- Für alle
erklären wir die Cosinusfunktion
(1)
![{\displaystyle \cos z:={\frac {1}{2}}(e^{iz}+e^{-iz})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b52c9706f95dc0095c59f8a15b36127cf8cdcd)
,
- sowie die Sinusfunktion
(2)
![{\displaystyle \sin z:={\frac {1}{2i}}(e^{iz}-e^{-iz})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e293417306b665bd66ec9b5dd5cce5c1834017b)
.
- Für alle
gilt
.
Für alle
mit
ist die Abschätzung
![{\displaystyle \sin x=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{(2m+1)!}}x^{2m+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-{\frac {x^{11}}{11!}}+\ldots -\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91417bf31c3b5694472ad134a3af2e6fc68eeef4)
![{\displaystyle =x\left(1-{\frac {x^{2}}{6}}\right)+{\frac {x^{5}}{5!}}\left(1-{\frac {x^{2}}{42}}\right)+{\frac {x^{9}}{9!}}\left(1-{\frac {x^{2}}{110}}\right)+\ldots >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03ea20866c539a2319a0726a76d586383afd93f)
richtig. Wegen
usw. für
sind nämlich alle alle Summanden positiv.
q.e.d.
Es gilt
.
Wir ermitteln
![{\displaystyle \cos x=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{(2m)!}}x^{2m}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-{\frac {x^{10}}{10!}}+{\frac {x^{12}}{12!}}-\ldots +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489ece07f288f14658511268ad79f983ff4573b6)
![{\displaystyle =\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{24}}\right)-{\frac {x^{6}}{6!}}\left(1-{\frac {x^{2}}{56}}\right)-{\frac {x^{10}}{10!}}\left(1-{\frac {x^{2}}{132}}\right)-\ldots >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89747665e4a56596aab68c4e649cda46c34b7248)
An der Stelle
folgt wegen
usw. die Behauptung
.
q.e.d.
- Die Gleichung
besitzt für
genau eine Lösung.
Zuerst weisen wir die Existenz einer Lösung
nach. Es ist
erfüllt und gemäß Hilfssatz 2 gilt
. Nach dem Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß aus §1 in Kapitel II existiert ein
mit
.
Wir zeigen jetzt die Eindeutigkeit der Lösung. Gemäß Hilfssatz 2 gilt
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13ebdbfe2ebe16398ac9a6248ae4d6d9df6dc40)
, für alle
![{\displaystyle 0<x<2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c78eb972598242a19201d695897f889b90bf46)
Somit ist die Cosinusfunktion streng monoton fallend im Intervall
, wie der Mittelwertsatz der Differentialrechnung lehrt. Damit ist
die einzige Nullstelle von
im Intervall
.
- Für die gemäß Hilfssatz 3 existierende kleinste positive Nullstelle
der Cosinusfunktion
setzen wir
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}:=\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab277cb8f5c7d6cb0c8d585d9d4a88c574310d57)
.
- Die Funktion
vermöge
ist im Intervall
streng monoton steigend und wir haben
und
.
Mit der Definition 2 ergibt sich
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5143635c6a73b6b23f795129f676f4c730feeab)
für alle
![{\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721d25ce5ab60c2af71912e71d6e1730e3462130)
.
Da die Cosinusfunktion gerade ist, folgt auch für
die Ungleichung
. Also gilt
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9673c6032357b588d11edb49010a84389c0b1999)
für alle
![{\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a332e2f29717b2aa57d86d409d251a415d0a75fd)
und somit ist
im Intervall
streng monoton wachsend.
Formel (12) liefert
![{\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=1-\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355d799983d6b718f9753b3b49b9a1b15fef4872)
und zusammen mit Hilfssatz 1 folgt
sowie
![{\displaystyle \sin \left({\frac {-\pi }{2}}\right)=-\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d17099c4c0f5672f9b9a61f01469b323ad46450)
.
q.e.d.
Für die Exponentialfunktion gilt
(15)
![{\displaystyle \exp \left({\frac {i\pi }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\cdot \sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)=0+i\cdot 1=i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb761a939b22dc5a709dc188ab0b21eb84d24f44)
und somit folgt
(16)
![{\displaystyle \exp \left({\frac {ik\pi }{2}}\right)=i^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda6a6d25406db2a019554c32f97159ad6e60e5d)
für alle
![{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a12237af5f2ec5fc7c5023f439266bae1380f7)
.
