die Grenzfunktion
. Dann gibt es zu jedem
einen Index
, so dass
für alle
und alle
ausfällt. Damit folgt
(7)
![{\displaystyle |f_{k}(x)-f_{l}(x)|\leq |f_{k}(x)-f(x)|+|f(x)-f_{l}(x)|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d3d8a06e373c6b75e64a94f91a7965dd0ac7bb)
für alle
![{\displaystyle x\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f)
und alle
![{\displaystyle k,l\geq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de9bbbe8523df7041be8f8188de05bf3915aa36)
.
Zu vorgegebenem
existiert nun ein Index
mit der Eigenschaft (6). Damit ist die Punktfolge eine Cauchyfolge im
. Wegen der Vollständigkeit dieses Raumes existiert der Grenzwert
![{\displaystyle f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)\in \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8b1a6e0c72a77899c2d0cb49a1f730bed1840b)
für alle
. In der Ungleichung (6) vollziehen wir den Grenzübergang
und wir erhalten für jedes
ein
mit folgender Eigenschaft:
![{\displaystyle |f_{k}(x)-f(x)|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779f66fd8542b395f23adf51dc959d83dcf21fe8)
für alle
![{\displaystyle x\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f)
und alle
![{\displaystyle k\geq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e1b1b334a5e23e638dc3439d1145e9aa4a2db0)
.
Also konvergiert die Funktionenfolge
gleichmäßig auf
gegen
.
q.e.d.
- Auf dem Raum
mit
erklären wir die Supremumsnorm oder auch
-Norm wie folgt:
(8)
![{\displaystyle \|f\|_{0}=\|f\|_{C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m})}:=\sup _{x\in D}|f(x)|\quad f\in C^{0}(D,\mathbb {R} ^{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620f37f55840bcc7c4012b95e5898879e9664937)
.
- Auf dem Definitionsbereich
sei die Folge stetiger Funktionen
![{\displaystyle f_{k}:D\to \mathbb {C} \in C^{0}(D,\mathbb {C} ),\quad k=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe739c34bed701354bd82bcb7de9f4e32442651)
- gegeben; dabei ist die Dimension
gewählt. Dann heißt die Funktionenreihe
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}:D\to \mathbb {C} :x\mapsto \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a63c772e2dffc4bb6c2c562388e74c0974c6f404)
- gleichmäßig konvergent auf
, wenn die Folge der Partialsummen
![{\displaystyle s_{m}(x):=\sum _{k=0}^{m}f_{k}(x),\quad x\in D\quad m=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f707582a5daf56a6d3db1e795638ce9f7be6cee6)
- gleichmäßig auf
konvergiert.
Satz 3 (Weierstraßscher Majorantentest bzw. M-Test)
Bearbeiten
- Auf dem Definitionsbereich
sei die Folge stetiger Funktionen
![{\displaystyle f_{k}:D\to \mathbb {C} \in C^{0}(D,\mathbb {C} ),k=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a6d4dcc611b153dd0447177fc4daf8c5024ba0)
- gegeben, welche der Ungleichung
![{\displaystyle |f_{k}(x)|\leq M_{k},x\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50f11956c18c5ab16aa502690df3a079a2270ad)
- für alle
genügen. Dabei bilden die Zahlen
![{\displaystyle M_{k}\in [0,+\infty ),k=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a476f949aa4538e04134a65dee359370c381f61)
- gemäß
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }M_{k}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45397e7bd0e1462692b75e94afef2f08f8276fa4)
- eine konvergente Reihe. Dann konvergiert die Funktionenreihe
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f_{k}:D\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cda3b6a45ab7cdb701ee4a5ecd233194275fd43)
- gleichmäßig auf
.
Zu vorgegebenem
gibt es einen Index
dass für alle
mit
die Ungleichung
![{\displaystyle \sum _{k=p+1}^{q}M_{k}\leq \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b64f3bfb59e32f46cfb639ee912910badd124c)
gilt. Damit ist
(10)
![{\displaystyle |s_{q}(x)-s_{p}(x)|=|\sum _{k=p+1}^{q}f_{k}(x)|\leq \sum _{k=p+1}^{q}M_{k}\leq \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7da1b1e1cee0da1a3569407a165cde87fbdd4c2)
für alle
![{\displaystyle x\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf3e2c3607ccf1c1d7ee6620b44ef9d9e2e1f6f)
und alle
![{\displaystyle q>p\geq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab69c72a9f802a9000dc79848806c749c04b105)
erfüllt, sodass die Folge der Partialsummen
gleichmäßig konvergent ist.
q.e.d.
- Die Potenzreihe
![{\displaystyle P(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5020df29b460ece59bf1a0f7562a6c4f459949f0)
- konvergiere für alle
mit
bei festem Radius
. Dann konvergiert für jeden Radius
die Potenzreihe
![{\displaystyle P(z),\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67db06a169bc568ee5462a8c3c94a8495be8fa64)
mit
![{\displaystyle \left|z\right|\leq R_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071e70b8c554092e8571476ad4a61c5a7ab5c6a8)
- gleichmäßig. Somit stellt
![{\displaystyle P(z),\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67db06a169bc568ee5462a8c3c94a8495be8fa64)
mit
![{\displaystyle \left|z\right|<R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bcb1232ee898ef3b5a316253a251eb44117533)
- eine stetige Funktion dar.
Für alle Punkte
mit
gilt
![{\displaystyle |a_{n}z^{n}|\leq |a_{n}|R_{0}^{n},\quad n\in \mathbb {N} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec8bbfe4a1ce9ecf2716c7de67b0c7e15390a6d)
.
Der Satz 12 aus §6 in Kapitel I liefert die konvergenz der Reihe
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|R_{0}^{n}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044a39710009e8c17c8722225801629fb1ed0735)
.
Der Weierstraßsche Majorantentest impliziert die gleichmäßige Konvergenz der Reihe
in der abgeschlossenen Kreisscheibe
und folglich ist
dort stetig. Da der Radius
beliebig gewählt wurde, ist
sogar stetig in der offenen Kreisscheibe
.
q.e.d.
- Sei
eine absteigende reelle Zahlenfolge mit
![{\displaystyle a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \ldots \geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c213b25c2078c10e10c262888541ba79ef7bf309)
- und dem Grenzwert
. Dann ist die durch
![{\displaystyle P(z):=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},\quad z\in \mathbb {C} ,\quad |z|\leq 1,\quad z\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb558bbe4075167d4797490383684ecf083da5a3)
- definierte Funktion stetig auf ihrem Definitionsbereich.
Nach Satz 4 stellt
für
eine stetige Funktion dar. Zu zeigen bleibt die Stetigkeit für
und
. Hierzu betrachten wir die Folge stetiger Funktionen.
(11)
![{\displaystyle f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k},\quad z\in \mathbb {C} ,\quad |z|\leq 1,\quad |z-1|\geq \delta ,\quad n=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e84290d1d187ba7b913f36b70707db8b4d061e4)
mit einem
. Wir zeigen mittels partieller Summation, dass
dort gleichmäßig gegen
konvergiert. Wenn wir über
später verfügen, so ergibt sich für
die Ungleichung
(12)
![{\displaystyle |f_{n}(z)-f_{m}(z)|\leq a_{N+1}\cdot {\frac {2}{|1-z|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69961a5b9ddb6867158182415dd34563298bf36f)
,
wie man den Abschätzungen
(13)
![{\displaystyle |f_{n}(z)-f_{m}(z)|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}z^{k}\right|\leq a_{N+1}\cdot \sup _{q>p\geq N+1}\left|\sum _{k=p}^{q}z^{k}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b18d95e7dfd4995614299502566be7cff342c4)
und
(14)
![{\displaystyle \left|\sum _{k=p}^{q}z^{k}\right|=\left|z^{p}\sum _{k=p}^{q}z^{k-p}\right|{\stackrel {|z|\leq 1}{\leq }}\left|\sum _{k=p}^{q}z^{k-p}\right|{\stackrel {p=k-l}{\leq }}\left|\sum _{l=0}^{q-p}z^{l}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94e0df6dc292968178586df86c61ca0803170fc)
![{\displaystyle =\left|{\frac {1-z^{1+q-p}}{1-z}}\right|{\stackrel {|z-1|\neq 0}{\leq }}{\frac {1+|z|^{1+q-p}}{|1-z|}}\leq {\frac {2}{|1-z|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d538e7fb70e5b52272a3f63c3137ce598c17ac07)
entnimmt. Also erhalten wir
(15)
![{\displaystyle |f_{n}(z)-f_{m}(z)|\leq a_{N+1}\cdot {\frac {2}{\delta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f817518f132d67f44aafb1bb77546cb9b70d9a)
für alle
![{\displaystyle z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169fae60c23a2027ece2aa7fd4b5047492887e91)
mit
![{\displaystyle |z|\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606debb33b35e952a44319885f2b49c69bbfb721)
und
![{\displaystyle |z-1|\geq \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301612094b036906b0867d51f7143161bb2dd9ef)
,
falls
erfüllt ist – mit einem hinreichend großen
. Somit stellt
![{\displaystyle P(z)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(z),\quad z\in \mathbb {C} ,\quad |z|\leq 1,\quad |z-1|\geq \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8338543a23c0268ab54a4c4d9a86a4ce1b60143)
für alle
eine stetige Funktion dar.
q.e.d.
- Sei
eine komplexe Zahlenfolge, so dass die Reihe
konvergiert. Dann folgt die Stetigkeit der Funktion
definiert durch
(16)
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k},\quad 0\leq x\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7031a5f8c1bf24793ae4f2185d3e8855c676aa88)
.
Da die Reihe
konvergiert, ist auch die Reihe
für alle
konvergent. Es bleibt nur die Stetigkeit von
im Punkt
zu zeigen: Hierzu weisen wir die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge
(17)
![{\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k},\quad 0\leq x\leq 1,\quad n=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aef31f368176e8c6cca9b67175890ac6ef03629)
nach. Zu vorgegebenem
gibt es ein
, so dass
![{\displaystyle {\Bigl |}\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}{\Bigr |}\leq \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78570a5838e251e7ff58548e7ddf48f4d0a43b8f)
für alle
![{\displaystyle n>m\geq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee0278e1d5a54dfad1b5d39ffe9e6f54286cb49)
richtig ist. Somit folgt für alle
mittels partieller Summation
(18)
![{\displaystyle |f_{n}(x)-f_{m}(x)|={\Bigl |}\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}{\Bigr |}\leq x^{m+1}\cdot \varepsilon \leq \varepsilon ,\quad 0\leq x\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225433f1fe74e896e77a32c6fd71cfcc5f266190)
.
