- Für
definieren wir
(1)
![{\displaystyle \exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e63609db92508a667b1449cab31e0a03dfaf2fc)
- und nennen
die komplexe Exponentialfunktion.
- Die Exponentialfunktion ist in
holomorph und es gilt die Identität
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\exp z=\exp z,\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105dc2900c56cad0d2b572012f33987b507658a2)
.
In Bsp. 2 aus §6 von Kapitel I haben wir die Konvergenz der Reihe (1) nachgewiesen. Nach Satz 15 aus Kapitel II, §3 ist die Funktion
holomorph und die gliedweise Differentiation liefert
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\exp z=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {kz^{k-1}}{k!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k-1}}{(k-1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp z,\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19053b4c06616ed0efd1eaca374203c84160d629)
.
q.e.d.
Satz 2 (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion)
Bearbeiten
- Es gilt für alle
die Funktionalgleichung
(2)
![{\displaystyle \exp(z_{1}+z_{2})=(\exp z_{1})\cdot (\exp z_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0507a1ab5bc4718578c95ec8abbe353a06ec9496)
.
Da die Exponentialreihe in
nach Satz 14 aus §6 in Kapitel I absolut konvergiert, können wir mit dem Multiplikationssatz für Reihen (vgl. Satz 3 aus §7 in Kapitel I) für alle
wie folgt multiplizieren:
(3)
![{\displaystyle \exp z_{1}\cdot \exp z_{2}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z_{1}^{k}}{k!}}\right)\cdot \left(\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {z_{2}^{l}}{l!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{k}{\frac {z_{1}^{l}\cdot z_{2}^{k-l}}{l!\cdot (k-l)!}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8782f0b5a0805907d4d33c5beae308a46744c7f)
![{\displaystyle =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(\sum _{l=0}^{k}{\begin{pmatrix}k\\l\end{pmatrix}}z_{1}^{l}\cdot z_{2}^{k-l}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z_{1}+z_{2})^{k}}{k!}}=\exp(z_{1}+z_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/612c41c0e4c67fb37f750de994b2b7b95a72de41)
.
Hierbei haben wir den Binomialsatz aus §1 in Kapitel I verwendet.
q.e.d.
- In jeder kompakten Kreisscheibe
mit dem festen Radius
konvergiert die Funktionenfolge
![{\displaystyle f_{n}(z):=\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n},z\in \mathbb {C} ,n=1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80d744b4d635c10799f00531a787b3bd5c13146)
- gleichmäßig gegen die Funktion
.
Nach dem Binomialsatz gilt für festes
und
die Identität
![{\displaystyle f_{n}(z):=\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot \left({\frac {z}{n}}\right)^{k}=1+\sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(z,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce032abc14716defe89f1ba30f4b7f600e758f2)
mit
![{\displaystyle \varphi _{k}(z,n):={\begin{cases}\displaystyle {n \choose k}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}\cdot z^{k}&{\text{falls }}n\geq k\in \mathbb {N} \\0&{\text{falls }}n<k\in \mathbb {N} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1a0d6b44b3fb41b53b7dadc6b690a4446a0da5)
mit
![{\displaystyle \varphi _{0}(z,n)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/062b67fb441227e36db5de139b66228ebd380c74)
.
Für
erhalten wir
![{\displaystyle \varphi _{k}(z,n)={n \choose k}\cdot \left({\frac {z}{n}}\right)^{k}={\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!\cdot n^{k}}}\cdot z^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f1b4e0c9c84855b2679ce7a5a1f9b29323aac2)
![{\displaystyle =1\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)\cdot {\frac {z^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1241f21e628a85dcfc58f65c6ee9db47802a97be)
.
und damit
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi _{k}(z,n)={\frac {z^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f1e5a592fe9fa753c6cad6dda0a4065e9db7a6)
.
Weiter gilt
![{\displaystyle |\varphi _{k}(z,n)|\leq {\frac {R^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba9bdcde0de227ab66a5602fa078885a9769839)
für alle
![{\displaystyle z\in {\overline {K_{R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715fb2f012ef2aa5ceafb3835c9be15fc45ecd02)
und alle
![{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf5c8ad993619a325ca57a25c22cdc75a460f88)
.
