Wir setzen nun unsere Überlegungen aus §5 fort und übernehmen auch die dort eingeführten Bezeichnungen. Wir betrachten zu festem

die
-te Potenzfunktion
(1)

.
Wir verwenden die Polarkoordinaten
(2)

mit

und
![{\displaystyle \varphi \in \left(-{\frac {\pi }{n}},-{\frac {\pi }{n}}+2\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22912e8e8dfb82b5f516b5ebb5a7f87e77cce7f)
und erhalten
(3)

mit

und
![{\displaystyle \varphi \in \left(-{\frac {\pi }{n}},-{\frac {\pi }{n}}+2\pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22912e8e8dfb82b5f516b5ebb5a7f87e77cce7f)
.
Offenbar ist für
diese Funktion
nicht injektiv und verbietet eine Umkehrfunktion! Darum liften wir sie auf die
-fache Überlagerungsfläche zur Funktion
(4)
![{\displaystyle \mathbb {F} :\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {U} [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113238b4b374a4457a302baf9818cf74c01b8f36)
vermöge

, falls

und
![{\displaystyle \varphi \in \left(-{\frac {\pi }{n}}+k{\frac {2\pi }{n}},-{\frac {\pi }{n}}+(k+1){\frac {2\pi }{n}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c0cd88673dbc7c948dd7682c7a777886378ed2)
mit

richtig ist.
Nun ist die funktion
bijektiv und stetig. Sie besitzt eine stetige Umkehrfunktion
, denn für jedes
ist die Funktion
auf dem kompakten Kreisring

stetig umkehrbar (siehe Satz 6 in §1 von Kapitel II). Identifizieren wir nun noch
mit
, so erhalten wir
- Die oben konstruierte Funktion
als Umkehrfunktion zu
nennen wir die
-te Wurzelfunktion
.
- Die geliftete Exponentialfunktion
wird gegeben durch die Setzung
![{\displaystyle \mathbb {C} \ni z=x+iy\mapsto {\Bigl (}\exp z,[[y]]{\Bigr )}\in \mathbb {U} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0efdcf27598657f99b523cec9195ce4d1d0d28b9)
- mit Hilfe der
-Funktion.
1. Diese geliftete Exponentialabbildung
ist nach Konstruktion bijektiv und stetig.
2. Für zwei komplexe Zahlen
berechnen wir mittels Definition 2 aus §5 das Produkt in der universellen Überlagerungsfläche
(5)
![{\displaystyle Exp\left(z_{1})*Exp(z_{2}\right)={\Bigl (}\exp(x_{1}+iy_{1}),[[y_{1}]]{\Bigr )}*{\Bigl (}\exp(x_{2}+iy_{2}),[[y_{2}]]{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25965f7072e3bff6bd3a9decb63436a30e7f04c2)

![{\displaystyle ={\Bigl (}e^{x_{1}+x_{2}}\exp i(y_{1}+y_{2}-2\pi k),[[y_{1}+y_{2}]]{\Bigr )}={\Bigl (}e^{x_{1}+x_{2}}\exp i(y_{1}+y_{2}),[[y_{1}+y_{2}]]{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7525bbf016cc81fc0a6d7009e0d43ff14626e21f)

Hierbei verwenden wir die Zahl
, für welche die Bedingung
garantiert ist.
3. Ein beliebiges kompaktes Rechteck
wird durch
eineindeutig abgebildet auf den folgenden abgeschlossenen, beschränkten Sektor:
![{\displaystyle Exp{\Bigl (}[x_{-},x_{+}]\times [y_{-},y_{+}]{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e902c643ab23015f2b9dc7a7420fa8f1187ab9a)

![{\displaystyle ={\Bigl \{}{\Bigl (}e^{x}\cdot (\cos y+i\sin y),[[y]]{\Bigr )}:x_{-}\leq x\leq x_{+},y_{-}\leq y\leq y_{+}{\Bigr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3adab5980ba5abe5e3257879c37fd1b2ce5ff97b)

.
- Die Umkehrfunktion zur gelifteten Exponentialfunktion
nennen wir die universelle Logarithmusfunktion
vermöge 
- Sie erfüllt die beiden Gleichungen
für alle 
- und
für alle
.
- Die geliftete Exponentialfunktion genügt der Funktionalgleichung
für alle
.
- Die universelle Logarithmusfunktion erfüllt die Funktionalgleichung
für alle Punkte
.
Die Funktionalgleichung der gelifteten Exponentialfunktion haben wir bereits in Formel () gezeigt. Da die universelle Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der gelifteten Exponentialfunktion it, leitet man wie im Beweis – Teil 3. – zu Satz 8 in §1 (für den natürlichen Logarithmus) die zweite Funktionalgleichung aus der ersten her.
q.e.d.
Mit Hilfe von Definition 6 in §5 zeigen wir nun die Holomorphie der Funktionen
und
. Zunächst beachten wir die Identität
(9)

für alle

.
Diese impliziert die Holomorphie der gelifteten Exponentialfunktion.
- Für die universelle Logarithmusfunktion betrachten wir in jedem Punkt
die Liftung

