Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§9 Partialbruchzerlegung gebrochen rationaler Funktionen

Definition 1

Sei die gebrochen rationale Funktion

$h(z):={\frac {g(z)}{f(z)}}$ für $z\in \mathbb {C} ^{*}:=\{\zeta \in \mathbb {C} :f(\zeta )\neq 0\}$

gegeben: Hierbei tritt im Nenner das nicht konstante Polynom

$f(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k},\quad z\in \mathbb {C}$

wie in §8 mit den komplexen Koeffizienten $a_{k}\in \mathbb {C}$ für $k=0,1,\ldots ,n$ sowie $a_{n}\neq 0$ vom $Grad\,f=n\in \mathbb {N}$ auf. Im Zähler erscheint das Polynom

$g(z):=\sum _{j=0}^{N}b_{j}z^{j},\quad z\in \mathbb {C}$

mit den komplexen Koeffizienten $b_{j}\in \mathbb {C}$ für $j=0,1,\ldots ,N$. Falls $b_{N}\neq 0$ für $N>0$ gilt, erhalten wir den $Grad\,g=N\in \mathbb {N}$. Falls $g(z)\equiv b_{0}\in \mathbb {C}$ gilt, setzen wir $Grad\,g=0$. Wir sprechen von einer echt gebrochen rationalen Funktion $h$, falls $Grad\,g<Grad\,f$ erfüllt ist.

Wir fixieren nun das Nennerpolynom $f$ und zerlegen es gemäß Satz 2 aus §8 in Linearfaktoren im Komplexen. Nehmen wir dessen Nullstellen aus $\mathbb {C}$ heraus, so erhalten wir die eventuell mehrfach punktierte komplexe Ebene $\mathbb {C} ^{*}:=\mathbb {C} \setminus \{z_{1},\ldots ,z_{m}\}$. Nun betrachten wir die echt gebrochen rationalen Funktionen

$h_{k}(z):={\frac {z^{k}}{f(z)}},\quad z\in \mathbb {C} ^{*}$ für $k=0,1,\ldots ,n-1$.

Definition 2

Die Funktionen $h_{0}=h_{0}(z),\ldots ,h_{n-1}=h_{n-1}(z):\mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C}$ heißen linear unabhängig, wenn für alle $c_{0},\ldots ,c_{n-1}\in \mathbb {C}$ aus der Identität

$c_{0}\cdot h_{0}(z)+\ldots +c_{n-1}\cdot h_{n-1}(z)=0$ für alle $z\in \mathbb {C} ^{*}$

die Beziehung $c_{0}=\ldots =c_{n-1}=0$ folgt. Dabei ist $n\in \mathbb {N}$ beliebig gewählt worden.

Nun spannen die Funktionen $h_{0},\ldots ,h_{n-1}$ den $n$-dimensionalen Vektorraum

(2) $\mathbb {V} [f]:=\left\{h(z)=\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}\cdot h_{k}(z)={\frac {\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}\cdot z^{k}}{f(z)}},z\in \mathbb {C} ^{*}{\Bigl |}c_{0},\ldots ,c_{n-1}\in \mathbb {C} \right\}$

auf. Zum festen Nennerpolynom $f$ enthält die Menge $\mathbb {V} [f]$ gerade alle echt gebrochen rationalen Funktionen gemäß Definition 1.

Satz 1 (Partialbruchzerlegung)

Die echt gebrochen rationale Funktion $h$ aus Definition 1, dessen Nennerpolynom $f$ gemäß Satz 2 aus §8 in Linearfaktoren zerlegt sei, lässt sich in der Form

(3) $h(z)=\sum _{l_{1}=1}^{k_{1}}{\frac {c_{1}^{(l_{1})}}{(z-z_{1})^{l_{1}}}}+\ldots +\sum _{l_{m}=1}^{k_{m}}{\frac {c_{m}^{(l_{m})}}{(z-z_{m})^{l_{m}}}},\quad z\in \mathbb {C} ^{*}$

darstellen – mit den komplexen Koeffizienten $c_{j}^{(l_{j})}\in \mathbb {C}$ für $l_{j}\in \{1,2,\ldots ,k_{j}\}$ und $1\leq j\leq m$. Die Koeffizienten $c_{j}^{\left(l_{j}\right)}$ sind durch $h$ eindeutig bestimmt.

Beweis

Wir betrachten die $k_{1}+\ldots +k_{m}=n$ echt gebrochen rationalen Funktionen

(4) $h_{j}^{(l_{j})}(z):={\frac {1}{(z-z_{j})^{(l_{j})}}},\quad z\in \mathbb {C} ^{*}$ für $l_{j}\in \{1,2,\ldots ,k_{j}\}$ und $1\leq j\leq m$.

Die sind im Sinne von Definition 2 linear unabhängig: Seien nämlich die Zahlen $c_{j}^{(l_{j})}\in \mathbb {C}$ für $l_{j}\in \{1,2,\ldots ,k_{j}\}$ und $1\leq j\leq m$ mit der Identität

(5) $0=\sum _{l_{1}=1}^{k_{1}}{\frac {c_{1}^{(l_{1})}}{(z-z_{1})^{l_{1}}}}+\ldots +\sum _{l_{m}=1}^{k_{m}}{\frac {c_{m}^{(l_{m})}}{(z-z_{m})^{l_{m}}}},\quad z\in \mathbb {C} ^{*}$

gegeben. Dann multiplizieren wir diese Identität mit dem Faktor $\left(z-z_{j}\right)^{k_{j}}$, setzen nun $z=z_{j}$ in diese Gleichung ein und wir erhalten

(6) $0=c_{j}^{\left(k_{j}\right)}$ für $j=1,\ldots ,m$.

