Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§4 Die Arcusfunktionen

Definition 1

Die Umkehrfunktion von $y=\sin x:\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\to \mathbb {R}$ heißt Arcus-Sinusfunktion $x=\arcsin y:[-1,1]\to \mathbb {R}$. Die Umkehrfunktion von $y=\cos x:[0,\pi ]\to \mathbb {R}$ heißt Arcus-Cosinusfunktion $x=\arccos y:[-1,1]\to \mathbb {R}$.

Satz 1

Für alle $y\in \mathbb {R}$ mit $|y|\leq 1$ gilt

(1) $\arccos y+\arcsin y={\frac {\pi }{2}}$.

Beweis

Nach Satz 5 in §2 gilt

$[-1,+1]\ni y=\sin x=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$ für alle $x\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$.

Unter Anwendung von $\arccos$ auf die Identität $y=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$ und von $\arcsin$ auf $y=\sin x$ erhalten wir

(2) $\arccos y=\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\left({\frac {\pi }{2}}-\arcsin y\right)$

für alle $y\in [-1,+1]$. Somit folgt die o. a. Behauptung.

q.e.d.

Satz 2

Die in Definition 1 erklärten Funktionen sind im Intervall $\left(-1,1\right)$ stetig differenzierbar und es gilt

(3) ${\frac {d}{dy}}\arcsin y={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$ und ${\frac {d}{dy}}\arccos y={\frac {-1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$

für alle $y\in \mathbb {R}$ mit $\left|y\right|<1$.

Beweis

Sei $y\in (-1,1)$ und $x:=\arcsin y$, wobei $y=\sin x$ mit $x\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ gilt. Nach den Überlegungen in §2 ist ${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x>0$ für alle $|x|<{\frac {\pi }{2}}$ erfüllt. Wir wenden jetzt Satz 7 aus §3 in Kapitel II auf die Funktion $f\left(x\right)=\sin x$ und erhalten

${\frac {d}{dy}}\arcsin y={\frac {1}{\cos(\arcsin y)}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\arcsin y)}}}={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$.

Aus Satz 1 folgt für alle $\left|y\right|<1$ unmittelbar

${\frac {d}{dy}}\arccos y={\frac {d}{dy}}\left({\frac {\pi }{2}}-\arcsin y\right)=-{\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$.

Satz 3

Für alle $y\in (-1,+1)$ gilt die Reihenentwicklung

(4) $\arcsin y=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2k}}}{\begin{pmatrix}2k\\k\end{pmatrix}}\cdot {\frac {y^{2k+1}}{2k+1}}=y+{\frac {1}{6}}y^{3}+{\frac {3}{40}}y^{5}+\ldots$.

Beweis

Nach dem Satz 4 über die Binomialreihe, welchen wir in §7 zeigen werden, konvergiert für alle $t\in (-1,+1)$ die folgende Reihe:

(5) ${\frac {d}{dt}}\arcsin t={\frac {1}{sqrt{1-t^{2}}}}=(1-t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\k\end{pmatrix}}\cdot (-1)^{k}\cdot t^{2k}$.

Hierbei verwenden wir die – in §7 eingeführten – verallgemeinerten Binomialkoeffizienten

(6) ${\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\k\end{pmatrix}}\cdot (-1)^{k}=(-1)^{k}\cdot {\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-1\right)\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-2\right)\cdot \ldots \cdot \left(-{\frac {1}{2}}-k+1\right)}{k!}}$

$={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k-1)}{2^{k}\cdot k!}}$.

Wenn wir mit $\prod _{i=1}^{k}(2i)=2^{k}\cdot k!$ erweitern, erhalten wir schließlich

(7) ${\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\k\end{pmatrix}}\cdot (-1)^{k}={\frac {(2k)!}{2^{2k}\cdot (k!)^{2}}}={\begin{pmatrix}2k\\k\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{2^{2k}}}$.

Zusammen mit (5) folgt die Identität

(8) ${\frac {d}{dt}}\arcsin t=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2k}}}{\begin{pmatrix}2k\\k\end{pmatrix}}\cdot t^{2k},\quad t\in (-1,+1)$.