Da die Funktionen
auf
stetig sind für
und sie dort konvergieren liefert Satz 1 die Stetigkeit der Grenzfunktion
![{\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k},\quad 0\leq x\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e145975b2528ecaee98caed7d0e06bee3c0f82c)
.
q.e.d.
- Seien
und
Folgen komplexer Zahlen, so dass die Reihen
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k},\quad \sum _{k=0}^{\infty }b_{k},\quad \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cde3e053fa7409a4365e42ec9b53b7454016fd0)
- mit den Koeffizienten
![{\displaystyle c_{k}:=\sum _{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p},\quad k=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513da3478f2a03ac8140473c821edb23d889c860)
- konvergieren. Dann gilt die Identität
![{\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4de0aac5bcad002aa50e4c72bba839c13866eb)
.
Wir definieren die Funktionen
(19)
![{\displaystyle f(x):=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k},\quad g(x):=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}x^{k},\quad h(x):=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k},\quad 0\leq x\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39de881f329202087fffdcf6a9204f11639256f5)
,
welche nach dem Abelschen Stetigkeitssatz auf dem intervall
stetig sind. Für alle Punkte
gilt nun
(20)
![{\displaystyle f(x)\cdot g(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}x^{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}=h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4dd892463c76947c7430b6f1b89ecbc39ed669)
,
da die Reihen dort absolut konvergieren. Beim Grenzübergang
erhalten wir
(21)
![{\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=f(1)\cdot g(1)=h(1)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f433b141d4b21214a03dab8546798408b8753520)
.
q.e.d.
Reelle und komplexe Differenzierbarkeit (§3)
Bearbeiten
- Sei das offene Intervall
mit den Grenzen
sowie die Dimension
gegeben. Dann nennen wir die Funktion
![{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b81d75de46246cd25325ff04ce9e6a7cb21a07f)
- im Punkt
(reell) differenzierbar, falls der Grenzwert
(1)
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=:f'(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a7e5a42e00d65e62009180c7398abb576d93d7)
- existiert. Wir nennen
die Ableitung von
im Punkt
.
Die Existenz des obigen Grenzwerts (1) bedeutet, dass für jede Folge
mit
folgendes gilt:
(2)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}=f'(x)\in \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75110e7b014a4db1b144d592ace62b864a35a9d)
.
- Die Funktion
aus Definition 1 ist genau dann im Punkt
differenzierbar, wenn es eine stetige Funktion
mit der Eigenschaft ![{\displaystyle \phi (x_{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59900b635e15c7525f4fe088ddc38db6e3a874b8)
- so gibt, dass die linear approximative Darstellung
![{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+(x-x_{0})\cdot \phi (x),\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad761cf975fa9537a84f032be7250d843d247f5)
- erfüllt ist.
Sei
an der Stelle
differenzierbar. Dann erklären wir die Hilfsfunktion
(4)
![{\displaystyle \phi (x)=\phi (x,x_{0}):={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f'(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c313840f409dd1771cab6742d8aae8703c9f0c29)
für
![{\displaystyle x\in I\setminus \{x_{0}\},\quad :=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e5a87d57bba1f0d9c36cef3f6044711836469c)
für
![{\displaystyle x=x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e899fc6eba0b387b91f070adc7bc4fe5a706cb)
.
Die Differenzierbarkeit liefert
(5)
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}\phi (x,x_{0})=\left(\lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)-f'(x_{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d634c99e4e4ac2054c658d47a28bbac1d6111d6b)
Stellen wir (4) geeignet um, so finden wir die gesuchte Darstellung (3).
Wir gehen nun von der Darstellung (3) aus, subtrahieren
und dividieren durch
:
(6)
![{\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0})+\phi (x),\quad x\in I\setminus \{x_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0b6098c2077002cf70ae3549f062e9075a3013)
.
Hieraus ermitteln wir
(7)
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0},x\neq x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec060824850f9d72d45e3e964a14df7d010a46d8)
,
womit die Differenzierbarkeit von
im Punkt
folgt.
q.e.d.
- Sei die Funktion
aus Definition 1 im Punkt
differenzierbar. Dann ist sie dort auch stetig.
- Sei die Funktion
aus Definition 1 gegeben. Falls diese in allen Punkten
differenzierbar ist, nennen wir
differenzierbar in
. Wir erhalten dann die abgeleitete Funktion
vermöge ![{\displaystyle x\in I,x\mapsto f'(x)\in \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a556fedb2d5ec31f868ba72318f9f0fce3a3b2)
- oder kurz die Ableitung von
auf
.
Satz 3 (Linearität der Differentiation)
Bearbeiten
- Seien im offenen Intervall
mit den Grenzen
die Funktionen
![{\displaystyle f,g:I\to \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300fbb1dfb1dd0198b450db220fae867ab2085a0)
- im Punkt
differenzierbar und die Skalare
beliebig gewählt. Dann ist auch die Funktion
![{\displaystyle h(x):=\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x),\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca3e26a8780501c4834021334719c838a02c2d4)
- im Punkt
differenzierbar und es gilt
(9)
![{\displaystyle h'(x_{0}):=\alpha \cdot f'(x_{0})+\beta \cdot g'(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fa6e604e4ad191fb4eace0bae40808e11c32b1)
.
Für alle
ermitteln wir die Identität
![{\displaystyle {\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}=\alpha \cdot {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}+\beta \cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e5a34867af3b35762c684cd7efe2d2720a5be6)
.
Hieraus folgt durch Grenzübergang
die Gleichung (9).
- Falls die differenzierbare Funktion
aus Definition 2 eine stetige Ableitung
![{\displaystyle f':I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ae9ea3df6bea671e0aed74318f1d7b500c5256)
- besitzt, so sprechen wir von einer in
stetig differenzierbaren Funktion. Der Vektorraum der 1-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem offenen Intervall
wird gegeben durch
(11)
![{\displaystyle C^{1}(I,\mathbb {R} ^{m}):=\{f:I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m}):}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb3665d607102c1177a699d4f57e9f00a5110b6c)
![{\displaystyle es\ existiert\ f'=f'(x)\in C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e0843454253a4393316d6fbbfdf58b52038216)
- mit den Verknüpfungen aus Definition 6 in §1. Falls die intervallgrenzen
erfüllen, so erklären wir den Vektorraum der 1-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem kompakten Intervall
wie folgt:
(12)
![{\displaystyle C^{1}({\overline {I}},\mathbb {R} ^{m}):=\{f':I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{1}(I,\mathbb {R} ^{m}):}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27dfa2d9e7923895fc86ba73952f07020a174de3)
![{\displaystyle f=f(x)\ und\ f'=f'(x)\ sind\ stetig\ auf\ {\overline {I}}\ fortsetzbar\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4980163091d65362ec090350ea14361c1185af)
.
- Seien im offenen Intervall
mit den Grenzen
die Funktionen
![{\displaystyle f,g:I\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbf0d8f15aee8acc5f40a25dd19561ca4a6da1a)
- im Punkt
differenzierbar. Dann ist auch die Funktion
![{\displaystyle h(x):=f(x)\cdot g(x),\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4d40755e9cd16efa7f975258b7ed469c5af884)
- im Punkt
differenzierbar und es gilt
(13)
![{\displaystyle h'(x_{0}):=f'(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g'(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa1d6bdf0d29484a85155227be4396e17f2c326)
.
Für alle
berechnen wir
(14)
![{\displaystyle {\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {f(x)\cdot g(x)-f(x_{0})\cdot g(x_{0})}{x-x_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cd9aff04e5d86b535ff97b3739a19efdb7256a)
![{\displaystyle ={\frac {f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x_{0})+f(x)\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g(x_{0})}{x-x_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1ea9f8c322a2b0ce45c8dfff3299ab1915e0b0)
![{\displaystyle =f(x)\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}+{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\cdot g(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53a249dcd69e8a029e1ad5074bfbf127a0f200d)
.
Der Grenzübergang
liefert schließlich die Identität (13).
q.e.d.
- Seien im offenen Intervall
mit den Grenzen
die Funktionen
![{\displaystyle f,g:I\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbf0d8f15aee8acc5f40a25dd19561ca4a6da1a)
- im Punkt
differenzierbar. Weiter sei die Bedingung
für alle ![{\displaystyle x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec8caa8f241cb38a5348d7937b538227ad32c48)
- erfüllt. Dann ist auch die Funktion
![{\displaystyle h(x):={\frac {f(x)}{g(x)}},\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52456461ea40059f15e443491e6f29ae1389c2b)
- im Punkt
differenzierbar und es gilt
(15)
![{\displaystyle h'(x_{0}):={\frac {f'(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g'(x_{0})}{g^{2}(x_{0})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee83002d75cf5ba1ed3147f60c2b9dbb5312a67)
.
Für alle
ermitteln wir
(16)
![{\displaystyle {\frac {h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}}}=\left({\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x_{0})}{g(x_{0})}}\right)\cdot {\frac {1}{x-x_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6885a9de8dd49709c23ef1c1c3033250939c480a)
![{\displaystyle ={\frac {f(x)\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g(x_{0})+f(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})\cdot g(x)}{g(x)\cdot g(x_{0})\cdot (x-x_{0})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59138b27662137123f8fa1532697620e681cf207)
![{\displaystyle {\frac {1}{g(x)\cdot g(x_{0})}}\left(g(x_{0})\cdot {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f82f82407e0f8a9f5c379db6a520d0050a41ee1)
.
Wiederum liefert der Grenzübergang
die behauptete Identität (15).
- Sei im offenen Intervall
mit den Grenzen
die Funktion
![{\displaystyle f=f(x):I\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7314e03abd3d635d975cc11ad9171dbfd7aa3398)
- im Punkt
differenzierbar und der Bildpunkt
erklärt. Auf dem Intervall
mit den Grenzen
sei die Funktion
![{\displaystyle g=g(y):J\to \mathbb {R} ^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b960489f61e5cd503584e04b45fdb7c9ca09bcf)
- im Punkt
differenzierbar und die Inklusion
sei erfüllt. Dann ist auch die Funktion
![{\displaystyle h(x):=g\circ f(x)=g{\Bigl (}f(x){\Bigr )},\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08c2aba5934b27b480455e120f6675aeba69606)
- im Punkt
differenzierbar und es gilt die Kettenregel
(17)
![{\displaystyle h'(x_{0})=g'{\Bigl (}f(x_{0}){\Bigr )}\cdot f'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa54cad8852ec2964b7814503cc5342f0579f362)
.