Insofern $k_{j}>0$ richtig ist, verfahren wir entsprechend mit dem nächst niedrigeren Koeffizienten und erhalten $c_{j}^{\left(k_{j}-1\right)}=0$. Nach endlich vielen Schritten ergibt sich

(7) $c_{j}^{\left(l_{j}\right)}$ für $l_{j}\in \{1,2,\ldots ,k_{j}\}$ und $1\leq j\leq m$.

Somit ist das Funktionensystem (4) linear unabhängig. Durch Erweitern mit den komplementären Linearfaktoren des Nennerpolynoms sehen wir ferner die Inklusion

(8) $h_{j}^{(l_{j})}(z)\in \mathbb {V} [f]$ für $l_{j}\in \{1,2,\ldots ,k_{j}\}$ und $1\leq j\leq m$

ein. Folglich liefern diese Funktionen eine Basis des $n$-dimensionalen Vektorraums $\mathbb {V} [f]$ und die Aussage des Satzes ist gezeigt.

q.e.d.

Satz 2 (Reelle Partialbruchzerlegung)

Die reelle echt gebrochen rationale Funktion $h$ aus Definition 1, dessen Nennerpolynom $f$ gemäß Satz 3 aus §8 in Linearfaktoren zerlegt sei, lässt sich für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}$ in folgender Form darstellen:

(9) $h(z)=\sum _{l_{1}=1}^{k_{1}}{\frac {a_{1}^{(l_{1})}}{(x-x_{1})^{l_{1}}}}+\ldots +\sum _{l_{m}=1}^{k_{m}}{\frac {a_{m}^{(l_{m})}}{(x-x_{m})^{l_{m}}}}$

$+\,2\sum _{l_{m+1}=1}^{k_{m+1}}{\frac {c_{m+1}^{(l_{m+1})}}{(x-z_{m+1})^{l_{m+1}}}}+\ldots +2\sum _{l_{m+\mu }=1}^{k_{m+\mu }}{\frac {c_{m+\mu }^{(l_{m+\mu })}}{(x-z_{m+\mu })^{l_{m+\mu }}}}$.

Dabei sind sowohl die reellen koeffizienten

$a_{j}^{(l_{j})}\in \mathbb {R}$ für $l_{j}\in \{1,2,\ldots ,k_{j}\}$ und $1\leq j\leq m$

als auch die komplexen koeffizienten

$c_{j}^{(l_{j})}\in \mathbb {C}$ für $l_{j}\in \{1,2,\ldots ,k_{j}\}$ und $m+1\leq j\leq m+\mu$

durch $h$ eindeutig bestimmt.

Beweis

Das Nennerpolynom $f$ besitzt gemäß Satz 3 aus §8 die paarweise verschiedenen Nullstellen $x_{1},\ldots ,x_{m};z_{m+1},\ldots ,z_{m+\mu };{\overline {z_{m+1}}},\ldots ,{\overline {z_{m+\mu }}}$ der Vielfachheiten ${\begin{matrix}k_{1},\ldots ,k_{m};k_{m+1},\ldots ,k_{m+\mu };k_{m+1},\ldots ,k_{m+\mu }\end{matrix}}$. Stellen wir nun die reelle echt gebrochen rationale Funktion $h$ mit Hilfe von Satz 1 dar, so erhalten wir zunächst Terme der Form

${\frac {c}{(x-x_{j})^{l_{j}}}}$

zu den reellen Nullstellen. Die Konstante $c\in \mathbb {C}$ muss dabei reell sein, da die Funktion $h$ reell ist. Jedem Term

${\frac {c_{+}}{(x-z_{j})^{l_{j}}}}$

zur Nullstelle in der oberen komplexen Halbebene korrespondiert ein Term

${\frac {c_{-}}{(x-{\overline {z_{j}}})^{l_{j}}}}$

zur Nullstelle in der unteren komplexen Halbebene. Damit die Summe beider Terme reell wird, müssen die komplexen Konstanten $c_{-},c_{+}\in \mathbb {C}$ die Bedingung $c_{-}={\overline {c_{+}}}$ erfüllen. Somit erhalten wir die im Satz angegebenen Summanden.

q.e.d.

Bemerkung

Für eine beliebige gebrochen rationale Funktion $H$ – mit den Polynomen $G,F$ – ist es zweckmäßig, sie zunächst gemäß

(10) $H(z)={\frac {G(z)}{F(z)}}=h(z)+{\frac {g(z)}{f(z)}}$ mit $Grad\,g<Grad\,f$

und den polynomen $f,g,h$ zu verlegen. Nach Ausführung dieses Euklidischen Algorithmus wenden wir das o. a. Verfahren auf die echt gebrochen rationale Funktion ${\frac {g}{f}}$ an. Dann können wir alle beteiligten Summanden integrieren.