Die Zahlenreihe
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {R^{k}}{k!}}=\exp R<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e0ffe1d37a6d9ad333d2e3cba2a8ce506c6adb)
stellt also eine konvergente Majorante für die Funktionenreihe
dar. Nach dem Weierstraßschen Majorantentest aus Kapitel II, §2 konvergiert die Reihe
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\varphi _{k}(z,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c2e358a7a70a793fbaf5078a4bdbce5529b17d)
gleichmäßig in
gegen die Reihe
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/887c234c782917d3c29a235462aac96fccb66f3b)
.
Somit folgt die gleichmäßige Konvergenz
(4)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=\exp z,z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/032545614883539e200d04993a7ed104f25bb87a)
mit
![{\displaystyle |z|\leq R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91bceea21eb591bd616e5465a11b27103783627)
.
- Wir definieren die Eulersche Zahl
durch die Gleichung
(5)
![{\displaystyle e:=\exp 1=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441d40eae9a7f08dd0a8e5df606b2d6c09b95225)
.
- Die Gesamtheit der komplexen Stammfunktionen für die Exponentialfunktion wird gegeben durch
, mit einer Konstante
.
- Die Funktion
, vermöge
als Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reelle Achse definiert, nennen wir die reelle Exponentialfunktion. Diese stellt eine positive, streng monoton wachsende, konvexe Funktion mit dem folgenden asymptotischen Verhalten dar:
(6)
und
.
1. Da die Exponentialreihe reelle Koeffizienten besitzt, folgt
für die Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reelle Achse. Genauer gilt die Abschätzung
(7)
![{\displaystyle \exp x=1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+\ldots \geq 1+x\geq 1>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2c5f41f16cd06f8f355aa62031d016d042d943)
für alle
![{\displaystyle x\in [0,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91283fa3d7bc2e54d3d43b5f2fa04128f1eaaf29)
.
Wir beachten
und ermitteln
![{\displaystyle \exp x={\frac {1}{\exp(-x)}}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442bd010505b7c9b35c473ad785c07f6a645aa04)
für alle
![{\displaystyle x\in (-\infty ,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8b0ea9f77dddc23fbcec429827eb2c00bcdd7c)
.
2. Mit Hilfe von Satz 1 differenzieren wir auch unsere reelle Funktion
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp x=\exp x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f276d1808448186b16a672e0b9e395135b8f52b)
für alle
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab)
.
Also ist die reelle Exponentialfunktion nach dem Mittelwertsatz streng monoton wachsend. Weiter liefert die Ungleichung
![{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\exp x=\exp x,\quad x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f9e9bf1357f3d9adb06fdee25095801f657187)
die Konvexität der Funktion.
3. Mit Hilfe von (7) ersehen wir
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\exp x\geq \lim _{x\to +\infty }(1+x)=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc763aed8ac4a0f534032d2e3053137d31865b9)
Schließlich berechnen wir
![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\exp x=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{\exp(-x)}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1}{\exp(y)}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45163df454235e0dcaf764f973cbb73a9092156b)
- Für alle rationalen Exponenten
mit
und
gilt
(8)
![{\displaystyle \exp \left({\frac {p}{q}}\right)=\exp x=e^{x}=\left({\sqrt[{q}]{e}}\right)^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4152fa3cd4349086ead4b6fb6ee029a38bc81917)
.
Für ein festes
berechnen wir mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
![{\displaystyle e=\exp 1=\exp \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}\right)=\prod _{k=1}^{n}\exp \left({\frac {1}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059557cba5c1769d8f36cba5d305eaa536a99a9a)
und folglich
![{\displaystyle (*)\quad \exp \left({\frac {1}{n}}\right)={\sqrt[{n}]{e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e79609d6cfa7610635cc6847ed52cb35c5e926e)
.
Für
und somit
erhalten wir
. Für
berechnet man
![{\displaystyle \exp x=\exp \left({\frac {p}{q}}\right)=\exp \left(\sum _{k=1}^{p}{\frac {1}{q}}\right)=\prod _{k=1}^{p}\exp \left({\frac {1}{q}}\right){\stackrel {(*)}{=}}\left({\sqrt[{q}]{e}}\right)^{p}=e^{\frac {p}{q}}=e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b708b644032ac2ab54c1e85460cf1cb132571748)
.