Wir betrachten beliebige Folgen
mit dem Grenzwert
. Wir definieren
![{\displaystyle y_{n}:=f(x_{n}),\quad n=1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7870e50f7d6cb53f4fb054b90ec5802a1ed843c)
sowie
![{\displaystyle y_{0}:=f(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb36b2096d4dc03a78044b262475f932f3dd73c)
und setzen zunächst die Bedingung
(18)
![{\displaystyle y_{n}=f(x_{n})\neq f(x_{0})=y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43259359ede2a6376e6b45ef8590f2e7a8e94532)
für alle
![{\displaystyle n\geq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b67a4f8e2ce89617f08316bfdcc6f33887b5629)
mit einem hinreichend großen Index
voraus. Dann erweitern wir die Differenzenquotienten
(19)
![{\displaystyle {\frac {h(x_{n})-h(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}={\frac {g{\Bigl (}f(x_{n}){\Bigr )}-g{\Bigl (}f(x_{0}){\Bigr )}}{x_{n}-x_{0}}}={\frac {g(y_{n})-g(y_{0})}{x_{n}-x_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e125dd2f0332f6a15a4db846fc8ad22dd2ef6a12)
![{\displaystyle ={\frac {g(y_{n})-g(y_{0})}{y_{n}-y_{0}}}\cdot {\frac {f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a25931a44b46df4bc44cf946810d3f755de634)
Hieraus folgt durch Grenzübergang
die Gleichung (17).
Insofern die Bedingung (18) verletzt ist, so gibt es eine Teilfolge
![{\displaystyle \{x'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c174ef8bc8ff9f6d854f4c67d735a8b5a22484ea)
mit
![{\displaystyle f(x'_{n})=f(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a904ee3b4225605c20e40ad4ad814596fc6085d)
für alle
![{\displaystyle n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b)
.
Wir erhalten dann für die Differenzenquotienten
(20)
![{\displaystyle {\frac {h(x'_{n})-h(x_{0})}{x'_{n}-x_{0}}}={\frac {g{\Bigl (}f(x'_{n}){\Bigr )}-g{\Bigl (}f(x_{0}){\Bigr )}}{x'_{n}-x_{0}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9adb5690b3ed761a0cbbd59ba5d663e85fd104)
.
Beim Grenzübergang
erhalten wir wiederum
![{\displaystyle h'(x_{0})=0=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df27b0dc666fbec8c97161aa040feab97fe3acc)
.
q.e.d.
Satz 7 (Differentiation der Umkehrfunktion)
Bearbeiten
- Seien die offenen Intervalle
mit den Grenzen
und
mit
gegeben. Die stetige, streng monotone, surjektive Funktion
![{\displaystyle f:{\overline {I}}\to {\overline {J}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7940ceead610c0aa99e73be021df31ec09ea61b)
- besitze die Umkehrfunktion
![{\displaystyle g=g(y):{\overline {J}}\to {\overline {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6951770ff1bcee070740d2cb14795aa4399bb11)
.
- Weiter sei
in
differenzierbar und erfülle
für alle
. Dann ist die Funktion
![{\displaystyle g(y),\quad y\in {\overline {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe1b6c6cb0c618717953ef2461e4778bd14031f4)
- im offenen Intervall
differenzierbar und es gilt
(21)
![{\displaystyle g'(y)={\frac {1}{f'{\Bigl (}g(y){\Bigr )}}},\quad y\in J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfdb43817fc6f1f7249be03cdc8f53d218a03604)
.
Wir wählen einen Punkt
beliebig sowie eine Folge
![{\displaystyle \{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset J\setminus \{y_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b6d609ea580d277db9955c6853f6d9eff60d36)
mit
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa58bea1378b6aa22644418e2013bb29c5eca55)
.
Wegen der Stetigkeit der Umkehrfunktion ist für die Folge
![{\displaystyle x_{n}:=g(y_{n}),\quad n=1,2,3,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91d0df2a57caaf7ac1ff8819441fe34d9ecb90e)
die Relation
erfüllt. Wir erhalten dann
(22)
![{\displaystyle {\frac {g(y_{n})-g(y_{0})}{y_{n}-y_{0}}}={\frac {x_{n}-x_{0}}{f(x_{n})-f(x_{0})}}=\left\{{\frac {f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}\right\}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053eb7d0f964ff6026eee2e25807ad2f281cd463)
für alle
. Wegen
erhalten wir
(23)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g(y_{n})-g(y_{0})}{y_{n}-y_{0}}}={\frac {1}{f'{\Bigl (}g(y_{0}){\Bigr )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f40506c6cf80f4703bcfc32d9c8da6764b67300)
.
q.e.d.
- Sei die Funktion
auf dem abgeschlossenen Intervall
mit den Grenzen
stetig und auf dem offenen Intervall
differenzierbar. Weiter sei
erfüllt. Dann gibt es eine Stelle
mit
.
Falls
erfüllt ist, so folgt
und die Aussage des Satzes ist richtig.
Andernfalls gibt es ein
mit
und wir können ohne Einschränkung
annehmen. Nach Satz 8 aus §1 gibt es eine Maximalstelle
mit der Eigenschaft
(24)
![{\displaystyle f(x)\leq f(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6723e66658c6b994e6a2989be57ab99119bd1029)
für alle
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
.
Wir betrachten jetzt den Differenzenquotienten mit den Eigenschaften
(25)
![{\displaystyle {\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331a3bea344ccfb26b8863be97cdeb5ee4106559)
für alle
![{\displaystyle a\leq x<\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe95da6382571eee6dbf84351815cce1a4fa8a1)
und
![{\displaystyle {\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7fe8312782674b67c2ba12e10da6179fcea31e)
für alle
![{\displaystyle b\geq x>\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2833b5c6bb1630f6d304c767e4cbae7af1e639e)
.
Da
im Punkt
differenzierbar ist, liefern der links- und rechtsseitige Grenzwert in (23) die Beziehung
(26)
![{\displaystyle f'(\xi )\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9a773fa9124e3eb761871c4acf5a00116e6525)
bzw.
![{\displaystyle f'(\xi )\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a421f1fac7b393b0b495bd6fbbdf17e66d81e6ec)
.
Somit folgt
.
q.e.d.
Satz 9 (Allgemeiner Mittelwertsatz der Differentialrechnung)
Bearbeiten
- Seien die Funktionen
auf dem abgeschlossenen Intervall
mit den Grenzen
stetig und auf dem offenen Intervall
differenzierbar. Weiter gelte
für alle ![{\displaystyle x\in (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3086a4c11c5439b2f5a5b712e1dd9c06dcb535)
- und
. Dann gibt es eine Stelle
mit
![{\displaystyle {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a7a25d382a34b6254847ad689347cac6c2e972)
.
Wir betrachten die Hilfsfunktion
(27)
![{\displaystyle h(x):=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot {\bigl (}g(x)-g(a){\bigr )},\quad x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0422aedfb1486166cfa24a6055871a3dcb5d1f21)
.
Wir ermitteln, dass
in
stetig und in
differenzierbar ist sowie
![{\displaystyle h\left(a)=0=h(b\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0cd2d4acef30d7f9873e06e9f3636a36d964fb)
.
Nach dem Rolleschen Satz gibt es einen Punkt
mit der Eigenschaft
(28)
![{\displaystyle 0=h'(\xi )=f'(\xi )-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g'(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfcaba5df3e69fa42541f3091bba1fc748b6af08)
bzw.
(29)
![{\displaystyle {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a7a25d382a34b6254847ad689347cac6c2e972)
.
q.e.d.
Satz 10 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)
Bearbeiten
- Sei die Funktion
auf dem abgeschlossenen Intervall
mit den Grenzen
stetig und auf dem offenen Intervall
differenzierbar. Dann gibt es eine Stelle
mit der Eigenschaft
![{\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03504457b3f457e8293e4d50a857f5752bb3b0d5)
.
- Man findet also im Innern des Intervalls einen Punkt, wo das Steigungsmaß der Tangente an die Funktion
mit dem der Sekante durch die Punkte
und
übereinstimmt.
- Über den Mittelwertsatz sieht man leicht ein, dass eine Funktion schwach monoton steigend bzw. fallend ist, falls ihre Ableitung nicht negativ bzw. nicht positiv in ihrem Definitionsintervall ist.
- Auf der offenen Menge
sei die Funktion
erklärt und der Punkt
sei gewählt. Dann heißt
im Punkt
komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert
![{\displaystyle \lim _{z\to z_{0},z\neq z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=:f'(z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e08889ed995f5fc957ba2bf489ed8bcf144c13)
- existiert. Wir nennen
die komplexe Ableitung der Funktion
an der Stelle
. Falls
für alle
existiert und die Funktion
stetig ist, nennen wir die Funktion
holomorph in
.
Mit den konvergenten Potenzreihen werden wir in Satz 15 wichtige Beispiele holomorpher Funktionen kennen lernen. Insbesondere stellen also die Polynome holomorphe Funktionen dar. Wir geben nun mit der Funktion
![{\displaystyle f(z):={\overline {z}},\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73ba84205148b30afed7ef5063a87520471e57ab)
eine nicht holomorphe Funktion an. Für einen beliebigen Punkt
betrachten wir die Grenzwerte
![{\displaystyle \lim _{h\to 0,h>0}{\frac {f(z+ih)-f(z)}{(z+ih)-z}}=\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {{\overline {(z+ih)}}-{\overline {z}}}{ih}}=\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {-ih}{ih}}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be69f60d88c7d9d579d5e9cef5a04ef50d816725)
sowie
![{\displaystyle \lim _{h\to 0,h>0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{(z+h)-z}}=\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {{\overline {(z+h)}}-{\overline {z}}}{h}}=\lim _{h\to 0,h>0}{\frac {h}{h}}=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a159b7aad7550d723ca71027e6f1dc36914c16b)
Somit ist
für kein
komplex differenzierbar.
Wir notieren nun die Differentiationsregeln für holomorphe Funktionen, die wir wie im Reellen beweisen können; dieses überlassen wir dem Leser zur Übung.
Satz 11 (Linearitäts-, Produkt- und Quotientenregel für holomorphe Funktionen)
Bearbeiten
- Auf der offenen Menge
seien die holomorphen Funktionen
sowie die komplexen Konstanten
gegeben. Dann sind auch die Funktionen
und ![{\displaystyle h_{2}(z):=f(z)\cdot g(z),\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d56474f528097b026014c614220a20be5d43ff)
- holomorph und es gilt die Linearitätsregel
![{\displaystyle h_{1}'(z):=\alpha \cdot f'(z)+\beta \cdot g'(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5e6472aecb26efaf32162b0c1c3839f2e54039)
- bzw. die Produktregel
![{\displaystyle h_{2}'(z):=f'(z)\cdot g(z)+f(z)\cdot g'(z),\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26fa237526dcfedfb38b9d9003c3205113da8c35)
- Falls zusätzlich
für alle
gilt, so erfüllt die holomorphe Funktion
![{\displaystyle h_{3}(z):={\frac {f(z)}{g(z)}},\quad z\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9f986ea04ddbe3d8b722340c27aa6b53f332c5)
- die Quotientenregel
![{\displaystyle h_{3}'(z):={\frac {f'(z)\cdot g(z)-f(z)\cdot g'(z)}{g^{2}(z)}},\quad z\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f00ef07a3a632e04262d62142069f0991ea81d0)
.
