Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§3 Die Hyperbelfunktionen

Definition 1 (Hyperbelfunktionen)

Für alle $y\in \mathbb {R}$ erklären wir den Cosinus hyperbolicus durch

$\cosh y:={\frac {1}{2}}(e^{y}+e^{-y})=\cos(iy)$,

den Sinus hyperbolicus durch

$\sinh y:={\frac {1}{2}}(e^{y}-e^{-y})=-i\cdot \sin(iy)$,

den Tangens hyperbolicus durch

$\tanh y:={\frac {\sinh y}{\cosh y}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{e^{y}+e^{-y}}}=-i\cdot \tan(iy)$

und den Cotangens hyperbolicus durch

$\coth y:={\frac {\cosh y}{\sinh y}}={\frac {e^{y}+e^{-y}}{e^{y}-e^{-y}}}=i\cdot \cot(iy)$

Satz 1

Die Hyperbelfunktionen sind in $\mathbb {R}$ stetig differenzierbar und es gelten für $y\in \mathbb {R}$ die folgenden Differentiationsregeln:

(1) ${\frac {d}{dy}}\cosh y=\sinh y$ und ${\frac {d}{dy}}\sinh y=\cosh y$

(1) ${\frac {d}{dy}}\tanh y={\frac {1}{\cosh ^{2}y}}$ und ${\frac {d}{dy}}\coth y=-{\frac {1}{\sinh ^{2}y}},y\neq 0$.

Beweis

Wir beachten die obige Definition der Hyperbelfunktionen durch die trigonometrischen Funktionen. Von den ersten beiden Differentiationsregeln berechnen wir

(2) ${\frac {d}{dy}}\cosh y={\frac {d}{dy}}\cos(iy)=-i\cdot \sin(iy)=\sinh y,y\in \mathbb {R}$.

Unter Verwendung von Satz 9 aus §2 ermitteln wir die dritte Differentiationsregel:

(3) ${\frac {d}{dy}}\tanh y=-i\cdot {\frac {d}{dy}}\tan(iy)=-i\cdot i\cdot {\frac {1}{\cos ^{2}(iy)}}={\frac {1}{\cosh ^{2}y}},y\in \mathbb {R}$.

Satz 2 (Additionstheorem für die Hyperbelfunktionen)

Für alle $y_{1},y_{2}\in \mathbb {R}$ gelten die folgenden Identitäten:

(4) ${\begin{matrix}\cosh(y_{1}+y_{2})=\cosh y_{1}\cdot \cosh y_{2}+\sinh y_{1}\cdot \sinh y_{2},\\\sinh(y_{1}+y_{2})=\sinh y_{1}\cdot \cosh y_{2}+\cosh y_{1}\cdot \sinh y_{2}.\end{matrix}}$

Des Weiteren gilt für alle $y\in \mathbb {R}$ die Identität

(5) $\cosh ^{2}y-\sinh ^{2}y=1$.

Beweis

Mit dem Additionstheorem berechnen wir von (4) die erste Gleichung:

(6) $\cosh \left(y_{1}+y_{2})=\cos(iy_{1}+iy_{2}\right)$

$=\cos(iy_{1})\cdot \cos(iy_{2})-\sin(iy_{1})\cdot \sin(iy_{2})$

$=\cos(iy_{1})\cdot \cos(iy_{2})+[-i\cdot \sin(iy_{1})]\cdot [-i\cdot \sin(iy_{2})]$

$=\cosh y_{1}\cdot \cosh y_{2}+\sinh y_{1}\cdot \sinh y_{2}$ für alle $y_{1},y_{2}\in \mathbb {R}$.

Weiter ermitteln wir für alle $y\in \mathbb {R}$:

(7) $\cosh ^{2}y-\sinh ^{2}y=\cos \left(iy)^{2}-(-i)^{2}\sin(iy)^{2}=\cos(iy)^{2}+\sin(iy\right)^{2}=1$.

q.e.d.

Satz 3

Die ungerade Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ vermöge $y\mapsto f(y)=\sinh y$ ist in $\mathbb {R}$ streng monoton steigend und wir haben das asymptotische Verhalten

$\lim _{y\to -\infty }\sinh y=-\infty ,\quad \sinh 0=0,\quad \lim _{y\to +\infty }\sinh y=+\infty$.

Beweis

Wegen der Ungleichung

$f'(y)=\cosh y={\frac {1}{2}}(e^{y}+e^{-y})>0,\quad y\in \mathbb {R}$

ist die Funktion Sinus hyperbolicus auf $\mathbb {R}$ streng monoton steigend. Weiter ist $\sinh$ eine gerade Funktion, da dieses auch für $\sin$ zutrifft und es gilt

$\sinh 0={\frac {1}{2}}(e^{0}-e^{0})=0$.

Gemäß §1 ist $\lim _{y\to +\infty }e^{y}=+\infty$ und $\lim _{y\to +\infty }e^{-y}=0$ erfüllt und wir erhalten

$\lim _{y\to +\infty }\sinh y={\frac {1}{2}}\left(\lim _{y\to +\infty }e^{y}-\lim _{y\to +\infty }e^{-y}\right)={\frac {1}{2}}\lim _{y\to +\infty }e^{y}=+\infty$.

Aus der Eigenschaft $\sinh(-y)=-\sinh(y),y\in \mathbb {R}$ folgen nun alle weiteren Aussagen.

q.e.d.

Satz 4

Die ungerade Funktion $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ vermöge $y\mapsto g(y)=\cosh y$ ist im Intervall $0\leq y<+\infty$ streng monoton steigend und es gilt

$\lim _{y\to -\infty }\cosh y=+\infty =\lim _{y\to +\infty }\cosh y$ sowie $\cosh 0=1$.

Beweis

Wegen $g'\left(y\right)=\sinh y>0$ für alle $y>0$ ist die Funktion Cosinus hyperbolicus im Intervall $[0,+\infty )$ streng monoton steigend. Weiter gilt $\cosh 0={\frac {1}{2}}(e^{0}+e^{0})=1$. Da die Cosinusfunktion gerade ist, folgt

$\cosh(-y)=\cosh(y),\quad y\in \mathbb {R}$.

Wegen der asymptotischen Eigenschaften der Exponentialfunktion ist die Bedingung

$\lim _{y\to +\infty }\cosh y={\frac {1}{2}}\left(\lim _{y\to +\infty }e^{y}+\lim _{y\to +\infty }e^{-y}\right)={\frac {1}{2}}\lim _{y\to +\infty }e^{y}=+\infty$

erfüllt. Schließlich folgt noch $\lim _{y\to -\infty }\cosh y=+\infty$, denn $g$ ist eine gerade Funktion.

q.e.d.

Satz 5

Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen vom Cosinus hyperbolicus bzw. vom Sinus hyperbolicus sind gegeben durch

(8) $\int \cosh y\,dy=\sinh +c_{1}$ und $\int \sinh y\,dy=\cosh +c_{2}$

mit den reellen Integrationskonstanten $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$

Satz 6

Für den Tangens hyperbolicus gilt

(9) $\int \tanh y\,dy=\int {\frac {\cosh 'y}{\cosh y}}\,dy=\int (\ln \circ \cosh )'y\,dy=\ln(\cosh y)+c,y\in \mathbb {R}$

mit der reellen Integrationskonstante $c\in \mathbb {R}$.