Im Fall
erhalten wir aus dem vorhergehenden:
![{\displaystyle \exp x=\exp \left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {1}{\exp \left({\frac {-p}{q}}\right)}}={\frac {1}{e^{\left({\frac {-p}{q}}\right)}}}=e^{\left({\frac {p}{q}}\right)}=e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36dca5004e2dc9825bd39648d63b13d75fc44b63)
.
- Für beliebige
gilt
![{\displaystyle \lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{n}}{\exp t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b5f2e2658ae1aefa3d23fe9c7a4fda0f67fdc4)
.
Für beliebige
gilt
![{\displaystyle \exp t=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}\geq {\frac {t^{n+1}}{(n+1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29bd4d725057b7f9d6ef296a6d606cb07460d1dc)
bzw.
![{\displaystyle 0<{\frac {t^{n}}{\exp t}}\leq {\frac {(n+1)!}{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aca6bed0a2945bf69cef40b53e9b25493285537)
für alle
![{\displaystyle t>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a2960e88369263fe3cfe00ccbfeb83daee212a)
.
Hieraus folgt wegen
![{\displaystyle \lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{n}}{\exp t}}\leq \lim _{t\to +\infty }{\frac {(n+1)!}{t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf3e384e25f76fb149f26ec844bf1071a81aca3)
sofort die Behauptung.
- Für alle
gibt es ein Polynom
vom Grad
, so dass folgende Darstellung gilt:
für alle
.
Beweis durch vollständige Induktion über ![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
Bearbeiten
Für den Induktionsanfang
haben wir
![{\displaystyle \Phi ^{(0)}(x)=\Phi (x)=\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right),\quad x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0a96535ec4312a9efdef5930440c010eb79a18)
mit dem Polynom
vom Grad
.
Die obige Darstellung sei nun für ein
bereits gültig. Dann berechnen wir mit der Kettenregel
(11)
![{\displaystyle \Phi ^{(k+1)}(x)={\frac {d}{dx}}\Phi ^{(k)}(x)={\frac {d}{dx}}\left[G_{k}\left({\frac {1}{x}}\right)\cdot \exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939cbe71772fe9fae36d2d74e995c145d229a81d)
![{\displaystyle =\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)\cdot {\frac {d}{dx}}G_{k}\left({\frac {1}{x}}\right)+G_{k}\left({\frac {1}{x}}\right)\cdot \exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)\cdot {\frac {1}{x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63a144f9e1d0399037f68e58fb45bccd850620f)
![{\displaystyle =\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)\left[\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\cdot G_{k}\left({\frac {1}{x}}\right)-\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\cdot G_{k}'\left({\frac {1}{x}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e29f6516a15f13a8775de1c4a5e7e4506e8d2a3)
![{\displaystyle =G_{k+1}\left({\frac {1}{x}}\right)\cdot \exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cdc836f0b70250125fa28c47bf4dd73be0eeb13)
.
Für den Grad des entstehenden Polynoms
ermitteln wir
![{\displaystyle \deg G_{k+1}\leq 2+\deg G_{k}\leq 2+2k=2(k+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87f044352f65176fbc582f8585707589a669043)
und damit haben wir die Behauptung vollständig gezeigt.
q.e.d.
- Es sei
. Dann existiert eine Funktion
mit
und
für alle
und
für alle
.
Wir wählen die Funktion
![{\displaystyle f(x):=\Phi (x-a)\cdot \Phi (b-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b25ad87fd05d673012ee20ad1966969ae2dd5b1)
für
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab)
,
welche das Gewünschte leistet.
- Die natürliche Logarithmusfunktion
definieren wir auf dem Intervall ![{\displaystyle I:=(0,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53cbde7bd2dc5eeb6b0f0224d6ca16b7fe4324c)
- als Umkehrfunktion von
.
Satz 8 (Natürliche Logarithmusfunktion)
Bearbeiten
- Die Funktion
ist stetig differenzierbar in
mit der Ableitung
(13)
![{\displaystyle {\frac {d}{du}}\ln u=\ln 'u={\frac {1}{u}},\quad u\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92044038b7cc87c0b94ce1e23e64b0e2135da21f)
.