Satz 12 (Kettenregel für holomorphe Funktionen)
Bearbeiten
- Seien
und
zwei offene Mengen, auf denen die holomorphen Funktionen
und ![{\displaystyle g=g(w):\Theta \to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea60a5c4997cf896e9c2845c5f3d8252e8f5f8a)
- erklärt sind. Dann ist auch die Funktion
![{\displaystyle h(z):=g\circ f(z)=g{\Bigl (}f(z){\Bigr )},\quad z\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e882eb2778c3ea36be2f66053b9701bd0a5f6d)
- holomorph und es gilt die Kettenregel
![{\displaystyle h'(z)=g'{\Bigl (}f(z){\Bigr )}\cdot f'(z),\quad z\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e05f86bb6824d9bcc161c7f14647006df79017b)
.
- Auf der offenen Menge
sei die Funktion
holomorph – mit der komplexen Ableitung
. Weiter sei im offenen Intervall
mit den Grenzen
die Funktion
reell differenzierbar mit der stetigen Ableitung
. Dann ist auch die komponierte Funktion
![{\displaystyle h(x):=g\circ f(x)=g{\Bigl (}f(x){\Bigr )},\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08c2aba5934b27b480455e120f6675aeba69606)
- im Intervall
stetig differenzierbar und es gilt die komplexe Kettenregel
(30)
![{\displaystyle h'(x)=g'{\Bigl (}f(x){\Bigr )}\cdot f'(x),\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d50f9a2bbf70eb74e8cff0e22c34a612fce6f30)
.
Verwende die Argumente aus dem Beweis zu Satz 6.
- Seien
und
zwei offene Mengen, auf denen die holomorphe und bijektive Funktion
mit der Eigenschaft
für alle
erklärt ist. Dann ist auch ihre Umkehrfunktion
holomorph und es gilt
(31)
![{\displaystyle g'(w)={\frac {1}{f'{\Bigl (}g(w){\Bigr )}}},\quad w\in \Theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b3e893cbbedea07a4003f9da47fb0b937514d1)
.
Satz 15 (Differentiation von Potenzreihen)
Bearbeiten
- Die Potenzreihe
![{\displaystyle f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad z\in K_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6718073f4b6f00a00ea81f8136cc01f9a6764cf5)
- konvergiere in der Kreisscheibe
mit dem festen Konvergenzradius
. Dann ist die Funktion
holomorph und es gilt
![{\displaystyle f'(z):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1},\quad z\in K_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20bd46d2fdd6c3c9f450e6d34806198e6ddf8dfa)
- für ihre komplexe Ableitung.
1. Zunächst zeigen wir die Konvergenz der gliedweise differenzierten Reihe
für alle
. Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Reihen ist die Konvergenz dieser Reihe äquivalent zur Konvergenz der Reihe
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125c2fedc11691aed91bdc7196e8f346d63f104d)
mit
![{\displaystyle b_{n}:=na_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3bd9f2b23cb492d250ec5202a53fa49f1e6b4f)
für alle
![{\displaystyle n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b)
.
Nun ermitteln wir
(32)
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|b_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }\left({\sqrt[{n}]{n}}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97056e92bb607a827d50bf0e0fde34bdd0e98ec)
.
Folglich hat die gliedweise differenzierte Reihe den gleichen Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe.
2. Zu festem
mit
wählen wir
mit
sowie
beliebig und betrachten den Differenzenquotienten
(33)
![{\displaystyle {\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot {\frac {w^{n}-z^{n}}{w-z}}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cdot g_{n}(w,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d10637a84ce0d6b77af0455b5c0db798e0879f1)
.
Hier verwenden wir die Hilfsfunktion
(34)
![{\displaystyle g_{n}(w,z):=(w^{n-1}+w^{n-2}z+\ldots +wz^{n-2}+z^{n-1}),\quad w,z\in K_{R_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3493adfb0c460b28cb4274bb13cc8448f3cd16)
für alle
. Wegen der Abschätzung
(35)
![{\displaystyle |a_{n}\cdot g_{n}(w,z)|\leq n\cdot |a_{n}|\cdot R_{0}^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab27124330fee042ec67f401671636140cdfed21)
für alle
![{\displaystyle w,z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e21f5bbafa189e188658eb22442bd8d2fd3227)
mit
![{\displaystyle |w|\leq R_{0},|z|\leq R_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9a7baec7d8a7533497f4ef530037dc702c7d84)
für alle
und der Aussage
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n\cdot |a_{n}|\cdot R_{0}^{n-1}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9359279e109afda1a8afca4067252b3c359f3214)
liefert der Weierstraßsche Majorantentest (M-Test) die gleichmäßige Konvergenz der Reihe aus (33) für alle
mit
. Somit erhalten wir eine in
und
stetige Funktion. Beim Grenzübergang
ergibt sich schließlich
(36)
![{\displaystyle f'(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cdot g_{n}(z,z)=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot a_{n}\cdot z^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad68a495115f9b53d9c3a25ee94c43cc1c6f97e)
.
Riemannsches Integral für stetige Funktionen (§4)
Bearbeiten
Wir betrachten ein kompaktes Intervall
mit den Grenzen
und der Länge
sowie eine reellwertige, beschränkte Funktion
![{\displaystyle f=f(x):Q\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7b7e217559565773cc4d7125b0e9d0286b474d)
Nun wählen wir eine Zerlegung
des Intervalls
in
Teilintervalle wie folgt:
(1)
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {Z}}:{\text{Es gibt }}p=p({\mathcal {Z}})\in \mathbb {N} {\text{ Teilintervalle }}Q_{j}:=[x_{j-1},x_{j}]\\\mathrm {der\ L{\ddot {a}}ngen\ } |Q_{j}|=x_{j}-x_{j-1},\quad j=1,...,p\\{\text{mit den Teilungspunkten }}a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{p-1}<x_{p}=b.\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e344d5d3b000d74b3c1aff8fd3f3e2e5068f7539)
- Wir nennen
das Feinheitsmaß der Zerlegung
.
- Wählen wir zur Zerlegung
aus (1) beliebige Zwischenpunkte
für
, welche wir zum Vektor
zusammenfassen, so definiert man mittels
(2)
![{\displaystyle R(f,{\mathcal {Z}},\xi ):=\sum _{j=1}^{p}f(\xi _{j})(x_{j}-x_{j-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a2bef7dd4fd3bf755990977bb9fdcf0077bb63)
- die Riemannsche Zwischensumme in Abhängigkeit von
und
.
Satz 1 (Integrabilität stetiger Funktionen auf kompakten Intervallen)
Bearbeiten
- Sei
eine stetige Funktion auf dem kompakten Intervall
. Dann gibt es zu jedem
ein
mit folgender Eigenschaft:
- Für je zwei beliebige Zerlegungen
gemäß (1) mit den Feinheitsmaßen
sowie beliebig ausgewählten Zwischenpunkten
![{\displaystyle \xi ^{(k)}:=\{\xi _{j}^{(k)}\}_{j=1,\ldots ,p^{(k)}},\quad k=1,2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5c41aef876bf9d4f289d50f9e99636d53bb8ce)
- ist die nachfolgende Abschätzung
(3)
![{\displaystyle |R(f,{\mathcal {Z}}^{(1)},\xi ^{(1)})-R(f,{\mathcal {Z}}^{(1)},\xi ^{(1)})|\leq \varepsilon \cdot (b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4071c658508e9ead53f5739392f860acdcf370)
- richtig.
1. Da stetige Funktionen auf kompakten Mengen gemäß Satz 7 aus §1 gleichmäßig stetig sind, gibt es zu vorgegebenem
ein
mit der folgenden Eigenschaft
(4)
![{\displaystyle x_{*},x_{**}\in Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306e776f84be263081a88e9ae1a267c400ad715c)
mit
![{\displaystyle |x_{*}-x_{**}|<2\delta \left(\varepsilon \right)\quad \Rightarrow \quad |f(x_{*})-f(x_{**})|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60ceb11f286116cc0f1c3e805bb989a4b198e87)
.
2. Mit
betrachten wir nun zwei Zerlegungen
des Intervalls
in die
Teilintervalle
![{\displaystyle Q_{j}^{(k)}:=[x_{j-1}^{(k)},x_{j}^{(k)}],\quad j=1,\ldots ,p^{(k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff1d44c15a32ca0595986feb4fcb957f97b8ce4)
mit den Teilungspunkten
![{\displaystyle a=x_{0}^{(k)}<x_{1}^{(k)}<x_{2}^{(k)}<\ldots <x_{p^{(k)}-1}^{(k)}<x_{p^{(k)}}^{(k)}=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a7a08f2933856d06ebd89a177ed6415fb02077)
,
deren Feinheitsmaße
erfüllen. Wir verwenden jetzt die Verfeinerung der beiden Zerlegungen
und
, nämlich
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}:={\mathcal {Z}}^{(1)}\cup {\mathcal {Z}}^{(2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceda2ece55ff1755e411f3928c1c722708f2adcd)
gemäß (1). Dabei bestehen die Teilungspunkte von
aus den Punkten
![{\displaystyle \{x_{j}\}_{j=1,\ldots ,p}=\{x_{j}^{(1)}\}_{j=1,\ldots ,p^{(1)}}\cup \{x_{j}^{(2)}\}_{j=1,\ldots ,p^{(2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c1be086ff17be736881c18ea36d0036b7d1c4c)
und sie bilden die Intervalle
![{\displaystyle Q_{j}=[x_{j-1},x_{j}]\quad j=1,\ldots ,p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388abd68a785c023ca15531ae421bbe96fc3cc2c)
der Gesamtzahl
![{\displaystyle \max\{p^{(1)},p^{(2)}\}\leq p\leq p^{(1)}+p^{(2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f6458356e958e372b7c86d3b489511a5532377)
.
3. Seien nun zu den Zerlegungen
beliebige zwischenpunkte
![{\displaystyle \xi _{j}^{(k)}\in Q_{j}^{(k)},\quad j=1,\ldots ,p^{(k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72486c57761cb3ccba04d8b24fa85b2e294776c3)
mit
ausgewählt. Dann setzen wir für
und
folgendermaßen Zwischenwerte fest:
(5)
![{\displaystyle y_{j}^{(k)}:=f{\Bigl (}\xi _{l(j,k)}^{(k)}{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b99829b8b86dcf36b3b928075355a94a5878a32)
, falls
![{\displaystyle Q_{j}\subset Q_{l}^{(k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92790039629f553196ef209552d2075950f12f2)
für ein
![{\displaystyle l=l(j,k)\in \{1,\ldots ,p^{(k)}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c0d89f48e7619fe5c41277748513e60b3769c0)
.
