Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Differentialgleichungen höherer Ordnung (§8)

Wir werden nun die explizite Differentialgleichung $m$-ter Ordnung $(m\in \mathbb {N} )$

(1) $y^{(m)}(x)=f\left(x,y(x),y'(x),\ldots ,y^{(m-1)}(x)\right)$

auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurückführen.
Sei also $y(x)$ eine Lösung von (1). Dann erhalten wir die Funktionen

$y_{1}(x):=y(x),y_{2}(x):=y'(x),y_{3}(x):=y''(x),\ldots ,y_{m}(x):=y^{(m-1)}(x)$

und wir erhalten folgendes Differentialgleichungssystem

(2) ${\begin{matrix}y_{1}'(x)=y_{2}(x)&&\\y_{2}'(x)=y_{3}(x)&&\\\vdots &&\\y_{m}'(x)=y^{(m)}(x)&=&f(x,y_{1},\ldots ,y_{m}).\end{matrix}}$

Haben wir nun umgekehrt eine Lösung des Systems (2), so erhalten wir mit der Funktion $y(x):=y_{1}(x)$ eine Lösung von (1) wie folgt:

$y_{2}(x)=y'(x),y_{3}(x)=y_{2}'(x)=y''(x),\ldots ,y_{m}(x):=y^{(m-1)}(x),$

$y^{(m)}(x)=f\left(x,y(x),y'(x),\ldots ,y^{(m-1)}(x)\right)$.

Dem Anfangswertproblem für das System (2) mit den Anfangswerten

$y_{i}(\xi )=\eta _{i}\in \mathbb {R}$ für $i=1,\ldots ,m$

entspricht das folgende Anfangswertproblem für die Differentialgleichung $m$-ter Ordnung

(3) $y^{(m)}(x)=f\left(x,y(x),y'(x),\ldots ,y^{(m-1)}(x)\right),y^{(i-1)}(\xi )=\eta _{i}$ für $i=1,\ldots ,m$.

Satz 1 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen höherer Ordnung)

Voraussetzungen: Die Funktion $f=f(x,y_{1},\ldots ,y_{m}):R\to \mathbb {R}$ ist auf dem Rechtflach

$R:=\left\{(x,y_{1},\ldots ,y_{m})\in ^{1+m}:|x-\xi |\leq a,|y_{i}-\eta _{i}|\leq b_{i}\ f{\ddot {u}}r\ i=1,\ldots ,m\right\}$

stetig und erfüllt $|f(x,y)|\leq M$ für alle $(x,y)\in R$. Dabei sind $\xi \in \mathbb {R} ,\eta =(\eta _{1},\ldots ,\eta _{m})^{*}\in \mathbb {R} ^{m}$und $a,b_{1},\ldots ,b_{m}\in (0,+\infty )$ sowie $M\in (0,+\infty )$ gewählt worden. Weiter erklären wir die Größen

$M^{*}:=\max\{M,b_{2}+|\eta _{2}|,\ldots ,b_{m}+|\eta _{m}|\}$ und $h:=\min \left\{a,{\frac {b_{1}}{M^{*}}},\ldots ,{\frac {b_{m}}{M^{*}}}\right\}$.

Behauptung: Dann gibt es eine Funktion $y=y(x)\in C^{m}((\xi -h,\xi +h))$ mit der Eigenschaft

$\left(x,y(x),y'(x),\ldots ,y^{(m-1)}(x)\right)\in R$ für alle $x\in (\xi -h,\xi +h)$,

welche das Anfangswertproblem

(4) ${\begin{matrix}y^{(m)}(x)=f\left(x,y(x),y'(x),\ldots ,y^{(m-1)}(x)\right),\quad x\in (\xi -h,\xi +h)\\y^{(i-1)}(\xi )=\eta _{i},\quad i=1,\ldots ,m\end{matrix}}$

für die Differentialgleichung $m$-ter Ordnung zu den Anfangswerten $\eta _{1},\ldots ,\eta _{m}$ löst.

Zusatz: Genügt zusätzlich die rechte Seite $f$ der Lipschitzbedingung

(5) ${\begin{matrix}|f(x,{\tilde {y}}_{1},\ldots ,{\tilde {y}}_{m})-f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})|\leq L\sum _{k=1}^{m}|{\tilde {y}}_{k}-y_{k}|\\f{\ddot {u}}r\ alle\ Punkte(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),(x,{\tilde {y}}_{1},\ldots ,{\tilde {y}}_{m})\in R\end{matrix}}$

mit einer Lipschitzkonstante $L\in (0,+\infty )$, so ist die Lösung des Anfangswertproblems (4) eindeutig bestimmt.

Beweis

Wir betrachten das dem AWP (4) zugehörige System

$y_{i}'(x)=g_{i}(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),\quad y_{i}(\xi )=\eta _{i}$ für $i=1,\ldots ,m$

mit den rechten Seiten $g_{i}(\ldots ):=y_{i+1}$ für $i=1,\ldots ,m-1$ und $g_{m}:=f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})$. Die Funktionen $g_{i}$ sind in $R$ stetig und es gilt auf $R$ die Ungleichung

$|g_{i}|\leq \max\{b_{2}+|\eta _{2}|,\ldots ,b_{m}+|\eta _{m}|,M\}=M^{*}$ für $i=1,\ldots ,m$.

Somit liefert der Peanosche Existenzsatz eine Lösung des Systems auf dem Intervall $(\xi -h,\xi +h)$. Mit den obigen Vorbetrachtungen erhalten wir dann eine Lösung des AWP (4). Erfüllt nun $f$ zusätzlich die Lipschitzbedingung (5), so folgt

$|g_{i}(x,{\tilde {y}}_{1},\ldots ,{\tilde {y}}_{m})-g_{i}(x,y_{1},\ldots ,y_{m})|\leq (L+1)\sum _{k=1}^{m}|{\tilde {y}}_{k}-y_{k}|$

für alle $(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),(x,{\tilde {y}}_{1},\ldots ,{\tilde {y}}_{m})\in R$ und $i=1,\ldots ,m$. Nach dem Eindeutigkeitssatz für Systeme erhalten wir dann auch Eindeutigkeit für das Anfangswertproblem höherer Ordnung.

q.e.d.

Reduktion der Ordnung bei Differentialgleichungen $F\left(y,{\frac {dy}{dx}},\ldots ,{\frac {d^{m}y}{dx^{m}}}\right)=0$

Ist $y'(x)\neq 0$ erfüllt, so können wir gemäß $x=x(y)$ auflösen. Wir erhalten dann

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x(y)}=\left.y'\right|_{x(y)}=p(y)\Rightarrow {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {dp}{dy}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {dp}{dy}}p\Rightarrow \ldots$

$\Rightarrow {\frac {d^{m}y}{dx^{m}}}=\Pi \left(p,{\frac {dp}{dy}},\ldots ,{\frac {d^{m-1}p}{dy^{m-1}}}\right)$ mit einem gewissen Polynom $\Pi$

$\Rightarrow 0={\tilde {F}}\left(y,p(y),\ldots ,{\frac {d^{m-1}p}{dy^{m-1}}}\right)$.

In dieser Gleichung ist die Ordnung um eins reduziert. Haben wir $p=p(y)$ ermittelt, dann lösen wir ${\frac {dy}{dx}}=p(y)$ durch Trennung der Variablen. Man nennt diese Differentialgleichungen auch autonom, da sie die Variable $x$ nicht explizit enthalten.