- Zur Potenz
betrachten wir die universelle Potenzfunktion
vermöge
(1)

.
- Für je zwei potenzen
mit
erfüllen die Potenzfunktionen
die identität

.
Wir berechnen


.
q.e.d.
- Zur Potenz
betrachten wir die allgemeine Potenzfunktion
vermöge
(3)

.
Zur Differentiation dieser Funktion verwenden wir Satz 2 aus §6 mit den dortigen Bezeichnungen: In einem beliebigen Punkt
betrachten wir die Liftung

auf die maximale Kreisscheibe in der Überlagerungsfläche. Die assoziierte Funktion
(4)

ist holomorph und ihre komplexe ableitung lautet:
(5)





- Für alle
ist die allgemeine Potenzfunktion
auf der universellen Überlagerungsfläche holomorph. Im oben präzisierten Sinne – siehe (4) und (5) – gilt die Differentiationsregel

.
- Sei die komplexe Zahl
und die natürliche Zahl
gegeben. Die gesamtheit der komplexen stammfunktionen der folgenden gebrochen rationalen funktion lautet
(6)
für alle 
- mit der komplexen Integrationskonstante
.
- Zur Potenz
betrachten wir die allgemeine komplexe Potenzfunktion

- vermöge
(7)

.
- Mit dem Exponenten
gilt für die Funktion

- auf der Einheitskreisscheibe
die folgende Darstellung
(8)

- durch die konvergente Binomialreihe. Dabei haben wir die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten wie folgt erklärt:
1. Zunächst genügt die Funktion
dem folgenden Anfangswertproblem:
(10)

holomorph,

und

.
Haben wir nun zwei Lösungen
von (10) mit
gegeben, so erfüllt deren Quotient

das folgende Anfangswertproblem:
(11)


für alle

und

.
Somit ist
bzw.
richtig. Folglich ist das Anfangswertproblem (10) eindeutig bestimmt.
2. Wir zeigen nun, dass die Binomialreihe in
konvergiert:
(12)


für

.
Wir sehen

für alle
ein. Das Quotientenkriterium liefert sofort die Konvergenz der Binomialreihe in
.
3. Schließlich genügt

dem anfangswertproblem (10):
Offenbar ist
erfüllt. Dann differenzieren wir gemäß Satz 15 aus §3 in Kapitel II gliedweise die binomialreihe und erhalten
(13)

![{\displaystyle =\gamma \cdot \left[\sum _{k=1}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma -1\\k-1\end{pmatrix}}w^{k-1}+\sum _{k=1}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma -1\\k-1\end{pmatrix}}w^{k}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b292e96b2a0ad28f94b29cc2b7cbb39eaee2ed19)
![{\displaystyle =\gamma \cdot \left[\sum _{l=0}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma -1\\l\end{pmatrix}}w^{l}+\sum _{l=1}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma -1\\l-1\end{pmatrix}}w^{l}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d617ff46ecc260d9d8778c31216a6a4717cb4c88)
![{\displaystyle =\gamma \cdot \left[1+\sum _{l=1}^{\infty }{\Bigl (}{\begin{pmatrix}\gamma -1\\l\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\gamma -1\\l-1\end{pmatrix}}{\Bigr )}w^{l}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755a0331ed7e4782d14f3c4287570ea3fe9fee78)
![{\displaystyle =\gamma \cdot \left[1+\sum _{l=1}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma \\l\end{pmatrix}}w^{l}\right]=\gamma \cdot \left[\sum _{l=0}^{\infty }{\begin{pmatrix}\gamma \\l\end{pmatrix}}w^{l}\right]=\gamma \cdot g(w),\quad w\in B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5ddc9f835d42c3fede88057927a716484930f4)
Hierbei haben wir das vom Binomialsatz bekannte Additionstheorem für die Binomialkoeffizienten

verwandt, welches auch für die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten gilt. Da das Anfangswertproblem (10) eindeutig lösbar ist, stimmt die funktion
in
mit der Binomialreihe überein.
q.e.d.
- Sei die komplexe Zahl
mit
in der oberen Halbebene und die natürliche Zahl
gegeben sowie
. Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen folgender echt gebrochen rationaler Funktionen lautet:
(15)


für alle
, mit der reellen Integrationskonstante
.
- Während im Zähler reelle Polynome vom Grad höchstens
und
auf der linken bzw. rechten Seite auftreten, finden wir im Nenner Potenzen eines quadratischen Polynoms, welches keine Nullstellen in
besitzt.
Wir berechnen




mit der reellen Integrationskonstante
.
Den Fall
haben wir bereits in Satz 7 und der anschließenden Bemerkung aus §6 gesondert behandelt. Speziell im Fall
erhalten wir aus obigem Satz die Integrationsregel
(17)

.
Es ist mühsam, solche gebrochen rationale Funktionen im Reellen zu integrieren.
- Zur Potenz
betrachten wir die allgemeine reelle Potenzfunktion

- vermöge
(18)

.
- Sei die komplexe Zahl
und die natürliche Zahl
gegeben. Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen der folgenden echt gebrochen rationalen Funktionen lautet:
(19)
für alle 
- mit der reellen integrationskonstante
.
- Für alle
und
mit
gilt
(20)

.
Gemäß §6 in Kapitel II ist eine konkave Funktion ein Element der Menge

.
Analog zu Satz 3 aus §6 in Kapitel II gilt für konkave Funktionen unter obigen Voraussetzungen die Jensensche Ungleichung

.
Betrachten wir nun die konkave Funktion
mit der zweiten Ableitung

für alle

,
so erhalten wir die Ungleichung

.
Bilden wir nun die Potenz zur Basis
, so erhalten wir wegen der Monotonie der reellen Exponentialfunktion die Ungleichung (20), nämlich


,
wobei
und
erfüllt ist. Aus Stetigkeitsgründen bleibt (20) auch für alle
und
richtig.
q.e.d.
Für
mit
erklären wir die Koeffizienten
mit
und wir erhalten die Ungleichung

bzw.
(21)
![{\displaystyle m_{G}:={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\leq {\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})=:m_{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335ea537d5dc636a92c8a70934c573f9d5e407bb)
für alle rellen Zahlen
mit
. Dieses besagt, dass das geometrische Mittel
kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel
ist.
Wir setzen nun
und
für
in Satz 7 ein, wobei
und
sowie
gelten. Wegen
erhalten wir die Ungleichung

.
Im Falle
mit
,
und
,
sowie
ergibt sich die Youngsche Ungleichung
(22)

.
Satz 8 (Höldersche Ungleichung im
)
Bearbeiten
- Es seien
– für
– gegeben. Wenn die Exponenten
die Bedingung
erfüllen, dann folgt
(23)

.
Wir brauchen nur die rechte Ungleichung in (23) zu beweisen. Wenn
erfüllt ist, so muss
gelten und in (23) tritt Gleichheit ein. Also können wir ohne Einschränkung
und
annehmen. Dann betrachten wir die normierten Größen

und

,
welche offenbar die Bedingung

erfüllen. Nach der Youngschen Ungleichung (22) gilt

für

.
Summation über
liefert die ungleichung
(24)

wegen der Normierungsbedingungen. Diese Ungleichung (24) impliziert offenbar die rechte ungleichung in (23).
q.e.d.