- auf die maximale Kreisscheibe in der Überlagerungsfläche. Dann betrachten wir lokal die Logarithmusfunktion
(10)

.
- Diese ist komplex differenzierbar in
und es gilt für ihre Ableitung
(11)

- Also ist
eine holomorphe Funktion auf der universellen Überlagerungsfläche.
Da nun lokal die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der holomorphen Exponentialfunktion erscheint, können wir den Beweis – Teil 1. – von Satz 8 aus §1 anwenden. Dabei benötigen wir Satz 14 aus §3 in Kapitel II über die holomorphe Umkehrfunktion.
q.e.d.
- Für alle Punkte
gilt die Darstellung
(12)

- durch die konvergente Potenzreihe mit
und
.
Da
und
richtig ist, entwickeln wir die nachfolgende Funktion in eine geometrische Reihe um den Punkt
:
(13)


.
Dann berechnen wir mittels Satz 9 aus §5 in Kapitel II die komplexen Stammfunktionen durch gliedweise Integration der Potenzreihe
(14)

mit der Integrationskonstante
. Schließlich liefert die komplexe Integration der Identität (11) die gewünschte Darstellung
(15)

.
Hierbei verwenden wir den Satz 6 aus §5 in Kapitel II.
q.e.d.
- Für die universelle Logarithmusfunktion gilt die Darstellung
(16)

.
Wir verwenden die universellen Polarkoordinaten
des Punktes
. Dann beachten wir

und

und berechnen
(17)

![{\displaystyle ={\Bigl (}\exp {\bigl (}\ln R(\mathbf {w} )+i\Phi (\mathbf {w} ){\bigr )},[[\Phi (\mathbf {w} )]]{\Bigr )}={\Bigl (}R(\mathbf {w} )\cdot \exp {\bigl (}i\Phi (\mathbf {w} ){\bigr )},[[\Phi (\mathbf {w} )]]{\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6faa8fbecfdb7ffb71c07b46d1ab9b78ecd120d0)
![{\displaystyle ={\Bigl (}R(\mathbf {w} )\cdot \exp {\bigl (}i\Phi (\mathbf {w} )-2\pi k{\bigr )},[[\Phi (\mathbf {w} )]]{\Bigr )}=\mathbf {w} (R,\Phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc6a3a232623a5293d10b25789dfbf5f4b3e48d)
.
Hierbei haben wir
gewählt, so dass
erfüllt ist. Die obige Identität (17) liefert die Behauptung.
q.e.d.
Projektion der universellen Logarithmusfunktion in die punktierte komplexe Ebene:
Man wählt für
ein
und setzt mit
den Startwert für den Logarithmus wie folgt fest:
(18)

Dann verwendet man einen stetigen Weg
in der Überlagerungsfläche mit dem Anfangswert
und dem Endpunkt
. Wir setzen dann die Logarithmusfunktion in der punktierten komplexen Ebene längs des projizierten Weges
(19)
![{\displaystyle \zeta (t):=\sigma \circ \gamma (t):[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958484c8d7b21c7153705441c7f55941b2fa4ff8)
fort, indem wir
(20)

erklären. Auf diese Weise werden einer komplexen Zahl
verschiedene Werte des Logarithmus zugeordnet – wir erhalten also eine mehrdeutige Funktion auf
.
- Für die längs des Weges
in der universellen Überlagerungsfläche wie oben fortgesetzte mehrdeutige Logarithmusfunktion
gilt die Identität:
mit
.
Nun identifizieren wir das Innere des 0-ten Blattes
mit der geschlitzten komplexen Ebene
![{\displaystyle \mathbb {C} ':=\mathbb {C} \setminus (-\infty ,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d116b3fda7c178c6afd96d187fd002c7deb295db)
.
Dort können wir eindeutig die Logarithmusfunktion erklären:
- Wir definieren die komplexe Logarithmusfunktion
vermöge
.
- Für alle komplexen Zahlen
mit
in der rechten Halbebene gilt die folgende Identität:
(24)

.
Wir spezialisieren den obigen Satz 4 auf das Blatt
. Wegen

ist

richtig
und es bleibt
zu zeigen. Mit Hilfe von
folgt

und Satz 1 aus §5 liefert die Identität
(25)

bzw.
(26)

und

.
Wir erhalten
(27)

und somit

.
q.e.d.
- Für alle komplexen Zahlen
mit
in der oberen Halbebene erhalten wir die reellen Stammfunktionen
(28)

- mit der komplexen Integrationskonstante
.
Da
für
in der rechten Halbebene liegt, berechnen wir
(29)



mit einer Integrationskonstante
.
q.e.d.