Mit Hilfe von (4) und (5) und der Ungleichung
schätzen wir wie folgt ab:
(6)
![{\displaystyle |y_{j}^{(1)}-y_{j}^{(2)}|=|f{\Bigl (}\xi _{l(j,1)}^{(1)}{\Bigr )}-f{\Bigl (}\xi _{l(j,2)}^{(2)}{\Bigr )}|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf0b307662a63989485302f4546dc9c449e58b3)
für
![{\displaystyle j=1,2,\ldots ,p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25204a15783121ff085e81c0dce9fbdba93f00c)
.
Die Riemannschen Zwischensummen
ermitteln wir folgendermaßen:
(7)
![{\displaystyle R^{(k)}=\sum _{j=1}^{p^{(k)}}f(\xi _{j}^{(k)})(x_{j}^{(k)}-x_{j-1}^{(k)})=\sum _{j=1}^{p}y_{j}^{(k)}(x_{j}-x_{j-1}),\quad k=1,2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6073d9b032f96877c98fa83f2f72ad0069ba718f)
.
4. Mit Hilfe der Ungleichungen (6) und (7) schätzen wir nun ab:
(8)
![{\displaystyle |R^{(1)}-R^{(2)}|=\left|\sum _{j=1}^{p}{\Bigl (}y_{j}^{(1)}-y_{j}^{(2)}{\Bigr )}\cdot (x_{j}-x_{j-1})\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5cf7e6bbe3cce233eb88ba4113978bdd0b74324)
![{\displaystyle \leq \sum _{j=1}^{p}{\Bigl |}y_{j}^{(1)}-y_{j}^{(2)}{\Bigr |}\cdot (x_{j}-x_{j-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9bfba0080cd7f17d6c75b76f0710389bdb930bc)
![{\displaystyle \leq \varepsilon \cdot \sum _{j=1}^{p}(x_{j}-x_{j-1})=\varepsilon \cdot (b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11287b8d40984359204ab3c2377d73f8de9efb8f)
.
q.e.d.
- Eine Folge von Zerlegungen
nennen wir ausgezeichnet, wenn deren Feinheitsmaß gemäß
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|{\mathcal {Z}}^{(k)}\|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc89a4c9579396551e148f5fa86d979af8ee11d0)
- gegen Null strebt.
- Eine beschränkte Funktion
auf dem kompakten Intervall
nennen wir Riemann-integrierbar oder kurz integrierbar, wenn für jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge
und beliebig ausgewählte Zwischenpunkte
![{\displaystyle \xi ^{(k)}:=\{\xi _{j}^{(k)}\}_{j=1,\ldots ,p^{(k)}},\quad k=1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a01186dfee391bc42ee56acb891cd64788eff49)
- die Folge der Riemannschen Zwischensummen
![{\displaystyle R(f,{\mathcal {Z}}^{(k)},\xi ^{(k)}),\quad k=1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33484b9dc2e617cbfb185891c4b7db0dc9d7f0c1)
- konvergiert. In diesem Falle nennen wir
(9)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx:=\lim _{k\to \infty }R(f,{\mathcal {Z}}^{(k)},\xi ^{(k)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291e41bf34de0f8affed62cf2c78714a643e77c0)
- das (Riemannsche) Integral von
über das Intervall
.
Satz 2 (Integration stetiger Funktionen auf kompakten Intervallen)
Bearbeiten
- Es gelten die folgenden Aussagen:
- 1. Jede stetige Funktion
ist Riemann-integrierbar.
- 2. Für stetige Funktionen
und Skalare
gilt die Linearitätsregel
![{\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f17487963aae42dda23742d246ddcbf63066c6)
.
- 3. Für jede stetige Funktion
gilt die Abschätzung
![{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq (b-a)\cdot \sup _{x\in Q}|f(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4004a19453b1d43ec28058ecb057bb1bd6f05b8c)
.
1. Die Integrabilität folgt sofort aus obigem Satz 1.
2. Für beliebige Zerlegungen
von
und beliebige Zwischenpunkte
gilt die Identität
![{\displaystyle R(\alpha f+\beta g,{\mathcal {Z}},\xi )=\alpha \cdot R(f,{\mathcal {Z}},\xi )+\beta \cdot R(g,{\mathcal {Z}},\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ec5fe52224bb8290c434acaeb992fd5f78bb1a)
.
Betrachten wir dann eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge mit entsprechenden beliebigen Zwischenpunkten, so folgt
(10)
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }R(\alpha f+\beta g,{\mathcal {Z}}^{(k)},\xi ^{(k)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505bda36bf75d4f23a4116198bf0351b5ca0d7ce)
![{\displaystyle =\alpha \lim _{k\to \infty }R(f,{\mathcal {Z}}^{(k)},\xi ^{(k)})+\beta \lim _{k\to \infty }R(g,{\mathcal {Z}}^{(k)},\xi ^{(k)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7044f3f35ea717ef19c86edfd30011ec8008cc23)
.
Damit erhalten wir die Linearitätsregel.
3. Wiederum gehen wir auf die Riemannschen Zwischensummen zurück und schätzen wie folgt ab:
(11)
![{\displaystyle |R(f,{\mathcal {Z}},\xi )|=\left|\sum _{j=1}^{p}f(\xi _{j})(x_{j}-x_{j-1})\right|\leq \sum _{j=1}^{p}|f(\xi _{j})|(x_{j}-x_{j-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8d0852e41ff34dbb3f9cfecb3130654e5aca8f)
![{\displaystyle \leq \sup _{x\in Q}|f(x)|\cdot \sum _{j=1}^{p}(x_{j}-x_{j-1})=(b-a)\cdot \sup _{x\in Q}|f(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8cb936d2b4473e2256e7dca6b7f6329a4ae8e7)
.
Dann lassen wir die Zerlegungen eine ausgezeichnete Folge mit ihren Zwischenpunkten durchlaufen und wir erhalten beim Grenzübergang auch diese Aussage.
q.e.d.
1. Wenn wir eine positive Funktion
betrachten, so approximiert das Integral offenbar den Flächeninhalt des ebenen Bereichs
![{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:a\leq x\leq b,0\leq y\leq f(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734faa6198dc53453a759e2bd1246d45a2747a36)
.
2. Bei der Dirichletschen Sprungfunktion
![{\displaystyle f(x):=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d88eaa686f236a9fa0f9a5a992b5c7d7f86062)
für
![{\displaystyle x\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2282dc74edbf9a56d6eb603dd9674fd5baaf33)
,
![{\displaystyle f(x):=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bfab51e9bceb751d51a8c08135bb461caf82b27)
für
![{\displaystyle x\in [0,1]\setminus \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56ed6a084d16d00edcd9dd216902015beef8171)
wählen wir zu jeder ausgezeichneten Zerlegungsfolge des Intervalls
alternierend nur rationale oder irrationale Zwischenpunkte, so dass dann die Riemannschen Zwischensummen alternierend die Werte
bzw.
annehmen. Somit ist gemäß Definition 4 die Dirichletsche Sprungfunktion nicht Riemann-integrierbar.
3. In Kapitel V werden wir eine Riemannsche Integrationstheorie für reellwertige Funktionen in
Veränderlichen entwickeln. Wir werden insbesondere die Frage beantworten, wie groß die Menge der Unstetigkeiten einer Funktion sein darf, damit sie noch Riemann-integrierbar ist
Integration mittels reeller und komplexer Stammfunktionen (§5)
Bearbeiten
- Für jede stetig differenzierbare Funktion
![{\displaystyle f=f(x):Q\to \mathbb {R} \in C^{1}(Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2beef7856b5bea013cad8cdce3ba90788a8219)
- gilt die Leibnizsche Identität
(1)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3abff3c403582c0ce70a008d82f6648d704dc4d)
.
Wir wählen eine beliebige Zerlegung
(2)
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}:a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{p-1}<x_{p}=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334869b5deee5d13f3633804221b80f184d9b1b6)
des Intervalls
. In jedem Teilintervall
finden wir mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung einen Punkt
, so dass
![{\displaystyle f(x_{j})-f(x_{j-1})=f'(\xi _{j})\left(x_{j}-x_{j-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fccb6255d3ba704ea7de21c697a6f8171d94929)
für
richtig ist. Als Riemannsche Zwischensumme für die Ableitung
erhalten wir dann
(3)
![{\displaystyle R(f',{\mathcal {Z}},\xi )=\sum _{j=1}^{p}f'(\xi _{j})\cdot (x_{j}-x_{j-1})=\sum _{j=1}^{p}{\Bigl (}f(x_{j})-f(x_{j-1}){\Bigr )}=f(b)-f(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b54ad7b49799587719fbc5f49efa9675fd8dc7d)
.
Lassen wir nun die Zerlegungen eine ausgezeichnete Folge durchlaufen, so ergibt sich die Leibnizsche Identität. Hierbei beachten wir, dass die Ableitung als stetige Funktion auf
integrierbar ist.
q.e.d.
- Die komplexwertige Funktion
heißt genau dann integrierbar, wenn sowohl ihr Realteil
als auch ihr Imaginärteil
integrierbar ist. In diesem Fall setzen wir
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx+i\int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf3116fadfb0c0f706eb01a3fd1c149338c4fb3)
.
- Für die komplexwertige, integrierbare Funktion
erklären wir mit Hilfe von Definition 1 wie folgt ein orientiertes Integral. Seien die Punkte
beliebig, so definieren wir
(4)
, falls
gilt;
(4)
, falls
gilt;
(4)
, falls
gilt.
Hilfssatz 2 (Additivität des orientierten Integrals)
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- Für die komplexwertige, integrierbare Funktion
gilt die Additivitätsregel
![{\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx+\int _{x_{2}}^{x_{3}}f(x)\,dx=\int _{x_{1}}^{x_{3}}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35d459191c13a6034f9f351c989b63a6e67220c)
- bei beliebigen Zwischenpunkten
.
Falls
für die Zwischenpunkte erfüllt ist, sehen wir die Additivitätsregel durch Approximation mit den Riemannschen Summen ein. Mit Hilfe von Definition 2 des orientierten Integrals erhalten wir dann die Identität auch im allgemeinen Fall.
q.e.d.
Satz 1 (Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung)
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- Für jede stetig differenzierbare Funktion
![{\displaystyle f=f(x):Q\to \mathbb {C} \in C^{1}(Q,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b741be3bee14124024604e79f1493f9ee33c2e)
- und je zwei Punkte
gilt die Identität
![{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{1}}f'(x)\,dx=f(x_{1})-f(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada1e7362cbc28648fa3c463f0023c5609b44679)
.