- Die Funktionen (1) und (2) sind holomorph und es gilt
- Sie sind darstellbar durch die konvergenten Potenzreihen
(18)
![{\displaystyle \cos z=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{(2m)!}}\cdot z^{2m},z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5775df2744aa2ac7560b1cd0f509877d02aa6a8)
- und
(19)
![{\displaystyle \sin z=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{(2m+1)!}}\cdot z^{2m+1},z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8804ca62d8e9cf2f65d700ed316436c825c6323a)
.
- Sie sind miteinander verknüpft durch die Eulersche Formel (3) und es gilt die Identität
(20)
![{\displaystyle \cos ^{2}z+\sin ^{2}z=1,z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75fcb372b997cec683e0ee1a8f09ff0c3fc8913c)
.
- Schließlich geben wir die Gesamtheit der Stammfunktionen an
1. Für alle
gilt
(22)
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\cos z={\frac {1}{2}}(e^{iz}+e^{-iz})'={\frac {1}{2}}i(e^{iz}-e^{-iz})={\frac {i^{2}}{2i}}(e^{iz}-e^{-iz})=-\sin z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f02c0a7cf866ba21824766203ff8f5a423f118)
.
Analog zeigt man
.
2. Da die komplexe Exponentialfunktion eine konvergente Potenzreihe in
darstellt, müssen nach Definition 1 auch die Sinus- und Cosinusfunktion dort durch eine konvergente Potenzreihe gegeben sein. Deren Koeffizienten bestimmen wir mit den Überlegungen in §6 von Kapitel II als Taylor-Koeffizienten ihrer Einschränkung auf die reelle Achse
. Eben diese reellen Taylor-Reihen kennen wir schon aus (10) bzw. (11). Also stellen die Reihen (18) und (19), welche nach Satz 14 aus Kapitel I in
absolut konvergieren, die entsprechenden trigonometrischen Funktionen dar.
3. Nach Formel (12) gilt die Identität (20) bereits für alle reellen Argumente. Zumal die angegebene Funktion aus (20) in eine konvergente Potenzreihe in
entwickelbar ist, liefert der nachfolgende Satz – spezialisiert auf einfache Reihen – die angegebene Identität.
4. Die Stammfunktionen verifizieren wir sofort mit den obigen Differentiationsregeln.
q.e.d.
Satz 3 (Identitätssatz für Doppelreihen)
Bearbeiten
- Es sei in
die absolut konvergente Doppelreihe
(23)
für ![{\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1},z_{2}=x_{2}+iy_{2}\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b3eeab58ca648bcceaca7ba3eb3fc1b2541b0b)
- mit den Koeffizienten
für
gegeben. Wenn auf der reellen Ebene
verschwindet, so folgt die Identität
für alle
. Stimmen also zwei durch absolut konvergente Doppelreihen dargestellte Funktionen auf der reellen Ebene
überein, so ist dieses auch auf der komplexen Ebene
der Fall.
Wie in §6 von Kapitel II differenzieren wir die Doppelreihe (23)
mal reel nach
sowie
mal reel nach
und erhalten
(24)
![{\displaystyle 0=\sum _{k_{1}\geq l_{1},k_{2}\geq l_{2}}l_{1}!\cdot l_{2}!\cdot a_{k_{1}k_{2}}\cdot x_{1}^{k_{1}-l_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}-l_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac32c559d8752833cafb1d460de07d27d82ecb2)
.
Setzen wir dann die Stelle
ein, so folgt
(25)
![{\displaystyle 0=l_{1}!\cdot l_{2}!\cdot a_{l_{1}l_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce643eaa71c55eda888b7618ae7fdd2a13375137)
bzw.
![{\displaystyle a_{l_{1}l_{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa5d3f0a62414e9518b1e971accdc669eb7a42a)
für alle Indices
![{\displaystyle l_{1},l_{2}\in \mathbb {N} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d266458262fc1bf19dd77d7ff7a4f3e2861145b)
.
