Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Klassen Riemann-integrierbarer Funktionen (§3)

Definition 1

Seien die Dimensionen $m,n\in \mathbb {N}$ fest gewählt. Auf dem Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ sei eine beschränkte Funktion $f=(f_{1}(x),...,f_{m}(x)):Q\to \mathbb {R} ^{m}$ gegeben. Dann heißt $f$ über $Q$ Riemann-integrierbar oder kurz integrierbar, wenn alle Komponentenfunktionen

$f_{j}=f_{j}(x):Q\to \mathbb {R}$ für $j=1,...,m$

gemäß Definition 7 in §2 Riemann-integrierbar sind. Wir setzen dann als Riemannsches Integral

(1) $\int \limits _{Q}f(x)\,dx:={\Bigl (}\int \limits _{Q}f_{1}(x)\,dx,...,\int \limits _{Q}f_{m}(x)\,dx{\Bigr )}$.

Definition 2

Für die beschränkte Funktion $f:Q\to \mathbb {R} ^{m}$ erklären wir die Oscillation auf einer Teilmenge $Q'\subset Q$ des Quaders $Q$ durch

(2) $\operatorname {osc} \,(f,Q'):=\sup\{|f(x)-f(y)|:x,y\in Q'\}$.

Definition 3

Wir betrachten auf dem Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte Funktion $f:Q\to \mathbb {R} ^{m}$. Für eine Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q=\bigcup _{i\in {\mathfrak {N}}}Q_{i}$ gemäß Definition 2 aus §2 nennen wir

(3) $\sigma (f,{\mathcal {Z}}):=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}}\operatorname {osc} \,(f,Q_{i})\cdot |Q_{i}|$

die Schwankung von $f$ auf $Q$ bez. der Zerlegung ${\mathcal {Z}}$.

Bemerkung

Wegen der Eigenschaft

$\sigma (f,Q')=\sup\{f(x):x\in Q'\}-\inf\{f(x):x\in Q'\}$

für beschränkte reellwertige Funktionen $f:Q\to \mathbb {R}$ und beliebige Teilmengen $Q'\subset Q$ ermitteln wir – über die Definition 3 aus §2 – die folgende Identität:

(4) ${\begin{matrix}\sigma (f,{\mathcal {Z}})=\sum \limits _{i\in {\mathfrak {N}}}\sigma (f,Q_{i})\cdot |Q_{i}|\\=\sum \limits _{i\in {\mathfrak {N}}}(\sup\{f(x):x\in Q_{i}\}-\inf\{f(x):x\in Q_{i}\})\cdot |Q_{i}|\\\sum \limits _{i\in {\mathfrak {N}}}M_{i}\cdot |Q_{i}|-\sum \limits _{i\in {\mathfrak {N}}}m_{i}\cdot |Q_{i}|=S(f,{\mathcal {Z}})-s(f,{\mathcal {Z}}).\end{matrix}}$

Satz 1 (Riemannsches Integrabilitätskriterium)

Für eine beschränkte Funktion $f=(f_{1}(x),...,f_{m}(x)):Q\to \mathbb {R} ^{m}$ auf einem Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ gelten die folgenden Aussagen:

1. Wenn es eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ mit der Schwankung $\lim _{j\to \infty }\sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j})=0$ gibt, dann ist $f$ über $Q$ Riemann-integrierbar.
2. Wenn $f$ über $Q$ Riemann-integrierbar ist, dann erfüllt jede ausgezeichnete Zerlegungsfolge die Beziehung $\lim _{j\to \infty }\sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j})=0$ für die Schwankung.

Beweis

1. Alle Komponentenfunktionen erfüllen dann

$\lim _{j\to \infty }\sigma (f_{k},{\mathcal {Z}}_{j})=0$ für $k=1,...,m$.

Mit der Identität (3) folgt

$\lim _{j\to \infty }\{S(f_{k},{\mathcal {Z}}_{j})-s(f_{k},{\mathcal {Z}}_{j})\}=0$

Satz 3 in §2 liefert die Integrierbarkeit der Funktionen

$f_{k}:Q\to \mathbb {R}$ für $k=1,...,m$.