- Sie ist in
streng monoton steigend und besitzt die asymptotischen Eigenschaften
(14)
![{\displaystyle \lim _{u\to -\infty }\ln u=-\infty ,\quad \ln 1=0,\quad \lim _{u\to +\infty }\ln u=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224f98673a2504bb80fdaab7f3e8838c3da84804)
.
- Schließlich genügt sie der Funktionalgleichung
(15)
für alle
.
1. Nach entsprechenden Sätzen aus §1 und §3 in Kapitel II ist die Funktion
stetig bzw. differenzierbar und ihre Ableitung ermitteln wir wie folgt:
(16)
![{\displaystyle \ln 'u={\frac {1}{\exp 'x}}\vert _{x=\ln u}={\frac {1}{\exp \circ \ln u}}={\frac {1}{u}},\quad u\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d38f6df1e086b7ee42b6b1016a44cab004e3948)
.
Also ist die Ableitungsfunktion stetig auf
und positiv, woraus sich die strikte Monotonie von
ergibt.
2. Wegen
folgt zunächst
. Sei nun
eine Folge in
mit der Eigenschaft
. Dann erhalten wir
. Damit haben wir die erste asymptotische Eigenschaft in (14) bewiesen – und die zweite folgt genauso.
3. Die Funktionalgleichung (15) für die Logarithmusfunktion überführen wir äquivalent in die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion:
(17)
![{\displaystyle \ln u_{1}+\ln u_{2}=\ln(u_{1}\cdot u_{2})\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ee0359bb0637820806ef02efe64ca9855db12b)
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}=\ln {\Bigl (}\exp(x_{1})\cdot \exp(x_{2}){\Bigr )}\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053f2ec9c0ad577c1662caca5c671e95fd5c0360)
![{\displaystyle \exp(x_{1}+x_{2})=\exp(x_{1})\cdot \exp(x_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021a7254a1af7e0581f2c734210e8c8cb465e748)
für alle
![{\displaystyle u_{1}=\exp(x_{1}),u_{2}=\exp(x_{2})\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e56a296700aa1560ab15641938eb745eae0c231)
mit
![{\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa90d40ad82baf20d4192af3fecb699db4abdf7f)
.
q.e.d.
- Für festes
bestimmen wir in
die Gesamtheit der Stammfunktionen
(18)
![{\displaystyle \int {\frac {1}{u-u_{0}}}\,du=\ln |u-u_{0}|+c,\quad u\in \mathbb {R} \setminus \{u_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a91c82f930c796bb73f791ad9c8d198963d402)
- mit der reellen Integrationskonstante
![{\displaystyle c\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47ef490c028656282fd8b18c44c4939bbfff750)
Falls
richtig ist, berechnen wir
(19)
![{\displaystyle {\frac {d}{du}}\ln |u-u_{0}|={\frac {d}{du}}\ln(u-u_{0})={\frac {1}{u-u_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd9cffeb99d9e47dad7cab357fa306d664b8f59b)
für
![{\displaystyle u\in \mathbb {R} ,u>u_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a798fd1ccffa4557faf330041b5491739cfd3a)
Falls
richtig ist, ermitteln wir
(20)
![{\displaystyle {\frac {d}{du}}\ln |u-u_{0}|={\frac {d}{du}}\ln -(u-u_{0})={\frac {-1}{-(u-u_{0})}}={\frac {1}{u-u_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ed7a508ba385c58b5173bcad721c13777d9710)
für
![{\displaystyle u\in \mathbb {R} ,u<u_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c01aba6b29bbb87238a6f9762dac450acd2d5e0)
Die reellen Stammfunktionen bestimmt man mittels partieller Integration wie folgt:
(21)
![{\displaystyle \int \ln u\,du=\int (1\cdot \ln u)\,du=u\cdot \ln u-\int \left(u\cdot {\frac {1}{u}}\right)\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f6ebcba15a946d768d22f391e45df322a17b13)
![{\displaystyle =u\cdot \ln u-\int 1\,du=u\cdot \ln u-u+c,\quad u\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d16967fb490a35c2412240310990640367ae035)
mit der Integrationskonstante
.