Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Eindeutigkeit und sukzessive Approximation (§5)

Voraussetzung (b):

Seien die Zahl $\xi \in \mathbb {R}$ und der Vektor $\eta =(\eta _{1},\ldots ,\eta _{m})\in \mathbb {R} ^{m}$ mit $m\in \mathbb {N}$ vorgegeben. Zu den festen positiven Konstanten $a,b_{1},\ldots ,b_{m}\in (0,+\infty )$ betrachten wir wiederum das Rechteck

$R:=\{(x,y)=(x,y_{1},\ldots ,y_{m})\in \mathbb {R} ^{1+m}:|x-\xi |\leq a,|y_{i}-\eta _{i}|\leq b_{i},i=1,\ldots ,m\}$.

Hierauf sind die beschränkten, stetigen Funktionen

$f_{i}=f_{i}(x,y_{1},\ldots ,y_{m}):R\to \mathbb {R} \in C^{0}(R)$ mit $|f_{i}|\leq M$ in $R$

für $i=1,\ldots ,m$ mit der Schranke $M>0$ gegeben. Weiter gebe es eine Lipschitz-Konstante $L>0$, so dass die Ungleichung

(1) ${\begin{matrix}|f_{i}(x,y_{1},\ldots ,y_{m})-f_{i}(x,{\overline {y}}_{1},\ldots ,{\overline {y}}_{m})|\leq L\cdot \sum \limits _{k=1}^{m}|y_{k}-{\overline {y}}_{k}|\\\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } (x,y_{1},\ldots ,y_{m}),(x,{\overline {y}}_{1},\ldots ,{\overline {y}}_{m})\in R{\text{ und }}i=1,\ldots ,m\end{matrix}}$

erfüllt ist. Wir fordern also, dass die Funktionen $f_{i}$ in den Variablen $y_{1},\ldots ,y_{m}$ einer Lipschitz-Bedingung genügen.

Auf dem Existenzintervall $[\xi -h,\xi +h]$ mit hinreichend kleinem $0<h\leq a$ betrachten wir die Lösungen der Anfangswertprobleme

(2) ${\begin{matrix}y_{i}=y_{i}(x):[\xi -h,\xi +h]\to [\eta _{i}-b_{i},\eta _{i}+b_{i}],\\y_{i}'(x)=f_{i}(x,y_{1}(x),\ldots ,y_{m}(x)),\quad x\in [\xi -h,\xi +h],\\y_{i}(\xi )=\eta _{i}\ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ i=1,\ldots ,m\end{matrix}}$

sowie

(3) ${\begin{matrix}{\overline {y}}_{i}={\overline {y}}_{i}(x):[\xi -h,\xi +h]\to [\eta _{i}-b_{i},\eta _{i}+b_{i}],\\{\overline {y}}_{i}'(x)=f_{i}(x,{\overline {y}}_{1}(x),\ldots ,{\overline {y}}_{m}(x)),\quad x\in [\xi -h,\xi +h],\\{\overline {y}}_{i}(\xi )={\overline {\eta }}_{i}\ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ i=1,\ldots ,m\end{matrix}}$

zu den Anfangswerten $\eta$ bzw. ${\overline {\eta }}$. Um diese beiden Lösungen $y(x)=(y_{1}(x),\ldots ,y_{m}(x))$ und ${\overline {y}}(x)=({\overline {y}}_{1}(x),\ldots ,{\overline {y}}_{m}(x))$ mit einander zu vergleichen, betrachten wir die äquivalenten Integralgleichungssysteme

(4) $y_{i}(x)=\eta _{i}+\int _{\xi }^{x}f_{i}(t,y_{1}(t),\ldots ,y_{m}(t))\,dt,\quad x\in [\xi -h,\xi +h],\quad i=1,\ldots ,m$

bzw.

(5) ${\overline {y}}_{i}(x)={\overline {\eta }}_{i}+\int _{\xi }^{x}f_{i}(t,{\overline {y}}_{1}(t),\ldots ,{\overline {y}}_{m}(t))\,dt,\quad x\in [\xi -h,\xi +h],\quad i=1,\ldots ,m$.