2. Für jede Komponentenfunktion $f_{k}:Q\to \mathbb {R}$ mit $k=1,...,m$ ergibt der Satz 1 aus §2 – kombiniert mit obiger Identität (3) – die Beziehung

$\lim _{j\to \infty }\sigma (f_{k},{\mathcal {Z}}_{j})=0$ für $k=1,...,m$.

Beachten wir noch die Abschätzung

$\sigma (f,{\mathcal {Z}})\leq \sigma (f_{1},{\mathcal {Z}})+...+\sigma (f_{m},{\mathcal {Z}})$,

so folgt $\lim _{j\to \infty }\sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j})=0$.

q.e.d.

Satz 2

Eine stetige Funktion $f:Q\to \mathbb {C}$ ist über $Q$ Riemann-integrierbar.

Beweis

Nach Satz 7 aus §1 in Kapitel II ist die Funktion $f$ gleichmäßig stetig auf das kompakten Menge $Q$. Also existiert zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta =\delta (\varepsilon )>0$ derart, dass für alle $x,y\in Q$ mit $|x-y|<\delta$ stets $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ folgt. Für eine beliebige Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q=\bigcup _{i\in {\mathfrak {N}}}Q_{i}$ mit dem Feinheitsmaß $\|{\mathcal {Z}}\|<\delta$ folgt die Abschätzung

$\sigma (f,{\mathcal {Z}})=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}}\sigma (f,Q_{i})\cdot |Q_{i}|\leq \sum _{i\in {\mathfrak {N}}}\varepsilon \cdot |Q_{i}|=\varepsilon \cdot |Q|.$

Somit gibt es eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ mit der Schwankung $\lim _{j\to \infty }\sigma ({\mathcal {Z}}_{j},f)=0$. Nach Satz 1 ist $f$ über $Q$ Riemann-integrierbar.

q.e.d.

Satz 3

Auf dem Intervall $I:=[a,b]$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ und $a<b$ sei die (schwach) monotone Funktion $f:I\to \mathbb {R}$ gegeben. Dann ist $f$ über $I$ Riemann-integrierbar.

Beweis

Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass $f$ auf $I$ monoton nicht fallend sei. Dann betrachten wir eine beliebige Zerlegung

${\mathcal {Z}}:\quad a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N-1}<x_{N}=b$

des Intervalls $I$ in die $N\in \mathbb {N}$ Teilintervalle $I_{k}:=[x_{k-1},x_{k}]$ mit $I=\bigcup _{k=1}^{N}I_{k}$ und dem Feinheitsmaß $\|{\mathcal {Z}}\|=\max\{(x_{k}-x_{k-1}):k=1,...,N\}$. Wir berechnen die Schwankung von $f$ auf $I$ bezüglich ${\mathcal {Z}}$ wie folgt:

(5) ${\begin{matrix}\sigma (f,{\mathcal {Z}})=\sum \limits _{k=1}^{N}\operatorname {osc} (f,I_{k})\cdot |I_{k}|=\sum \limits _{k=1}^{N}[f(x_{k})-f(x_{k-1})]\cdot (x_{k}-x_{k-1})\\\leq \|{\mathcal {Z}}\|\cdot \sum \limits _{k=1}^{N}[f(x_{k})-f(x_{k-1})]=\|{\mathcal {Z}}\|\cdot [f(b)-f(a)].\end{matrix}}$

Somit erhalten wir für eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ des Intervalls $I$ die Beziehung $\lim _{j\to \infty }\sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j})=0$. Das Riemannsche Integrabilitätskriterium liefert die Integrierbarkeit von $f$.

q.e.d.

Definition 4

Sei die Menge $E\subset \subset {\stackrel {\circ }{Q}}$ kompakt enthalten im Innern eines Quaders $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$, das heißt der topologische Abschluss ${\overline {E}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ ist kompakt und erfüllt die Inklusion ${\overline {E}}\subset {\stackrel {\circ }{Q}}$. Dann erklären wir die charakteristische Funktion der Menge $E$ in $Q$ durch

(6) $\chi _{E}(x)=1$ falls $x\in E$ und $\chi _{E}(x)=0$ falls $x\in Q\setminus E$.