Im Falle
wenden wir Hilfssatz 1 sowohl auf den Realteil als auch auf den Imaginärteil der Funktion an:
![{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{1}}f_{j}'(x)\,dx=f_{j}(x_{1})-f_{j}(x_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba6f63723571c3f981c5d85e111abb3e3f3bbcb)
für
![{\displaystyle j=1,2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc932fd3887517325e81803b694ff8b5c1f1b9e)
.
Addition liefert dann die Leibnizsche Identität.
Im Falle
ermitteln wir
![{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{1}}f'(x)\,dx=-\int _{x_{1}}^{x_{0}}f'(x)\,dx=-(f(x_{0})-f(x_{1}))=f(x_{1})-f(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e855b1677254674b967a9c03681056935cf22799)
.
q.e.d.
- Für zwei stetig differenzierbare Funktionen
![{\displaystyle f=f(x),g=g(x):Q\to \mathbb {C} \in C^{1}(Q,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b470762e35309aa756913c6ec10bc32910227bc)
- gilt die Identität
(5)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}{\Bigl (}f'(x)\cdot g(x){\Bigr )}\,dx={\Bigl [}f(x)\cdot g(x){\Bigr ]}_{x=a}^{x=b}-\int _{a}^{b}{\Bigl (}f(x)\cdot g'(x){\Bigr )}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b717df89621bdfdc7e6d6dd5d370dace539399)
- mit der üblichen Abkürzung
(6)
![{\displaystyle {\Bigl [}h(x){\Bigr ]}_{x=a}^{x=b}:=h(b)-h(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a629ac1a790db3a29e212bb5e2cfc4dab5772dd7)
.
Wir differenzieren mit der Produktregel
![{\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)={\Bigl (}f(x)\cdot g(x){\Bigr )}',\quad x\in Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd36784c849d5b12f9c8b119864698a3f36ed070)
und integrieren anschließend mit Hilfe von Satz 1 wie folgt:
q.e.d.
- Die Funktion
heißt reelle Stammfunktion der Funktion
, falls deren reelle Ableitung die Identität
![{\displaystyle F'(x)=f(x),\quad x\in Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ec4299425c710620fb6044a556093368b8e7c5)
- erfüllt. Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen bezeichnen wir mit
(7)
![{\displaystyle \int f(x)\,dx:=\{F:Q\to \mathbb {C} |F\ ist\ reelle\ Stammfunktion\ von\ f:Q\to \mathbb {C} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5e2e28cb1eb2f68f13e088336b63fa9ee0ddc7)
.
- Ist
eine reelle Stammfunktion von
, so wird die Gesamtheit aller reellen Stammfunktionen gegeben durch
(8)
mit einer Konstante
.
- Sei
eine stetige Funktion und
beliebig gewählt. Dann liefert das unbestimmte Integral
![{\displaystyle F(x):=\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,\quad x\in Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2657ce06d803ea5c946b51f968bdaa37fd654f52)
- eine reelle Stammfunktion von
.
1. Zunächst betrachten wir reellwertige stetige Funktionen
und wählen
mit der Eigenschaft
. Die Additivität des Integrals liefert
(9)
![{\displaystyle {\frac {F(x)-F(x_{1})}{x-x_{1}}}={\frac {1}{x-x_{1}}}\cdot \int _{x_{1}}^{x}f(t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747024e274143c06dc78f6e75876117e07c4c08b)
.
Teil 3.) aus Satz 2 in §4 ergibt die Abschätzung
(10)
![{\displaystyle \left|{\frac {F(x)-F(x_{1})}{x-x_{1}}}\right|={\frac {\left|\int _{x_{1}}^{x}f(t)\,dt\right|}{|x-x_{1}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675aeca14a612885411f7661d1dfa00da92a8f80)
![{\displaystyle \leq {\frac {|x-x_{1}|\cdot \sup\{f(\xi ):\xi =\lambda x+(1-\lambda )x_{1},\lambda \in [0,1]\}}{|x-x_{1}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627d1f8faf48fe5d9d1fbd2cd2ba3169c7c14d95)
![{\displaystyle =\sup\{f(\xi ):\xi =\lambda x+(1-\lambda )x_{1},\lambda \in [0,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6cddf74f819f03cfa8c8944350b18de6638b43)
.
Beim Grenzübergang
folgt
![{\displaystyle F'(x_{1})=0=f(x_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0033e8e2197bc1a4199d0233576703eaf3236af0)
wegen der Stetigkeit von
im Punkr
.
2. Sei nun
eine reellwertige Funktion und
beliebig gewählt. Mit dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung ermitteln wir für die konstante Funktion
das unbestimmte Integral
![{\displaystyle \Phi (x):=\int _{x_{0}}^{x}\phi (t)\,dt=f(x_{1})\cdot \int _{x_{0}}^{x}1\,dt=f(x_{1})\cdot (x-x_{0}),\quad x\in Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a12c59cef0cdbed479a3947f1eb8adcf1b5ac8)
.
Mit Hilfe von Teil 1.) differenzieren wir die Stammfunktion
![{\displaystyle F(x)=\int _{x_{0}}^{x}(f(t)-f(x_{1}))\,dt+\Phi (x),\quad x\in Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ecef4760beca2e5452ee8a043c1a3c37419b099)
im Punkt
wie folgt:
![{\displaystyle F'(x_{1})=0+\Phi '(x_{1})=f(x_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fddead827368b3068691dcc75fb4ca4f07ee72b)
.
3. Für die komplexwertige stetige Funktionen
differenzieren wir ihr unbestimmtes Integral
![{\displaystyle F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f_{1}(t)\,dt+i\int _{x_{0}}^{x}f_{2}(t)\,dt,\quad x\in Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4aaed707ae21a4422dc3415520d93a7989917c8)
getrennt im Real- bzw. Imaginärteil gemäß Teil 2.) und erhalten:
![{\displaystyle F'(x)=f_{1}(x)+if_{2}(x)=f(x),\quad x\in Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd694bbe0a392dc644a6495aa2aa553db3c0c47)
.
q.e.d.
- Eine nicht leere, offene Menge
heißt ein Gebiet, falls sie in folgendem Sinne zusammenhängend ist: Zu je zwei Punkten
gibt es eine stetige Funktion
- Wir nennen
einen stetigen Weg von
nach
in
.
Im nachfolgenden Beweis wird ein Fortsetzungsargument in Gebieten präsentiert, das oft in der Analysis verwandt wird.
- Sei die holomorphe Funktion
auf dem Gebiet
mit der Eigenschaft
, für alle ![{\displaystyle z\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34361065905ff8a9a986d2c0dc8010e769c8e3a5)
- gegeben. Dann folgt
für alle
mit einer Konstanten
.
1. Seien
zwei Punkte, die durch einen differenzierbaren Weg
(12)
![{\displaystyle \zeta (t):[0,1]\to \Omega \in C^{1}([0,1],\Omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d125dfbfe7a2333b1494c095a89edddc01354c7d)
mit dem Anfangswert
![{\displaystyle \zeta (0)=z_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee72d110e11227dfc44b45fa6f4f27849f030bfc)
und dem Endpunkt
![{\displaystyle \zeta (1)=z_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce8d66a680454c79576ffc404c7bbecd6cb30b4)
verbunden werden können. Wir betrachten dann die Funktion
![{\displaystyle F(t):=f(\zeta (t)),\quad 0\leq t\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae07e2ee3f513fa97dc810788ab4d7a49a3bf2d4)
und differenzieren sie mit Hilfe der komplexen Kettenregel. Wir erhalten
![{\displaystyle F'(t):=f'(\zeta (t))\cdot \zeta '(t)=0,\quad 0<t<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2612d477637df88cbe8afe67ea9cd4628807ceb2)
.
Mit den Argumenten zum Beweis von Satz 2 ist diese Funktion auf ihrem Definitionsintervall konstant. Damit ergibt sich
![{\displaystyle f(z_{0})=f(\zeta (0))=F(0)=F(1)=f(\zeta (1))=f(z_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199a71f9bc87dcf2cd2056df4be2e204970f0b99)
.
2. Ist nun
und
so gewählt, dass die Kreisscheibe
![{\displaystyle K_{\varepsilon }(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<\varepsilon \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea8a6a7d8f96ffb74188cda14554e12530a9f20)
die Inklusion
erfüllt. Da jetzt jeder Punkt
mit
durch den differenzierbaren Weg
![{\displaystyle \zeta (t):=z_{0}+t(z-z_{0}),\quad t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff771e94eb68d641bcf229c54cb524e6fec904bd)
verbunden werden kann, liefert Teil 1.) die Aussage
![{\displaystyle f(z)=const}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8aae75daa3e0d81c8e90f197a00ef1bbc8e574)
auf
![{\displaystyle K_{\varepsilon }(z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ed0a1bcb0c2dcc013211bff761a6514f819037)
.
Somit ist die Funktion
lokal konstant
3. Sind nun
zwei beliebige Punkte in
, so können wir sie durch einen stetigen Weg
![{\displaystyle \zeta (t):[0,1]\to \Omega \in C^{0}([0,1],\Omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a8c5e4de14678d0b7a9217d2f5795bae7443901)
mit
![{\displaystyle \zeta (0)=z_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee72d110e11227dfc44b45fa6f4f27849f030bfc)
und
![{\displaystyle \zeta (1)=z_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce8d66a680454c79576ffc404c7bbecd6cb30b4)
miteinander verbinden. Wir betrachten nun die stetige Funktion
![{\displaystyle F(t):=f(\zeta (t)),\quad t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1152d5dfd133b6d047df694f025d71a8e3135f)
.
Nun wählen wir
maximal, so dass
![{\displaystyle F(t)=const}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be225cf7559420a3bb8f30f2f6dfd5f92fcd3572)
für alle
![{\displaystyle t\in [0,t_{*}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22780b2d00fcd9d7ed02600eade2b0f255e1ba15)
gilt. Wäre
erfüllt, so gäbe es es wegen Teil 2.) ein
, so dass
![{\displaystyle F(t)=const,\quad t_{*}-\varepsilon <t<t_{*}+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254e16d66ef0b5c363c621271c8f8a4858afe9a1)
richtig ist – denn
ist lokal konstant. Dieses steht im Widerspruch zur Wahl von
. Somit folgt
und schließlich
![{\displaystyle f(z_{0})=F(0)=F(1)=f(z_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c9923b04824a68ede8e269eea45523f83ca1d1)
.
q.e.d.