Der Potenzreihendarstellung (23) entnehmen wir schließlich die Behauptung.
q.e.d.
- Für alle
gelten die Additionstheoreme:
(26)
und
(27)
![{\displaystyle \sin(z_{1}+z_{2})=\sin z_{1}\cdot \cos z_{2}-\cos z_{1}\cdot \sin z_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7d7707c6041a903b0e26b94afa72cb08db532f)
.
- Des Weiteren gelten für alle
folgende Duplikationsformeln:
(28)
![{\displaystyle \cos ^{2}z-\sin ^{2}z=\cos \left(2z\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96715c2865abc0f92ff3373165fdae9eab069019)
(29)
![{\displaystyle 2\cos z\cdot \sin z=\sin(2z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001883d43b66ce2c7db3961a689a302e2e5b6047)
.
Wegen Satz 3 reicht es aus, die Additionstheoreme nur für reelle Argumente nachzuweisen – zumal die darin erscheinenden Funktionen in absolut konvergente Doppelreihen entwickelbar sind. Mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion berechnen wir für alle
:
(30)
![{\displaystyle \cos(x_{1}+x_{2})+i\sin(x_{1}+x_{2})=\exp {\bigg (}i(x_{1}+x_{2}){\bigg )}=\exp(ix_{1})\cdot \exp(ix_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a063bbf19b14eba11a091ff5212ad9a2be00b8f1)
![{\displaystyle =(\cos x_{1}+i\sin x_{1})\cdot (\cos x_{2}+i\sin x_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f672de096fcbd8c9fd10006b099e189b4f9955c)
![{\displaystyle ={\bigg (}\cos x_{1}\cdot \cos x_{2}-\sin x_{1}\cdot \sin x_{2}{\bigg )}+i{\bigg (}\sin x_{1}\cdot \cos x_{2}+\cos x_{1}\cdot \sin x_{2}{\bigg )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3c189a7bc69ab1bf4d0e053a9e4f355c934b7f)
.
Der Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert die o. a. Additionstheoreme.
Wir setzen in (26)
ein und erhalten
![{\displaystyle \cos \left(2z)=\cos(z+z\right)=\cos ^{2}z-\sin ^{2}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea0f125b185fd0f4e73a51a7a35f54b444207da)
.
Analog folgt aus (27) die Duplikationsformel (29).
q.e.d.
Sehr praktisch zum Integrieren sind die Identitäten
(31)
![{\displaystyle 1+\cos \left(2z\right)=2\cos ^{2}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a444c53d0bfba84a3a7ea4ade8b8d22b369688)
und
![{\displaystyle 1-\cos(2z)=2\sin ^{2}z,\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce280380f3fbabc267dc37372864040c8e65c484)
,
welche man leicht nachweist.
- Für alle
gelten
(32)
und
.
Mit dem Additionstheorem (27) erhalten wir
![{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-z\right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\cdot \cos(-z)+\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)\sin(-z)=\cos z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86a77176ef2e7b37b1072b950b92c1b3a56a719)
.
Setzen wir in diese Identität
mit
, so folgt
![{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-w\right)=\sin \left[{\frac {\pi }{2}}-\left({\frac {\pi }{2}}-w\right)\right]=\sin w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d735a23034ff84140ef9dabb18758c2fa92d6cf3)
.
q.e.d.
- Die Funktion
vermöge
ist im Intervall
streng monoton fallend und es gilt
und
.
Nach Satz 5 ist die Identität
![{\displaystyle \cos x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d77efbc63bc4e9752ad54e2452e94067180feea)
mit
![{\displaystyle x\in [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49dc087a4edaa359c2dbf3c9064e1370e6782934)
gültig. Damit können wir alle Aussagen dem obigen Satz 1 entnehmen.
q.e.d.
- Alle Lösungen von der Gleichung
mit
sind in der Form
mit
darstellbar.
Der Formel (16) entnehmen wir, dass die angegebenen komplexen Zahlen die Gleichung lösen.