Satz 4

Der topologische Rand $\partial E$ einer Teilmenge $E\subset \subset {\stackrel {\circ }{Q}}$ stelle eine Jordansche Nullmenge im $\mathbb {R} ^{n}$ dar. Dann ist die charakteristische Funktion $\chi _{E}$ Riemann-integrierbar über $Q$.

Beweis

Für eine beliebige Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q=\bigcup _{i\in {\mathfrak {N}}}Q_{i}$ schätzen wir die Schwankung der charakteristischen Funktion wie folgt ab:

(7) $\sigma (\chi _{E},{\mathcal {Z}})=\sum _{i\in {\mathfrak {N}}}\operatorname {osc} (\chi _{E},Q_{i})\cdot |Q_{i}|\leq \sum _{i\in {\mathfrak {N}}:Q_{i}\cap \partial E\neq \emptyset }|Q_{i}|.$

Zu jedem vorgegebenen $\varepsilon >0$ können wir nun endlich viele achsenparallele Teilquader von $Q$ finden, welche vereinigt $\partial E$ überdecken und deren Gesamtinhalt diese Größe nicht übersteigt. Hierzu konstruieren wir eine Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q$, so dass wir eine äquivalente Überdeckung mit Teilquadern aus dieser Zerlegung erreichen. Mittels (7) erhalten wir so eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge ${\mathcal {Z}}_{k},k=1,2,...$ von $Q$ mit der Schwankung $\sigma (\chi _{E},{\mathcal {Z}}_{k})\to 0\ (k\to \infty )$. Nach dem Riemannschen Integrabilitätskriterium ist die charakteristische Funktion $\chi _{E}$ dann integrierbar.

q.e.d.

Jetzt wollen wir wichtige Aussagen über die Klasse der beschränkten Riemann-integrierbaren Funktionen herleiten. Diese Klasse bildet einen Vektorraum und ist unter Produkt- und Reziprokenbildung abgeschlossen.

Satz 5 (Riemann-integrierbare Funktionen)

Gegeben seien die beschränkten, über den Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ integrierbaren Funktionen $f:Q\to \mathbb {C}$ und $g:Q\to \mathbb {C}$ sowie die Konstante $c\in \mathbb {C}$. Dann sind auch die folgenden Funktionen

$c\cdot f(x),\ x\in Q\quad f(x)+g(x),\ x\in Q\quad f(x)\cdot g(x),\ x\in Q\quad |f(x)|,\ x\in Q$

über $Q$ integrierbar. Wenn es zusätzlich ein $P>0$ gibt, so dass die Bedingung

$|f(x)|\geq P$ für alle $x\in Q$

erfüllt ist, dann ist auch die Funktion ${\frac {1}{f(x)}},\ x\in Q$ integrierbar.

Beweis

1. Seien die Funktionen $f$ und $g$ über $Q$ integrierbar mit

$K:=\sup\{|f(x)|+|g(x)|:x\in Q\}<+\infty$.

Dann betrachten wir zunächst $h(x):=f(x)\cdot g(x),\ x\in Q$. Für eine Zerlegung

${\mathcal {Z}}:\quad Q=\bigcup _{i\in {\mathfrak {N}}}Q_{i}$

haben wir

$\operatorname {osc} (h,Q_{i}):=\sup\{|h(x)-h(y)|:x,y\in Q_{i}\}$.

Ferner schätzen wir für $x,y\in Q_{i}$ wie folgt ab:

(8) ${\begin{matrix}|h(x)-h(y)|=|f(x)[g(x)-g(y)]+g(y)[f(x)-f(y)]|\\\\\leq |f(x)|\cdot |g(x)-g(y)|+|g(y)|\cdot |f(x)-f(y)|\\\\\leq K\cdot [|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|].\end{matrix}}$

Folglich ist die Ungleichung

$\operatorname {osc} (h,Q_{i})\leq K[\operatorname {osc} (f,Q_{i})+\operatorname {osc} (g,Q_{i})]$ für alle $i\in {\mathfrak {N}}$

richtig und wir erhalten

(9) $\sigma (h,{\mathcal {Z}})\leq K[\sigma (f,{\mathcal {Z}})+\sigma (g,{\mathcal {Z}})]$ für jede Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q$.

