- Die Funktion
(1)
![{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0},\quad z\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/386866487301ba1c60cec9c03bfc09ec3e52ee68)
- heißt ein Polynom in
vom Grad
– in Zeichen
– mit den komplexen Koeffizienten
für
und
. Wenn alle Koeffizienten gemäß
für
reell sind, so sprechen wir von einem reellen Polynom.
- Sei
ein Polynom (1) mit
. Dann gibt es zu jedem
komplexe Koeffizienten
derart, dass folgende Darstellung gültig ist:
(2)
![{\displaystyle f(z_{0}+\xi )=a_{n}\xi ^{n}+b_{n-1}\xi ^{n-1}+...+b_{1}\xi +f(z_{0}),\quad \xi \in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904f8f4b8e584fd83597e530ad2980d6010aca41)
.
Wir setzen
und erhalten mittels (1) die Identität
![{\displaystyle f(z)=f(z_{0}+\xi )=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(z_{0}+\xi )^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb3ca057835453020f87be794ff73ae84cad8ba)
.
Die Terme
werden über den Binomischen Lehrsatz berechnet und die Summe wird nach Potenzen von
umgeordnet. Für
finden wir dann neue Koeffizienten
mit
und
. Damit ist die Darstellung (2) gezeigt.
q.e.d.
- Sei
eine offene Menge. Eine funktion
besitzt im Punkt
ein schwaches relatives Minimum, falls es ein
gibt mit der folgenden eigenschaft:
für alle
mit
.
- Sei
ein Polynom (1) mit
und
für ein
. Dann gibt es zu jedem
ein
mit
und
.
1. Durch Übergang von
zum Polynom
können wir ohne Einschränkung
annehmen. Gemäß (2) entwickeln wir
![{\displaystyle g\left(z_{0}+\xi \right)=1+b_{k}\xi ^{k}+b_{k+1}\xi ^{k+1}+...+b_{n}\xi ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/623def661ece1d9d8c54ca24924142ed50866c61)
mit
zu geeignetem
. Mittels Satz 1 aus §5 ergibt sich die eindeutige Darstellung in Polarkoordinaten
![{\displaystyle b_{k}=|b_{k}|\exp(i\vartheta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa71e90528a143002bdc791b6da210e1ee3efbcf)
mit
![{\displaystyle \vartheta \in (-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16adb4fff2661107dae7bfd459fdfb05960bd2e)
.
Ferner sei die Darstellung
bzw.
![{\displaystyle \xi ^{k}=r^{k}\exp(ik\varphi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219f72b92dc0d7846d80118cf7ba96d6f5c985a0)
mit
![{\displaystyle r>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452)
und
![{\displaystyle \varphi \in (-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe5985d246d3e5295e76ed92b2bbf41c47a4e53)
gewählt. Dann erhalten wir
![{\displaystyle g(z_{0}+\xi )=1+|b_{k}|\cdot r^{k}\exp(i(\vartheta +k\varphi ))+r^{k}\cdot h(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d5a83cc3519edb57264cf51def7862d8bdcbcd)
.
Dabei erfüllt die Funktion
![{\displaystyle h(\xi ):=\exp(ik\varphi )\cdot (b_{k+1}\xi +...+b_{n}\xi ^{n-k}):\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f2eca3a8ff90e03e3a81b969b459c0ac9956d7)
die Bedingung
.