Sei nun umgekehrt
mit
eine Lösung der Gleichung
![{\displaystyle 1=e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\cdot \sin y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837caa679ec9a3da7c93022ff6b1532ea3f84f2b)
,
so folgt
und damit
. Wir ermitteln
![{\displaystyle 1=\overbrace {e^{x}} ^{1}e^{iy}=e^{iy}=e^{i(y-2k\pi }{\stackrel {t:=y-2k\pi }{=}}e^{it}=\cos t+i\overbrace {\sin t} ^{0}=\cos t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c9e5c78d822377aa131a7d3d1ca352c30fbaa9)
und wählen
so, dass
erfüllt ist. Nach Satz 1 folgt aus der Bedingung
dann
und wir finden
bzw.
, wie es oben behauptet wurde.
q.e.d.
Satz 7 (Periodizität der Exponentialfunktion)
Bearbeiten
- Die komplexe Exponentialfunktion hat die Periode
. Die Gleichung
mit
ist genau dann erfüllt, falls
mit geeignetem
gültig ist.
Seien
mit
, so ist äquivalent
erfüllt. Gemäß Hilfssatz 4 bedeutet dieses
mit geeignetem
.
q.e.d.
- Die Komplexen trigonometrischen Funktionen
und
haben die Periode
. Alle komplexen Nullstellen von
sind durch
und von
durch
mit
gegeben.
Für alle
und
gilt nach Hilfssatz 4 für die Cosinusfunktion
(33)
![{\displaystyle \cos(z+2k\pi )={\frac {1}{2}}\left(e^{i(z+2k\pi )}+e^{-i(z+2k\pi )}\right)={\frac {1}{2}}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)=\cos z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562f0df5d43982ee010f67e8ddc7cb996bc6f301)
.
Wir berechnen jetzt alle Nullstellen der Cosinusfunktion. Für alle
gilt
(34)
![{\displaystyle 0=\cos z={\frac {1}{2}}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)\Leftrightarrow 0=e^{2iz}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc738ed7ab35f1f8227b03f40eee779dca21183d)
![{\displaystyle \quad \Leftrightarrow e^{2iz}=-1=e^{i\pi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7caa62be7342dfcbcb147b340cde1a1f43dd51)
![{\displaystyle \quad \Leftrightarrow e^{(2z-\pi )i}=1\Leftrightarrow (2z-\pi )i=2k\pi i\wedge k\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507e73e1fbe64203a1edf0f9181460201c9bc4fb)
![{\displaystyle \quad \Leftrightarrow z={\frac {\pi }{2}}(2k+1)\wedge k\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055fb52b9486a1b59ba9942a7caf5ae528075a1d)
.
Die angegebenen Eigenschaften der Sinusfunktion ergeben sich aus der Phasenverschiebung gegenüber der Cosinusfunktion.
q.e.d.
- Für alle
erklären wir die Tangensfunktion
(35)
![{\displaystyle \tan z:={\frac {\sin z}{\cos z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad323bad9f5efa466c4a2290fc3c519db494a63)
- und für alle
erklären wir die Cotangensfunktion
(36)
![{\displaystyle \cot z:={\frac {\cos z}{\sin z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3f5dcd40b1681915086f2c79b194a50d7717b0)
.
- Die Funktionen aus Definition 3 sind holomorph in ihren Definitionsbereichen und es gilt
Die komplexen trigonometrischen Funktionen (35) und (36) sind holomorph, da sie als Quotient holomorpher Funktionen definiert sind. Für alle
und
mit
gilt
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan z={\frac {d}{dz}}\left({\frac {\sin z}{\cos z}}\right)={\frac {\cos ^{2}z-\sin z(-\sin z)}{\cos ^{2}z}}={\frac {1}{\cos ^{2}z}}=1+\tan ^{2}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2616dea192796dd80092d3836d4552ecd45fe3b8)
.
Für alle
und
mit
berechnen wir
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\cot z={\frac {d}{dz}}\left({\frac {\cos z}{\sin z}}\right)={\frac {(-\sin z)\sin z-\cos ^{2}z}{\cos ^{2}z}}={\frac {-1}{\sin ^{2}z}}=-(1+\cot ^{2}z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1690c0b65e2892a42bfc995d55a3720afb825d)
.