Jetzt betrachten wir eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}{j\in \mathbb {N} }$. Da $f$ und $g$ integrierbar sind, liefert Satz 1 die Beziehungen $\lim _{j\to \infty }\sigma (f,{\mathcal {Z}}_{j})=0$ und $\lim _{j\to \infty }\sigma (g,{\mathcal {Z}}_{j})=0$. Die Abschätzung (9) ergibt $\lim _{j\to \infty }\sigma (h,{\mathcal {Z}}_{j})=0$ und nach Satz 1 ist $h$ über $Q$ integrierbar.

2. Die Integrabilität der Linearkombination integrierbarer Funktionen zeigt man entsprechend. Schließlich entnehmen wir die Integrabilität der Funktion $|f(x)|,\ x\in Q$ der folgenden einfachen Abschätzung

$\sigma (|f|,{\mathcal {Z}})\leq \sigma (f,{\mathcal {Z}})$ für jede Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q$.

3. Für die über $Q$ integrierbare Funktion $f$ gebe es eine Zahl $P>0$ mit der folgenden Eigenschaft:

$|f(x)|\geq P$ für alle $x\in Q$.

Dann betrachten wir die reziproke Funktion ${\frac {1}{f(x)}}:Q\to \mathbb {C}$. Wir ermitteln für alle $x,y\in Q_{i}$ die Abschätzung

$\left|{\frac {1}{f(x)}}-{\frac {1}{f(y)}}\right|=\left|{\frac {f(y)-f(x)}{f(x)\cdot f(y)}}\right|\leq {\frac {1}{P^{2}}}|f(y)-f(x)|$.

Es folgt $\operatorname {osc} \left({\frac {1}{f}},Q_{i}\right)\leq {\frac {1}{P^{2}}}\operatorname {osc} (f,Q_{i})$ und somit

$\sigma \left({\frac {1}{f}},{\mathcal {Z}}\right)\leq {\frac {1}{P^{2}}}\sigma (f,{\mathcal {Z}})$ für jede Zerlegung ${\mathcal {Z}}$ von $Q$.

Wie im Teil 1.) ergibt sich die Integrierbarkeit von ${\frac {1}{f}}$ über $Q$.

q.e.d.

Satz 6 (Linearitätsregel)

Gegeben seien die beschränkten, über den Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ integrierbaren, komplexwertigen Funktionen $f$ und $g$ sowie die Konstanten $c,d\in \mathbb {C}$. Dann gilt die Identität

(10) $\int \limits _{Q}{\Bigl (}c\cdot f(x)+d\cdot g(x){\Bigr )}\,dx=c\cdot \int \limits _{Q}f(x)\,dx+d\cdot \int \limits _{Q}g(x)\,dx$.

Somit ist das Riemannsche Integral ein lineares Funktional auf dem $\mathbb {C}$-linearen Raum der beschränkten, integrierbaren Funktionen über $Q$.

Beweis

Die Integrierbarkeit der Funktion $c\cdot f(x)+d\cdot g(x),\ x\in Q$ ist nach Satz 5 klar. Seien $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von $Q$ und $\xi _{i}^{(j)}\in Q_{i}^{(j)}$ mit $i\in {\mathfrak {N}}_{j}$ beliebig gewählte Zwischenpunkte für $j=1,2,...$. Dann liefert Satz 4 aus §2 die behauptete Identität wie folgt:

(11) ${\begin{matrix}\int \limits _{Q}{\Bigl (}c\cdot f(x)+d\cdot g(x){\Bigr )}\,dx=\lim \limits _{j\to \infty }\sum \limits _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}\left(c\cdot f(\xi _{i}^{(j)})+d\cdot g(\xi _{i}^{(j)})\right)\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|\\=\lim \limits _{j\to \infty }{\Bigl (}c\cdot \sum \limits _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}f(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|+d\cdot \sum \limits _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}g(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|{\Bigr )}\\=c\cdot \int \limits _{Q}f(x)\,dx+d\cdot \int \limits _{Q}g(x)\,dx.\end{matrix}}$

q.e.d.