- Die auf dem Gebiet
holomorphe Funktion
![{\displaystyle F=F(z):\Omega \to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c5850a4689b51b812e516cb0a3e590f8143994)
- heißt komplexe Stammfunktion der Funktion
, falls deren komplexe Ableitung die Identität
![{\displaystyle F'(z)=f(z),\quad z\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3422f49b2afdb8dad58a6d36d2eeb4ef84cab3bd)
- erfüllt. Die Gesamtheit der komplexen Stammfunktionen bezeichnen wir mit
(13)
![{\displaystyle \int f(z)\,dz:=\{F:\Omega \to \mathbb {C} |F\ ist\ eine\ Stammfunktion\ von\ f:\Omega \to \mathbb {C} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfda6f17f147b8cf50b282e8996f31f367a0f5d1)
.
Nach Satz 5 sind die komplexen Stammfunktionen auf einem Gebiet
bis auf eine Konstante bestimmt: Ist
eine komplexe Stammfunktion von
, so wird die Gesamtheit aller komplexen Stammfunktionen gegeben durch
(14)
![{\displaystyle \int f(z)\,dz=F(z)+c,\quad z\in \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08876c1390d9c32b7a7ac1c1d2d50c9739d0a310)
mit einer Konstante
![{\displaystyle c\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8fc86339df069b29043cc911848d044ec3f670)
.
- Sei die holomorphe Funktion
auf dem Gebiet
mit der stammfunktion
gegeben. Weiter sei der differenzierbare Weg
mit dem Anfangspunkt
und dem Endpunkt
beliebig in
gewählt. Dann gilt
(15)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}f(\zeta (t))\cdot \zeta '(t)\,dt=F(z_{1})-F(z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a50502846460e29ec133b389f20bea7a0ee58d)
.
- Der Wert des Integrals hängt also nur von dem Anfangs- und Endpunkt – aber nicht vom gewählten Weg – ab.
Mit hilfe der komplexen kettenregel und des fundamentalsatzes der Differential- und integralrechnung ermitteln wir:
(16)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}f(\zeta (t))\cdot \zeta '(t)\,dt=\int _{0}^{1}F'(\zeta (t))\cdot \zeta '(t)\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {d}{dt}}{\Bigl (}F(\zeta (t)){\Bigr )}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bbea7715ec3c9a4c3ebd63e2701e0b6fbf81ba)
![{\displaystyle ={\Bigl [}F(\zeta (t)){\Bigr ]}_{t=0}^{t=1}=F(\zeta (1))-F(\zeta (0))=F(z_{1})-F(z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5409e47d60382c1bacafebf1390eac889754e507)
.
q.e.d.
- Wir betrachten eine reellwertige Kurve
![{\displaystyle \xi (t):[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {R} \in C^{1}([\alpha ,\beta ],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706e606cad2d53ebc4e3a2ca81d0f10d00d31a6b)
,
- definiert auf einem kompakten Intervall mit den Grenzen
und wir setzen als Bildpunkte
sowie
. Weiter wählen wir ein Intervall
mit den Grenzen
, welches die Inklusion
erfüllt. Dann haben wir für jede stetige Funktion
die Identität
(17)
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(\xi (t))\cdot \xi '(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5310bf1692a38100f6600cd5b17b0c50577c86)
.
Die Funktion
besitzt das uneigentliche Integral
![{\displaystyle F(x):=\int _{A}^{x}f(\xi )\,d\xi ,\quad x\in P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b3a40ff499b2d81a5429a62e34077fc78cea00)
als Stammfunktion. Wie im Beweis zu Satz 6 integrieren wir jetzt die Ableitung der Komposition
![{\displaystyle F(\xi (t)),\quad t\in [\alpha ,\beta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fefddce998cacd47e51e88cfb80fb3c14f000b0e)
,
nämlich
![{\displaystyle f(\xi (t))\cdot \xi '(t),\quad t\in [\alpha ,\beta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0d9fb3cd2cd4828c18a10cd624867506c3c134)
und erhalten
(18)
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(\xi (t))\cdot \xi '(t)=F(\xi (\beta ))-F(\xi (\alpha ))=F(b)-F(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d4c61d19dfd3f1a8ca21effdf48c0106761e30)
.
Wählen wir nun speziell
![{\displaystyle \xi (t):=x,\quad x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1588cef28822e91af3cbd923a33e39e004c5951f)
in (18), so erhalten wir
(19)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91bb6687069a55c6912fbe852ad6bccdca344fbb)
.
Aus den Identitäten (18) und (19) folgt die Substitutionsregel (17).
q.e.d.
- Zur Bestimmung von reellen Stammfunktionen sind die folgenden Aussagen richtig:
- 1. Unbestimmte Linearitätsregel: Seien
beliebige Funktionen und die Skalare
gewählt, so gilt
(20)
![{\displaystyle \int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int f(x)\,dx+\beta \int g(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c69d3deca24fd9e645e6334b61589ff3ed1ec8)
.
- 2. Unbestimmte partielle Integration: Für beliebige Funktionen
gilt
(21)
![{\displaystyle \int {\Bigl (}f'(x)\cdot g(x){\Bigr )}\,dx=f(x)\cdot g(x)-\int {\Bigl (}f(x)\cdot g'(x){\Bigr )}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0625a50f538bac199c4f485be59d2350ba915b14)
- 3. Unbestimmte Substitution: Wir betrachten eine reellwertige Funktion
![{\displaystyle \xi (t):[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {R} \in C^{1}([\alpha ,\beta ],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706e606cad2d53ebc4e3a2ca81d0f10d00d31a6b)
,
- welche auf einem kompakten Intervall mit den Grenzen
definiert ist. Weiter wählen wir ein Intervall
mit den Grenzen
, welches die Inklusion
erfüllt. Dann haben wir für jede stetige Funktion
die Identität
(22)
![{\displaystyle \int f(\xi (t))\cdot \xi '(t)\,dt=\left\{\int f(x)\,dx\right\}{\Bigl |}_{x=\xi (t)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef529d9aa440fe95e23b936410280160832b051)
Nach Satz 3 ist die stammfunktion einer stetigen funktion bis auf eine Konstante bestimmt und sie kann durch das unbestimmte Integral aus Satz 4 berechnet werden. Somit liefern der Satz 2 aus §4 und die Sätze 2 sowie 7 über bestimmte Integrale durch differentiation nach der oberen Grenze die angegebenen rechenregeln. Zum Beispiel wird die Regel für die unbestimmte partielle Integration aus der identität (5) mit der oberen Grenze
, nämlich
,
gewonnen.
q.e.d.
- Die Potenzreihe
![{\displaystyle f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad z\in K_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6718073f4b6f00a00ea81f8136cc01f9a6764cf5)
- mit den komplexen Koeffizienten
konvergiere in der Kreisscheibe
mit dem festen Konvergenzradius
. Dann ist die Gesamtheit der Stammfunktionen von
gegeben durch
(23)
![{\displaystyle \int f(z)\,dz=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}a_{n}z^{n+1}+c,\quad z\in K_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c06fd353b171b87f99dd3415c2401ea1ecda0f0)
- mit einer Integrationskonstante
.
Ebenso wie im Beweis zu Satz 15 in §3 zeigt man mit dem Wurzelkriterium die Konvergenz der gliedweise integrierten Reihe
![{\displaystyle F(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}a_{n}z^{n+1}+c,\quad z\in K_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc947f3f2a252c196eaa3ec49c499fb623f4d05)
.
Nach Satz 15 aus §3 stellt die angegebene Potenzreihe eine holomorphe Funktion in
dar und gliedweise Differentiation ergibt
![{\displaystyle F'(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=f(z),\quad z\in K_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97294dac4893516d7bd7dcbe68eb2f0b8fc3fa96)
.
Nach Satz 15 aus §3 stellt die angegebene Potenzreihe eine holomorphe Funktion in
dar und gliedweise Differentiation ergibt
![{\displaystyle F'(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=f(z),\quad z\in K_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e446a72a58be92f1b6d4510263f39597b7b3743d)
.
q.e.d.
- Um allgemeiner für beliebige holomorphe Funktionen eine komplexe Stammfunktion zu bestimmen, benötigen wir die Theorie der Kurvenintegrale, welche von A. Cauchy begründet wurde.
- Im folgenden werden wir einfach von Stammfunktionen sprechen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, ob es sich um reelle oder komplexe Stammfunktionen handelt.
- Sei
eine differenzierbare Funktion
auf dem offenen Intervall
mit den Grenzen
. Ist
wiederum eine differenzierbare Funktion auf
mit der Ableitung
, so nennen wir
2-mal differenzierbar auf
. Entsprechend erklären wir die
-malige Differenzierbarkeit induktiv. Für eine
-mal differenzierbare Funktion
bezeichnen wir deren Ableitungen 0-ter bis
-ter Ordnung mit
![{\displaystyle f(x),f'(x),f''(x),\ldots ,f^{(k)}(x),\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b4fc0a141650c0465474cfac39bf7be5944028)
- Hierbei ist
gewählt worden. Eine
-mal differenzierbare Funktion nennen wir
-mal stetig differenzierbar, wenn die
-te Ableitung
![{\displaystyle f^{(k)}(x),\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1447ad6b59374562466de1f1feb52d8d49316ca7)
- eine stetige Funktion auf
darstellt.
- Mit den Bezeichnungen aus Definition 1 erklären wir den Vektorraum der
-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem offenen Intervall
(oder kurz den
-Raum) wie folgt:
![{\displaystyle C^{k}(I,\mathbb {R} ^{m}):=\{f:I\to \mathbb {R} ^{m}:f\ ist\ k\ mal\ stetig\ differenzierbar\ in\ I\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096898c4f13e8fd77181904760bea6072ad79912)
.
- Die Verknüpfungen hatten wir bereits im Raum
in Definition 6 aus §1 erklärt. Falls
gilt, schreiben wir kurz
. Falls
ist, setzen wir
und verwenden im Bildraum die komplexe Multiplikation. Unter der Menge
![{\displaystyle C^{\infty }(I,\mathbb {R} ^{m}):=\bigcap _{k=0}^{\infty }C^{k}(I,\mathbb {R} ^{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0baf8f4a16c2dd5524df5f3e0b4c8938e746a42)
- verstehen wir den Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall
– oder kurz den
-Raum.
Mit den Differentiationsregeln aus §3 und den Stetigkeitsaussagen in §1 prüft man leicht nach, dass diese Funktionenräume mit den angegebenen Verknüpfungen Vektorräume sind.