2. Unser Ziel ist es nun, den zweiten Summanden negativ zu machen. Wir wählen
derart, dass
gilt. Anschaulich bewegt sich
mit variablem
und festgelegtem
auf dem Strahl
. Wegen
und nach Wahl eines geeigneten
mit
und
für alle
gilt die abschätzung
![{\displaystyle |g(z_{0}+\xi )|\leq 1+|b_{k}|\exp(i\pi )r^{k}+|h(\xi )|r^{k}=1-|b_{k}|r^{k}+|h(\xi )|r^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e1796b32ff7928adbd6b23043b6d7f08581d1f)
![{\displaystyle =1-(|b_{k}|-|h(\xi )|)r^{k}\leq 1-{\frac {1}{2}}|b_{k}|r^{k}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a544f43bf22bafbb5da7ec6b61362939aa4e3f2)
für alle
. Zu gegebenem
wählen wir
mit
und erhalten so einen Punkt
in der Gauß-Ebene, welcher die geforderte eigenschaft
![{\displaystyle |g(z_{*})|=|g(z_{0}+\xi )|<1{\stackrel {n.V.}{=}}|g(z_{0})|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08d5d21ff3bd69eb58ff5256b00f58cc88f0bc7)
mit
erfüllt.
q.e.d.
- Wenn
ein Polynom (1) mit
darstellt, dann folgt das asymptotische Verhalten
(3)
![{\displaystyle \lim _{R\to +\infty }\inf\{|f(z)|:z\in \mathbb {C} ,|z|=R\}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384007fa7a2ea6e91fda0c1ae18761732c5abb8a)
.
Für
finden wir die Abschätzung
![{\displaystyle |f(z)|=\left|a_{n}z^{n}\cdot \left(1+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {a_{k}}{a_{n}}}\cdot {\frac {1}{z^{n-k}}}\right)\right|\geq |a_{n}||z|^{n}\cdot \left(1-\sum _{k=0}^{n-1}\left|{\frac {a_{k}}{a_{n}}}\right|\cdot {\frac {1}{|z|^{n-k}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc26c108f0f4e9e5652ac8d2d77240b77451c9e)
.
Nun wählen wir
so, dass
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left|{\frac {a_{k}}{a_{n}}}\right|\cdot {\frac {1}{|z|^{n-k}}}=\left|{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right|\cdot {\frac {1}{|z|}}+...+\left|{\frac {a_{0}}{a_{n}}}\right|\cdot {\frac {1}{|z|^{n}}}\leq {\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557bd0b3aee8d52aa447f9e64685c09244d1cc49)
für alle
![{\displaystyle |z|\geq R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1da578b61a26b4d25de33ae2473ae95f6295cb)
ausfällt. Dann ist die Abschätzung
![{\displaystyle |f(z)|\geq {\frac {1}{2}}|a_{n}|R^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/819029051e7c81eb72498f80a7dcb2f8586154d4)
für alle
![{\displaystyle |z|\geq R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1da578b61a26b4d25de33ae2473ae95f6295cb)
und somit das asymptotische Verhalten (3) erfüllt.
q.e.d.
- Jedes nicht konstante Polynom
hat wenigstens eine komplexe Nullstelle, d. h. es gibt ein
mit
.
Wir betrachten die Hilfsfunktion
. Wegen (3) können wir
so groß wählen, dass
![{\displaystyle \inf\{\Phi (z):z\in \mathbb {C} ,|z|=R\}>\Phi (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef08cff6a3f1d9a3ec9ba2d5fa41bbdfc7b6b158)
gilt. Auf der kompakten Menge
ist die Funktion
stetig und folglich gibt es ein
mit
![{\displaystyle \Phi (z_{0})=\{\Phi (z):z\in \mathbb {C} ,|z|\leq R\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30030a621a235b873708d449f948e70c7e5a146d)
Wegen
muss
richtig sein. Wir werden
als Nullstelle erkennen: Angenommen es wäre
bzw.
erfüllt. Nach Hilfssatz 2 gibt es dann ein
mit
und
. Dieses liefert einen Widerspruch zur Minimaleigenschaft (4). Also folgt
und eine Nullstelle ist gefunden.
q.e.d.
- Jedes Polynom (1) besitzt eine Linearfaktorzerlegung der Form
![{\displaystyle f(z)=a_{n}\cdot \prod _{j=1}^{m}(z-z_{j})^{k_{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b17f4ca6082a87100cffade45493fba1572dbe2)
.