Satz 7

Für jede beschränkte, über den Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ integrierbare Funktion $f:Q\to \mathbb {C}$ gilt

(12) $\left|\int \limits _{Q}f(x)\,dx\right|\leq \int \limits _{Q}|f(x)|\,dx$.

Beweis

Wir approximieren gemäß Satz 4 aus §2 wieder durch Riemannsche Zwischensummen. Seien $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von $Q$ und $\xi _{i}^{(j)}\in Q_{i}^{(j)}$ mit $i\in {\mathfrak {N}}_{j}$ beliebig gewählte Zwischenpunkte für $j=1,2,...$. Dann liefert die Dreiecksungleichung die behauptete Ungleichung

$\left|\int \limits _{Q}f(x)\,dx\right|=\lim _{j\to \infty }\left|\sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}f(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|\right|\leq \lim _{j\to \infty }\sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}\left|f(\xi _{i}^{(j)})\right|\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|=\int \limits _{Q}|f(x)|\,dx$,

denn auch $|f|$ ist nach Satz 5 integrierbar.

q.e.d.

Satz 8 (Mittelwertsatz der Integralrechnung)

Gegeben seien die beschränkten, über den Quader $Q\subset \mathbb {R} ^{n}$ Riemann-integrierbaren, reellwertigen Funktionen $f,g:Q\to \mathbb {R}$ und es gelte $g(x)\geq 0$ für alle $x\in Q$. Dann gibt es ein

$\mu \in [\inf\{f(x):x\in Q\},\sup\{f(x):x\in Q\}]$

derart, dass die Identität

(13) $\int \limits _{Q}^{}f(x)\cdot g(x)\,dx=\mu \cdot \int \limits _{Q}g(x)\,dx$

erfüllt ist. Wenn außerdem $f$ stetig auf $Q$ ist, dann gibt es einen Punkt $\xi \in Q$ mit der Eigenschaft $\mu =f(\xi )$.

Beweis

1.) Wir setzen $m:=\inf\{f(x):x\in Q\}$ und $M:=\sup\{f(x):x\in Q\}$. Seien $\{{\mathcal {Z}}_{j}\}_{j\in \mathbb {N} }$ eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von $Q=\bigcup _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}Q_{i}^{(j)}$ und $\xi _{i}^{(j)}\in Q_{i}^{(j)}$ mit $i\in {\mathfrak {N}}_{j}$ beliebig gewählte Zwischenpunkte für $j=1,2,...$. Wegen $m\leq f(\xi _{i}^{(j)})\leq M$ für alle $i\in {\mathfrak {N}}_{j}$ und $j\in \mathbb {N}$ folgt die Abschätzung

(14) $m\cdot g(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|\leq f(\xi _{i}^{(j)})\cdot g(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|\leq M\cdot g(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|$.

Die Summation über $i$ liefert

(15) $m\cdot \sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}g(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|\leq \sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}f(\xi _{i}^{(j)})\cdot g(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|\leq M\cdot \sum _{i\in {\mathfrak {N}}_{j}}g(\xi _{i}^{(j)})\cdot \left|Q_{i}^{(j)}\right|$.

Mittels Satz 4 aus §2 erhalten wir durch Grenzübergang $j\to \infty$ die Identität

(16) $m\cdot \int \limits _{Q}g(x)\,dx\leq \int \limits _{Q}f(x)\cdot g(x)\,dx\leq M\cdot \int \limits _{Q}g(x)\,dx$.

Falls $\int \limits _{Q}g(x)\,dx=0$ gilt, so ist wegen der Abschätzung (16) die Identität (13) mit $\mu :={\frac {1}{2}}(m+M)$ erfüllt.
Sei nun $\int \limits _{Q}g(x)\,dx>0$ gültig. Aus (16) folgt dann die erste Behauptung mit

(17) $\mu :={\frac {\int \limits _{Q}f(x)\cdot g(x)\,dx}{\int \limits _{Q}g(x)\,dx}}\in [m,M]$.