- Seien die Intervallgrenzen
für das Intervall
in Definition 1 gegeben und
. Dann erklären wir den Vektorraum der
-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf dem kompakten Intervall
oder kurz den
-Raum wie folgt:
(1)
![{\displaystyle C^{k}({\overline {I}},\mathbb {R} ^{m}):=\{f:I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{k}(I,\mathbb {R} ^{m}):}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d74dabe27f3815da9861035137b74313f3a3c7d)
![{\displaystyle f^{(j)}\ ist\ stetig\ auf\ {\overline {I}}\ fortsetzbar\ f{\ddot {u}}r\ j=0,1,2,\ldots ,k\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85a5375ceac4b8e79b734f7346c63db122e9afc)
.
- Die Verknüpfungen haben wir im Raum
in Definition 6 aus §1 erklärt. Falls
gilt, schreiben wir kurz
. Falls
ist, setzen wir
und verwenden im Bildraum die komplexe Multiplikation.
Auch hier prüft man sofort die Vektorraumeigenschaften mit Hilfe der Stetigkeitsaussagen aus §1 nach.
Wir wollen nun die Taylorsche Formel und die Taylorsche Reihe behandeln, die wir dem englischen Mathematiker B. Taylor verdanken. Mit der Taylorschen Formel können wir
-Funktionen durch Polynome
-ten Grades so approximieren, dass die Abweichung kontrolliert werden kann. Wir wählen als Entwicklungspunkt
sowie den Konvergenzradius
und wir betrachten im Intervall
die konvergente Potenzreihe
(2)
![{\displaystyle f(x):=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k},\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318880095ee29437efaed599c8f20210dc93134c)
mit den reellen Koeffizienten
![{\displaystyle c_{k}(x_{0})\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/716f5537a976cafd430e23df1f2966095bb763a9)
für alle
![{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97bceb13f72e37bcd50b60e5fb2fa05bcf15c265)
.
Gemäß Satz 15 aus §3 können wir nun diese Reihe beliebig oft differenzieren und der Konvergenzradius
bleibt dabei erhalten! Für die
-te Ableitung ermitteln wir
(3)
![{\displaystyle f^{(m)}(x)=\sum _{k=m}^{\infty }\{k\cdot (k-1)\cdot \ldots \cdot (k-m+1)\}\cdot c_{k}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k},\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429f31e224c26b4fb5a6db30b386609da75fb7fb)
,
wobei
durchläuft. Wir setzen jetzt in (3)
ein und berechnen
(4)
![{\displaystyle f^{(m)}(x_{0})=m\cdot (m-1)\cdot \ldots \cdot 1\cdot c_{m}(x_{0})=m!\cdot c_{m}(x_{0}),\quad m\in \mathbb {N} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ea43e333440492134c1081c220276777a74c12)
.
Somit sind die Koeffizienten der Potenzreihe durch
(5)
![{\displaystyle c_{m}(x_{0})={\frac {f^{(m)}(x_{0})}{m!}},\quad m\in \mathbb {N} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5b2c42b825a8446c1c5aba7ac0b9975cb253ae)
eindeutig bestimmt. Wir nennen letztere die Taylorkoeffizienten der Potenzreihe (2). Setzen wir sie in die Potenzreihe ein, so erhalten wir die Taylorreihe
(6)
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{k},\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9438eccd0f95f90112335a5e7a8d14a57ef4508c)
.
Zu einem vorgegebenen Differenzierbarkeitsgrad
gehen wir jetzt von einer Funktion
(7)
![{\displaystyle f=f(x):{\overline {I}}\to \mathbb {R} \in C^{n}(I)\cap C^{n-1}({\overline {I}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6810bc110af59fa656621c8c451b277e447e68b9)
aus. Diese ist
-mal stetig differenzierbar in
mit stetig fortsetzbaren Ableitungen der Ordnungen
auf das kompakte Intervall
vom endlichen Radius
. Wir erklären das Taylorpolynom
-ten Grades an der Stelle
mittels
(8)
![{\displaystyle T_{n}(x,x_{0}):=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{k},\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb03fc307fe8372dd579b9774b384b77f2ac5f63)
,
indem wir die Taylorreihe beim Term
-ter Ordnung abbrechen. Nun betrachten wir die Taylorsche Identität
(9)
![{\displaystyle f(x)=T_{n}(x,x_{0})+R_{n}(x,x_{0}),\quad x\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f352c5025c681c10b22f8028f9ae7bd35158e492)
mit dem Restglied
-ter Ordnung
. Da dieses die Abweichung zwischen der
-Funktion
und dem Taylorpolynom
-ten Grades misst, wollen wir es genauer bestimmen: Hierzu führen wir die Hilfsfunktion
(10)
![{\displaystyle \Phi (\lambda ):=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}{\Bigl (}x+\lambda (x_{0}-x){\Bigr )}}{k!}}\cdot {\Bigl (}\lambda (x-x_{0}){\Bigr )}^{k},\quad 0\leq \lambda \leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcc53bcae4a2e6be49bd93d9618863f60c60c6a)
der Regularitätsklasse
ein. Dann beachten wir die Randwerte
(11)
![{\displaystyle \Phi (1)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{k}=f(x)-R_{n}(x,x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc8138b944d75d92257ed60dd0d1c231d4cf766)
sowie
(12)
![{\displaystyle \Phi (0)=\lim _{\lambda \to 0+}\Phi (\lambda )=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2c87d438b939fe15237838022b67bb31a44c72)
.
Die Hilfsfunktion (10) differenzieren wir wie folgt:
(13)
![{\displaystyle \Phi '(\lambda )=-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}{\Bigl (}x+\lambda (x_{0}-x){\Bigr )}}{k!}}\cdot \lambda ^{k}\cdot (x-x_{0})^{k+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f8e6f79c9abcdf4496a282da583b9fc0100a8f)
![{\displaystyle +\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}{\Bigl (}x+\lambda (x_{0}-x){\Bigr )}}{(k-1)!}}\cdot \lambda ^{k-1}\cdot (x-x_{0})^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beaa11402fc39d3f95dfb4a99e7d7da55304fcda)
![{\displaystyle =-{\frac {f^{(n)}{\Bigl (}x+\lambda (x_{0}-x){\Bigr )}}{(n-1)!}}\cdot \lambda ^{n-1}\cdot (x-x_{0})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dcc95a16d43a2aba08c703dfbd9a37e8dcab938)
Ferner verwenden wir die Funktion
(14)
![{\displaystyle \Psi (\lambda ):=-\lambda ^{n},\quad 0\leq \lambda \leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134d8aa68e629cd293f47447ccc41da0d85c407c)
mit
![{\displaystyle \Psi (1)=-1,\quad \Psi (0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1792df0747e0dd860aad9e76a3d04d7759a37880)
und
![{\displaystyle \Psi '(\lambda )=-n\lambda ^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afafdaa7fa3667dbb4314d866c55d9f93441662)
.
Wir ziehen jetzt den Mittelwertsatz der Differentialrechnung heran und mit Hilfe der Identitäten (11) – (14) ermitteln wir
(15)
![{\displaystyle R_{n}(x,x_{0})={\frac {\Phi (1)-\Phi (0)}{\Psi (1)-\Psi (0)}}={\frac {\Phi '(\theta )}{\Psi '(\theta )}}={\frac {f^{(n)}{\Bigl (}x+\theta (x_{0}-x){\Bigr )}}{n!}}\cdot (x-x_{0})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481c076760979ca2039b5e8ba427ba22f78d95c9)
mit einem
. Damit ist der folgende Satz bewiesen:
- Die Funktion
aus (7) auf dem Intervall
vom Differenzierbarkeitsgrad
besitzt die Darstellung
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{k}+R_{n}(x,x_{0}),\quad x\in {\overline {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5d870f26d344a5136e30f4f46f12bd458be39c)
.
- Dabei ist im Lagrangeschen Restglied
- der Zwischenwert
– nach dem Mittelwertsatz – geeignet zu wählen.
- Genau dann ist die Funktion
im Punkt
in ihre taylorreihe (6) entwickelbar, wenn für alle
das Langrangesche Restglied die beziehung
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(x,x_{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31d4ddccd30e8b6c7bef78b2b8e4ddf424a828b)
- erfüllt.
Dieser folgt sofort aus Satz 1.
q.e.d.
Wir werden in §1 des nächsten Kapitels eine
-Funktion kennen lernen, welche nicht in ihre Taylorreihe entwickelt werden kann.
- Eine konvexe Funktion ist ein Element der Menge
![{\displaystyle C^{+}(a,b):=\{f:(a,b)\to \mathbb {R} \in C^{2}((a,b))|f''(x)\geq 0\ f{\ddot {u}}r\ alle\ x\in (a,b)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea19701fa225a0e244318ff4f81bbd5c881a5fad)
.
- Für eine konvexe Funktion
haben wir folgende Aussagen:
- 1. Die Ungleichung
für alle
ist erfüllt, d. h.
ist superlinear.
- 2. Es gilt die Jensensche Ungleichung
![{\displaystyle f\left(\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}x_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}f(x_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1b4bfda068bd436f6c376fb456b8f941634c17)
- für alle
und
mit
.
1. Auf die konvexe Funktion
wenden wir die Taylorsche Formel vom Differenzierbarkeitsgrad 2 mit dem Lagrangeschen Restglied an. Für alle
finden wir ein
, so dass die Ungleichung
(16)
![{\displaystyle f(x)=f(\xi )+f'(\xi )\cdot (x-\xi )+{\frac {f''{\Bigl (}\xi +\theta (x-\xi ){\Bigr )}}{2!}}\cdot (x-\xi )^{2}\geq f(\xi )+f'(\xi )\cdot (x-\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4c5489c74836f1b311d02af437de00b8294f8f)
richtig ist, da nach Voraussetzung
für alle
gilt.
2. Wir wenden nun den ersten Teil auf
sowie
an und erhalten die Ungleichungen
(17)
![{\displaystyle f(x_{j})\geq f(\xi )+f'(\xi )\cdot (x_{j}-\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a97eea14016aca5b76a43a9b60e75d0d27d8fa1)
für
![{\displaystyle j=1,\ldots ,m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745ead100813850e9d68e2a6cb6be14124998279)
.
Multiplikation mit
und Summation liefert
(18)
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}f(x_{j})\geq f(\xi )\cdot \sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}+f'(\xi )\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}x_{j}-\xi \sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b8f6fe1d2bb571f60b6f03128d2a905b2a21d2)
![{\displaystyle =f(\xi )+f'(\xi )\cdot (\xi -\xi )=f(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbca69a3687d279fc79502d3d83e546ac431b140)
,
wenn wir
beachten.
q.e.d.
- Eine konkave Funktion ist ein Element der Menge
![{\displaystyle C^{-}(a,b):=\{f:(a,b)\to \mathbb {R} \in C^{2}((a,b))|f''(x)\leq 0\ f{\ddot {u}}r\ alle\ x\in (a,b)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519f6e23c3a02d514dace1512f4cdf7c866e7ae7)
.