- Dabei sind
seine paarweise verschiedenen komplexen Nullstellen. Die Zahlen
geben die Vielfachheiten bzw. Ordnungen der Nullstellen
für
an. Schließlich ist die Identität
für die Vielfachheiten erfüllt.
Wegen Satz 1 besitzt
eine Nullstelle
. Nach Hilfssatz 1 entwickeln wir
an der Stelle
, indem wir
setzen:
![{\displaystyle f\left(z\right)=f(z_{0}+\xi ){\stackrel {(2)}{=}}f(z_{0})+b_{k}\xi ^{k}+...+a_{n}\xi ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb06c97572c27e8f40629265d16878b37ed3b747)
.
Dabei ist
für ein
und
erfüllt. Schließlich ergibt sich die Darstellung
![{\displaystyle f(z)=b_{k}\xi ^{k}+b_{k+1}\xi ^{k+1}+...+a_{n}\xi ^{n}=\xi ^{k}(b_{k}+b_{k+1}\xi +...+a_{n}\xi ^{n-k})=(z-z_{0})^{k}\cdot {\tilde {f}}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328e841ef4de6af6af8ffed803ff8c8e0aefc520)
.
Hierbei besitzt das Polynom
den Grad
und die Koeffizienten
für
sowie
. Das durch Ordnen nach Potenzen von
entstehende Polynom
erfüllt
und
. Wiederholte Anwendung von Satz 1 liefert die Behauptung.
- Sei
ein reelles Polynom (1) mit der komplexen Nullstelle
der Vielfachheit
. Dann ist auch
eine Nullstelle von
der Vielfachheit
.
1. Zunächst sehen wir folgendes leicht ein: Ein Polynom
besitzt in
genau dann eine Nullstelle der Vielfachheit
, wenn die abgeleiteten Polynome
der Ordnungen
dort verschwinden.
2. Ist nun
eine Nullstelle eines reellen Polynoms, so folgt
![{\displaystyle 0={\overline {f(z_{0})}}={\overline {\sum _{k=0}^{n}a_{k}z_{0}^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\overline {z_{0}}}^{k}=f({\overline {z_{0}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af69deb6b48cab8681aa30aa5575ee8f55190407)
.
Also ist dann auch
eine Nullstelle von
.
3. Ist nun
eine Nullstelle des reellen Polynoms
der Vielfachheit
, so verschwinden dort die abgeleiteten Polynome
der Ordnungen
. Da letztere reell sind, so verschwinden sie auch im Punkt
. Folglich ist
eine Nullstelle der Vielfachheit
von
.
- Jedes reelle Polynom
aus (1) vom Grad
besitzt eine Linearfaktorzerlegung der folgenden Form
(6)
![{\displaystyle f(x)=a_{n}\cdot \prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{k_{j}}\cdot \prod _{j=m+1}^{m+\mu }{\Bigl [}(x-z_{j})\cdot (x-{\overline {z_{j}}}){\Bigr ]}^{k_{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6c18c2e581c74269e3886631d2dc8f3ff8b24c)
![{\displaystyle =a_{n}\cdot \prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{k_{j}}\cdot \prod _{j=m+1}^{m+\mu }{\Bigl [}x^{2}-2x_{j}\cdot x+|z_{j}|^{2}{\Bigr ]}^{k_{j}},\quad x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a4d380ffcc4f216367dc2013f0698a86f6fab3)
- Dabei sind
– mit
– seine paarweise verschiedenen reellen Nullstellen der Vielfachheiten
für
. Weiter sind
mit
für
– mit
– seine paarweise verschiedenen Nullstellen in der oberen komplexen Halbebene der Vielfachheiten
. Schließlich gilt die Identität
(7)
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{m}k_{j}+2\cdot \sum _{j=m+1}^{m+\mu }k_{j}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e34f367392f6ad6ef7bd812ae7af4f57224a04)
- für ihre Vielfachheiten.