2.) Die zweite Behauptung weisen wir wie folgt nach: Als stetige Funktion auf einer kompakten Menge $Q$ nimmt $f$ sowohl ihr Minimum $m\in \mathbb {R}$ als auch ihr Maximum $M\in \mathbb {R}$ an, d. h. es gibt Punkte $x_{\min }\in Q$ und $x_{\max }\in Q$ mit $f(x_{\min })=m$ und $f(x_{\max })=M$. Wir betrachten nun auf der in $Q$ gelegenen Verbindungsstrecke die Funktion $\Phi (t):=f(x_{\min }+t(x_{\max }-x_{\min }))$ für $t\in [0,1]$ mit $\Phi (0)=m$ und $\Phi (1)=M$. Nach dem Zwischenwertsatz existiert ein $\tau \in [0,1]$ mit $\Phi (\tau )=\mu \in [m,M]$. Setzen wir $\xi :=x_{\min }+\tau (x_{\max }-x_{\min })\in Q$, so folgt $f(\xi )=\Phi (\tau )=\mu$.

q.e.d.

Definition 5

Auf dem Intervall $I=[a,b]$ mit den Grenzen $a,b\in \mathbb {R}$ und $a<b$ sowie der Bilddimension $m\in \mathbb {N}$ sei die Funktion $f:I\to \mathbb {R} ^{m}$ stückweise stetig im folgenden Sinne: Es gibt eine Zerlegung des Intervalls

$a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N-1}<x_{N}=b$

in $N\in \mathbb {N}$ offene Teilintervalle

$I_{k}:=(x_{k-1},x_{k}),\quad k=1,2,...,N$

derart, dass die Funktion $f:I_{k}\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(I_{k},\mathbb {R} ^{m})$ auf das abgeschlossene Intervall ${\overline {I_{k}}}$ für jedes $k\in \{1,...,N\}$ stetig fortsetzbar ist.

Satz 9

Wenn $f:I\to \mathbb {R} ^{m}$ stückweise stetig ist, dann ist $f$ über $I$ integrierbar.

Beweis

Der Satz wird mit dem Riemannschen Integrabilitätskriterium gezeigt.

Satz 10 (Allgemeiner Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung)

Auf dem Intervall $I=[a,b]$ mit den Grenzen $a,b\in \mathbb {R}$ und $a<b$ besitze die stetige Funktion $f=(f_{1},...,f_{m}):I\to \mathbb {R} ^{m}\in C^{0}(I,\mathbb {R} ^{m})$ eine stückweise stetige Ableitung $f'(x),\ x\in I\setminus \{x_{0},...,x_{N}\}$ gemäß der Definition 5. Dann gilt die Leibnizsche Identität

(18) $\int \limits _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$.

Beweis

Dieser wird analog zum Hilfssatz 1 aus §5 in Kapitel II für jede Komponentenfunktion $f_{k}$ durchgeführt.

q.e.d.

Es seien $T\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Quader der Dimension $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq 2$ und $f:T\to \mathbb {R}$ eine beschränkte, Riemann-integrierbare Funktion. Wir werden jetzt das $n$-dimensionale Integral

(19) $\int \limits _{T}f(z)\,dz=\int \limits _{T}f(z_{1},z_{2},...,z_{n})\,dz_{1}\,dz_{2}\,...\,dz_{n}$

auf niederdimensionale Integrale zurückführen. Zu diesem Zweck denken wir uns die Indizes $(1,2,...,n)$ aufgeteilt in die Mengen $(r_{1},...,r_{p})$ und $(s_{1},...,s_{q})$ mit $p+q=n$ und wir setzen

$z_{r_{i}}=:x_{i}\ (i=1,2,...,p)$ sowie $z_{s_{j}}=:x_{j}\ (j=1,2,...,q)$.

Somit erhalten wir die Funktion

$f(z)=f(x,y)=f(x_{1},...,x_{p},y_{1},...,y_{q}),\ z:=(x_{1},...,x_{p},y_{1},...,y_{q})$.

Wir betrachten nun Quader

$Q:=\{x\in \mathbb {R} ^{p}:a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i},1\leq i\leq p\}$

und

$R:=\{y\in \mathbb {R} ^{q}:c_{j}\leq y_{j}\leq d_{j},1\leq j\leq q\}$

sowie den Produktquader

$T=Q\times R=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{n}:x\in Q,y\in R\}\subset \mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}=\mathbb {R} ^{n}$.