Mit Hilfe von Satz 9 aus §2 in Kapitel II integrieren wir diese Potenzreihe gliedweise und wir erhalten für alle $y\in (-1,+1)$

(9) $\arcsin y=\int _{0}^{y}\left[{\frac {d}{dt}}\arcsin t\right]\,dt=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2k}}}{\begin{pmatrix}2k\\k\end{pmatrix}}\cdot {\frac {t^{2k+1}}{2k+1}}\right]_{0}^{y}$

$=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2k}}}{\begin{pmatrix}2k\\k\end{pmatrix}}\cdot {\frac {y^{2k+1}}{2k+1}}$

Damit ist die o. a. Reihe hergeleitet.

q.e.d.

Satz 4

Es gilt für alle $y\in \mathbb {R}$ mit $\left|y\right|<1$ die Aussage

(10) $\int {\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,dy=\arcsin y+c_{1}=-\arccos y+c_{2}$

mit den reellen Integrationskonstanten $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$

Definition 2

Die Umkehrfunktion von $y=\tan x:\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\to \mathbb {R}$ heißt Arcus-Tangensfunktion $x=\arctan y:\mathbb {R} \to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$. Die Umkehrfunktion von $y=\cot x:[0,\pi ]\to \mathbb {R}$ heißt Arcus-Cotangensfunktion $x=\operatorname {arccot} y:\mathbb {R} \to [0,\pi ]$.

Satz 5

Für alle $y\in \mathbb {R}$ gilt

(11) $\operatorname {arccot} y+\arctan y={\frac {\pi }{2}}$

Beweis

Diese Identität entnehmen wir dem Satz 11 aus §2, wie wir im Beweis zu Satz 1 vorgestellt haben.

q.e.d.

Satz 6

Die in Definition 2 erklärten Funktionen sind in $\mathbb {R}$ stetig differenzierbar und es gilt dort

(12) ${\frac {d}{dy}}\arctan y={\frac {1}{\sqrt {1+y^{2}}}}$ sowie ${\frac {d}{dy}}\operatorname {arccot} y={\frac {-1}{\sqrt {1+y^{2}}}}$.

Beweis

Sei $y\in \mathbb {R}$ und $x:=\arctan y$, wobei $y=\tan x$ mit $|x|<{\frac {\pi }{2}}$ gilt. Nach Satz 9 aus §2 ist

${\frac {d}{dx}}\tan x=1+\tan ^{2}x>0$ für alle $|x|<{\frac {\pi }{2}}$ erfüllt.

Wir wenden den Satz über die Differentiation von Umkehrfunktionen auf $f\left(x\right)=\tan x$ und erhalten

(13) ${\frac {d}{dy}}\arctan y={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan y)}}={\frac {1}{1+y^{2}}}$.

Dann liefert Satz 4 für alle $y\in \mathbb {R}$ die Identität

${\frac {d}{dy}}\operatorname {arccot} y={\frac {d}{dy}}\left({\frac {\pi }{2}}-\arctan y\right)=-{\frac {1}{1+y^{2}}}$.

q.e.d.

Satz 7

Für alle $y\in (-1,1)$ gilt die Reihenentwicklung

(14) $\arctan y=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\cdot {\frac {y^{2k+1}}{2k+1}}=y-{\frac {1}{3}}y^{3}+{\frac {1}{5}}y^{5}-\ldots +\ldots$.

Beweis

Wir entwickeln die Ableitung dieser Funktion in eine konvergente geometrische Reihe:

(15) ${\frac {d}{dy}}\arctan t={\frac {1}{1+t^{2}}}={\frac {1}{1-(-t^{2})}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\cdot t^{2k},\quad t\in (-1,+1)$.

Mit Hilfe von Satz 9 in §5 von Kapitel II integrieren wir die Potenzreihe gliedweise und erhalten

(16) $\arctan y=\int _{0}^{y}{\frac {d}{dy}}\arctan t\,dt=\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\cdot {\frac {t^{2k+1}}{2k+1}}\right]_{0}^{y}$

$=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\cdot {\frac {y^{2k+1}}{2k+1}},\quad y\in (-1,+1)$

über den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.

q.e.d.

Satz 8

Beweis

Satz 9

Die Gesamtheit der reellen stammfunktionen von der gebrochen rationalen funktion $(1+y^{2})^{-1},y\in \mathbb {R}$ besteht aus

(19) $\int {\frac {1}{1+y^{2}}}\,dy=\arctan y+c_{1}=-\operatorname {arccot} y+c_{2},\quad y\in \mathbb {R}$ mit $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$

Beweis

Dieser Beweis folgt sofort aus Satz 6.

q.e.d.