Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§5 Polarkoordinaten und Überlagerungsflächen

Satz 1 (Polarkoordinaten)

Jede komplexe Zahl $w=u+iv\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ lässt sich durch

(1) $w=re^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\wedge r\in (0,+\infty )\wedge \varphi \in (-\pi ,\pi ]$

eindeutig darstellen.

Beweis

1. Wir zeigen zunächst die Existenz einer solchen Darstellung: Die komplexe Zahl liege im 1. Quadranten der Gaußebene:

$w=u+iv,\quad u\geq 0\quad \wedge \quad v\geq 0$. Wir setzen dann: $r:=|w|={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}>0,\quad \xi :={\frac {u}{|w|}},\quad \eta :={\frac {v}{|w|}}$.

Dann ist $w=|w|\left({\frac {u}{|w|}}+i{\frac {v}{|w|}}\right)=r(\xi +i\eta )$ mit $\xi \geq 0$ sowie $\eta \geq 0$ und $\xi ^{2}+\eta ^{2}={\frac {u^{2}+v^{2}}{|w|^{2}}}=1$, woraus $\eta \in [0,1]=\left[\sin 0,\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right]$ folgt. Nach Satz 1 aus §2 existiert genau ein $\varphi \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ mit $\sin \varphi =\eta$. Weiter gilt $\cos \varphi ={\sqrt {1-\sin ^{2}\varphi }}={\sqrt {1-\eta ^{2}}}=\xi$. Damit erhalten wir die geforderte Darstellung

(2) $w=r(\xi +i\eta )=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }$ mit $r>0$ und $0\leq \varphi \leq {\frac {\pi }{2}}$.

2. Nun wollen wir (1) für alle $w\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ gewinnen. In Polarkoordinaten $w=r\cdot e^{i\varphi }$ wird die Spiegelung am Nullpunkt durch

$-w=-re^{i\varphi }=e^{i\pi }\cdot re^{i\varphi }=re^{i(\varphi +\pi )}$

und die Spiegelung an der reellen Achse durch

${\overline {w}}={\overline {r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}}=r(\cos \varphi -i\sin \varphi )=r[\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )]=re^{-i\varphi }$

beschrieben. Für eine beliebige komplexe Zahl $w\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ wenden wir eine Spiegelung am Nullpunkt oder eine Spiegelung an der reellen Achse an und wir können sie so in den 1. Quadranten überführen. Die Rücktransformation liefert $w=re^{i\varphi }$ mit $r>0$ und $\varphi \in \mathbb {R}$ für alle $w\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$. Wir bestimmen noch ein $k\in \mathbb {Z}$, so dass $-\pi <\varphi +2k\pi \leq \pi$ gilt und setzen $\psi :=\varphi +2k\pi$. Wegen $e^{2k\pi i}=1$ ist dann die Darstellung $w=re^{i\psi }$ mit $r>0$ und $-\pi <\psi \leq \pi$ für alle $w\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ gefunden.
3. Wir weisen jetzt die Eindeutigkeit der Darstellung für $w\neq 0$ nach. Angenommen es gäbe die beiden Darstellungen $w=re^{i\varphi }\ (r>0,-\pi <\varphi \leq \pi )$ und $w=\rho e^{i\omega }\ (\rho >0,-\pi <\omega \leq \pi )$. Für den Betrag ermitteln wir $r=|w|=\rho >0$ und dann folgt $e^{i\varphi }=e^{i\omega }$ bzw. $e^{i(\varphi -\omega )}=1$. Wegen $|\varphi -\omega |<2\pi$ liefert Hilfssatz 4 aus §2 die Identität $\varphi =\omega$.

q.e.d.

Wir wollen jetzt eine Fläche $\mathbb {U} \subset \mathbb {R} ^{3}$ so konstruieren, dass man ihren Punkten in eindeutiger Weise universelle Polarkoordinaten

$0<R<+\infty ,\quad -\infty <\Phi <+\infty$

zuordnen kann. Hierzu betrachten wir die Punktmenge

$\mathbb {U} :=\{\mathbf {w} =(w,k)\in \mathbb {R} ^{3}:w\in \mathbb {C} \setminus \{0\},k\in \mathbb {Z} \}$.

Sie besteht aus den Blättern

$\mathbb {U} _{k}:={\Bigl \{}\mathbf {w} ={\Bigl (}r\cdot \exp(i\varphi ),k{\Bigr )}\in \mathbb {U} :-\pi <\varphi \leq +\pi ,0<r<+\infty {\Bigr \}}$

mit dem Schlitz

$\mathbb {S} _{k}:=\{\mathbf {w} =(-r,k)-i$