Satz 10 (Additionstheorem für
und
)
Bearbeiten
- Für alle
gilt
(39)
![{\displaystyle \tan(z_{1}+z_{2}):={\frac {\tan z_{1}+\tan z_{2}}{1-\tan z_{1}\tan z_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737c0386be86bbbfeb0ecc01995c7eb481d27be4)
.
- Für alle
gilt
(40)
![{\displaystyle \cot(z_{1}+z_{2}):={\frac {-1+\cot z_{1}\cot z_{2}}{\cot z_{1}+\cot z_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895ab8aa53ac9b8ffa0dc33de571350be3e740d3)
.
Für alle
gilt
(41)
![{\displaystyle \tan(z_{1}+z_{2})={\frac {\sin(z_{1}+z_{2})}{\cos(z_{1}+z_{2})}}={\frac {\sin z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\sin z_{2}}{\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79e682651f9c5764a0246bf348448d442f26f0e)
![{\displaystyle ={\frac {{\frac {\sin z_{1}}{\cos z_{1}}}+{\frac {\sin z_{2}}{\cos z_{2}}}}{1-{\frac {\sin z_{1}}{\cos z_{1}}}\cdot {\frac {\sin z_{2}}{\cos z_{2}}}}}={\frac {\tan z_{1}+\tan z_{2}}{1-\tan z_{1}\tan z_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b89a0ee426de3cd9dc34b9291443055086c413)
.
Analog beweisen wir (40).
q.e.d.
- Für alle
mit
haben wir
(42)
![{\displaystyle {\frac {1}{\tan z}}=\cot z=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-z\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826677648f8cc4983f2c77f56e579953ba268026)
.
Mit Hilfe von Satz 5 berechnen wir
![{\displaystyle {\frac {1}{\tan z}}=\cot z={\frac {\cos z}{\sin z}}={\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}-z\right)}{\cos \left({\frac {\pi }{2}}-z\right)}}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-z\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b902fb1569692f6d197e916f2eb6891ba8a2c8)
.
q.e.d.
Wir wollen schließlich die reelle Tangens- und Cotangensfunktion untersuchen.
- Die Funktion
vermöge
ist im Intervall
streng monoton steigend. Diese Funktion ist ungerade, erfüllt
und besitzt folgendes asymptotische Verhalten:
(43)
und
.
Wegen (37) gilt
![{\displaystyle f'(y)={\frac {1}{\cos ^{2}y}}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52f4da6c3f70b4a25e47244df05b5b0001eeea0)
sowie
![{\displaystyle \tan(-y)=-\tan(y),y\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eaa582c8c8a39470a02349a74f996f9b3fc4f59)
.
Somit ist diese Funktion im Definitionsbereich streng monoton steigend und ungerade mit der Eigenschaft
![{\displaystyle \tan 0={\frac {\sin 0}{\cos 0}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bba48eaa4da2e0817c5f4c1c92eecfcca343c4)
.
Wir ermitteln nun ihr asymptotisches Verhalten
![{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}},x<{\frac {\pi }{2}}}\tan x=\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}},x<{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin x}{\cos x}}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a25a3d2ca1fc0618f9146d59823f15e982fa55e)
.
q.e.d.
- Die Funktion
vermöge
ist im Intervall
streng monoton fallend und es gilt
![{\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}\cot x=+\infty ,\cot \left({\frac {\pi }{2}}\right)=0,\lim _{x\to \pi ,x<\pi }\cot x=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dfd80d05a98034883c45066dd2e8e9d5b40f564)
.
Wir beachten
für alle
und Satz 12 liefert die angegebenen Eigenschaften.
q.e.d.
- Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen ist gegeben durch
(44)
![{\displaystyle \int \cot x\,dx=\int {\frac {\sin 'x}{\sin x}}\,dx=\int (\ln \circ \sin )'x\,dx=\ln(\sin x)+c_{2},x\in (0,+\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b808e60bf6baf2ef34a928b54209b62cb6bb45)
- und
(45)
![{\displaystyle \int \tan x\,dx=-\int {\frac {\cos 'x}{\cos x}}\,dx=-\ln(\cos x)+c_{1},x\in \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81324415597b41825757dd175d84ab3c3912cf7)
- mit den reellen Integrationskonstanten
.