Wir gehen aus von den Zerlegungen von $Q$ in die Teilquader $Q_{k}$ mit ${\mathcal {Z}}_{Q}:Q=\bigcup _{k\in {\mathfrak {N}}}Q_{k}$ und von $R$ in die Teilquader $R_{l}$ mit ${\mathcal {Z}}_{R}:R=\bigcup _{l\in {\mathfrak {N}}^{*}}R_{l}$ gemäß Definition 2 aus §2. Diesen Zerlegungen entspricht eine Produktzerlegung von $T$ in die Teilquader $T_{kl}:=Q_{k}\times R_{l},\ k\in {\mathfrak {N}},\ l\in {\mathfrak {N}}^{*}$, so dass die Darstellung ${\mathcal {Z}}_{T}:T=\bigcup _{k\in {\mathfrak {N}},l\in {\mathfrak {N}}^{*}}T_{kl}$ erfüllt ist.

Satz 11 (Iterierte Integration)

Wenn die Funktion $f:Q\times R\to \mathbb {R}$ beschränkt und Riemann-integrierbar ist, dann sind die Funktionen

$\varphi (x):=\int \limits _{\overline {\ R}}f(x,y)\,dy,\quad x\in Q$ und $\Phi (x):=\int \limits _{R}^{\underline {\ \ \ }}f(x,y)\,dy,\quad x\in Q$

Riemann-integrierbar auf $Q$ und es gilt die Identität

$\int \limits _{Q\times R}f(x,y)\,dx\,dy=\int \limits _{Q}\varphi (x)\,dx=\int \limits _{Q}\Phi (x)\,dx$.

Beweis

Wegen der Beschränktheit von $f:Q\times R\to \mathbb {R}$ existieren das untere Integral $\varphi (x)$ und das obere Integral $\Phi (x)$ von $f(x,.):R\to \mathbb {R}$ für jedes $x\in Q$. Seien nun ${\mathcal {Z}}_{Q}$ eine Zerlegung von $Q$ mit beliebigen Zwischenpunkten $\xi _{k}\in Q_{k}$ und ${\mathcal {Z}}_{R}$ eine Zerlegung von $R$. Es beschreibe ${\mathcal {Z}}_{T}$ eine Zerlegung von $T$ in die Teilquader $T_{kl}:=Q_{k}\times R_{l}$ wie oben. Wir erklären die folgenden Größen

(20) $m_{kl}:=\inf\{f(x,y):x\in Q_{k},y\in R_{l}\},\ M_{kl}:=\sup\{f(x,y):x\in Q_{k},y\in R_{l}\}$.

Dann folgt für jedes $k\in {\mathfrak {N}}$ die Ungleichungen

(21) $\sum _{l\in {\mathfrak {N}}^{*}}m_{kl}\cdot |R_{l}|\leq \sum _{l\in {\mathfrak {N}}^{*}}\inf\{f(\xi _{k},y):y\in R_{l}\}\cdot |R_{l}|\leq \int \limits _{\overline {R\ }}f(\xi _{k},y)\,dy=\varphi (\xi _{k})$

und

(22) $\sum _{l\in {\mathfrak {N}}^{*}}M_{kl}\cdot |R_{l}|\geq \sum _{l\in {\mathfrak {N}}^{*}}\sup\{f(\xi _{k},y):y\in R_{l}\}\cdot |R_{l}|\geq \int \limits _{R}^{\underline {\ \ \ }}f(\xi _{k},y)\,dy=\Phi (\xi _{k})$.

Beachten wir Satz 2 aus §2, so ergibt sich für alle $k\in {\mathfrak {N}}$ die Abschätzung

(23) $\sum _{l\in {\mathfrak {N}}^{*}}m_{kl}\cdot |R_{l}|\leq \varphi (\xi _{k})\leq \Phi (\xi _{k})\leq \sum _{l\in {\mathfrak {N}}^{*}}M_{kl}\cdot |R_{l}|$.

Multiplikation mit $|Q_{k}|$ sowie Summation über $k\in {\mathfrak {N}}$ liefert

(24) ${\begin{matrix}\sum _{k\in {\mathfrak {N}},l\in {\mathfrak {N}}^{*}}m_{kl}\cdot |T_{kl}|=\sum _{k\in {\mathfrak {N}},l\in {\mathfrak {N}}^{*}}m_{kl}\cdot |Q_{k}|\cdot |R_{l}|\leq \sum _{k\in {\mathfrak {N}}}\varphi (\xi _{k})\cdot |Q_{k}|\\\\\leq \sum _{k\in {\mathfrak {N}}}\Phi (\xi _{k})\cdot |Q_{k}|\leq \sum _{k\in {\mathfrak {N}},l\in {\mathfrak {N}}^{*}}M_{kl}\cdot |Q_{k}|\cdot |R_{l}|=\sum _{k\in {\mathfrak {N}},l\in {\mathfrak {N}}^{*}}M_{kl}\cdot |T_{kl}|.\end{matrix}}$

Jetzt seien $\left\{{\mathcal {Z}}_{Q}^{(j)}\right\}_{j\in \mathbb {N} }$ und $\left\{{\mathcal {Z}}_{R}^{(j)}\right\}_{j\in \mathbb {N} }$ ausgezeichnete Zerlegungsfolgen der Quader $Q$ bzw. $R$. Dann ist auch $\left\{{\mathcal {Z}}_{T}^{(j)}\right\}_{j\in \mathbb {N} }$ eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge von $T=Q\times R$. Da nach Voraussetzung $f:T\to \mathbb {R}$ integrierbar ist, erhalten wir aus der Ungleichung (24) durch Grenzübergang

(25) ${\begin{matrix}\int \limits _{T}f(z)\,dz=\lim _{j\to \infty }\sum _{k\in {\mathfrak {N}}_{j},l\in {\mathfrak {N}}_{j}^{*}}m_{kl}^{(j)}\cdot \left|T_{kl}^{(j)}\right|\leq \lim _{j\to \infty }\sum _{k\in {\mathfrak {N}}_{j}}\varphi (\xi _{k}^{(j)})\cdot \left|Q_{k}^{(j)}\right|\\\\\leq \lim _{j\to \infty }\sum _{k\in {\mathfrak {N}}_{j}}\Phi (\xi _{k}^{(j)})\cdot \left|Q_{k}^{(j)}\right|\leq \sum _{k\in {\mathfrak {N}}_{j},l\in {\mathfrak {N}}_{j}^{*}}M_{kl}^{(j)}\cdot \left|T_{kl}^{(j)}\right|=\int \limits _{T}f(z)\,dz.\end{matrix}}$

Also sind wegen Satz 4 aus §2 die Funktionen $\varphi$ und $\Phi$ auf $Q$ integrierbar und es folgt die oben angegebene Identität.

q.e.d.

Im allgemeinen müssen die Riemannschen Integrale über die eingeschränkten Funktionen $f(x,.):R\to \mathbb {R}$ nicht für jedes $x\in Q$ existieren.

Satz 12 (Iterierte Integration stetiger Funktionen)

Sei die Funktion $f:T\to \mathbb {R}$ auf $T=Q\times R$ stetig. Dann existieren die Riemann-Integrale $\varphi (x)$ und $\Phi (x)$ von $f(x,.):R\to \mathbb {R}$ für jedes $x\in Q$ und es gilt die Identität der iterierten Integration

(26) $\int \limits _{T}f(x,y)\,dx\,dy=\int \limits _{R}\left[\int \limits _{Q}f(x,y)\,dx\right]\,dy=\int \limits _{Q}\left[\int \limits _{R}f(x,y)\,dy\right]\,dx$.

Bemerkung

In §6 werden wir stetige Funktionen im $\mathbb {R} ^{n}$ integrieren, welche auf dem Komplement einer kompakten Menge verschwinden. Diese nennt man Testfunktionen, welche einer Iterierten Integration zugänglich sind. So könnte man auch induktiv über die Raumdimension ein Integral für diese Funktionenklasse definieren.