Wir ziehen nun diese beiden Gleichungen voneinander ab und erhalten

(6) ${\begin{matrix}[y_{i}(x)-\eta _{i}]-[{\overline {y}}_{i}(x)-{\overline {\eta }}_{i}]=\int _{\xi }^{x}\{f_{i}(t,y_{1}(t),\ldots ,y_{m}(t))-f_{i}(t,{\overline {y}}_{1}(t),\ldots ,{\overline {y}}_{m}(t))\}\,dt,\\x\in [\xi -h,\xi +h],\quad i=1,\ldots ,m.\end{matrix}}$

Die Lipschitz-Bedingung liefert

(7) ${\begin{matrix}|[y_{i}(x)-\eta _{i}]-[{\overline {y}}_{i}(x)-{\overline {\eta }}_{i}]|\leq \int _{\xi }^{x}|f_{i}(t,y_{1}(t),\ldots ,y_{m}(t))-f_{i}(t,{\overline {y}}_{1}(t),\ldots ,{\overline {y}}_{m}(t))|\,|dt|\\\leq \int _{\xi }^{x}L\cdot \sum _{k=1}^{m}|y_{k}(t)-{\overline {y}}_{k}(t)|\,|dt|\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ x\in [\xi -h,\xi +h],\quad i=1,\ldots ,m.\end{matrix}}$

Wir führen nun die Hilfsfunktion

(8) $\Phi (x):=\sum _{i=1}^{m}|[y_{i}(x)-\eta _{i}]-[{\overline {y}}_{i}(x)-{\overline {\eta }}_{i}]|,\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$

sowie die Hilfsgröße

(9) $\varepsilon (\eta ,{\overline {\eta }}):=\sum _{k=1}^{m}|\eta _{k}-{\overline {\eta }}_{k}|$

ein. Wir entnehmen dann (7) die Abschätzung

(10) ${\begin{matrix}|[y_{i}(x)-\eta _{i}]-[{\overline {y}}_{i}(x)-{\overline {\eta }}_{i}]|\leq \int _{\xi }^{x}L\cdot \{\Phi (t)+\varepsilon (\eta ,{\overline {\eta }})\}\,|dt|\\\mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ x\in [\xi -h,\xi +h],\quad i=1,\ldots ,m.\end{matrix}}$

Summation von $1,\ldots ,m$ liefert schließlich die Ungleichung

(11) $\Phi (x)\leq (m\cdot L)\int _{\xi }^{x}\{\Phi (t)+\varepsilon (\eta ,{\overline {\eta }})\}\,|dt|$ für alle $x\in [\xi -h,\xi +h]$.

Satz 1 (Gronwallsches Lemma)

Die stetige Funktion $f:[\xi -h,\xi +h]\to [0,+\infty )$ genüge der Integralungleichung

$f(x)\leq A\int _{\xi }^{x}(f(t)+\varepsilon )\,|dt|$ für alle $x\in [\xi -h,\xi +h]$

mit Konstanten $A>0$ und $\varepsilon \geq 0$. Dann gilt für alle $x\in [\xi -h,\xi +h]$ die Abschätzung

$0\leq f(x)\leq \varepsilon (e^{A|x-\xi |}-1)=\varepsilon \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}|x-\xi |^{k}$.

Beweis

Wir setzen $M:=\max\{f(x):\xi -h\leq x\leq \xi +h\}$ und zeigen durch vollständige Induktion

$f(x)\leq \varepsilon \sum _{k=1}^{n}{\frac {A^{k}}{k!}}|x-\xi |^{k}+M{\frac {A^{n}}{n!}}|x-\xi |^{n},\quad x\in [\xi -h,\xi +h]$.

Aus der Integralungleichung erhalten wir nämlich

$f(x)\leq MA|x-\xi |+\varepsilon A|x-\xi |$ für alle $x\in [\xi -h,\xi +h]$,

so dass der Fall $n=1$ gesichert ist. Gilt nun obige Abschätzung für ein $n\in \mathbb {N}$, so finden wir

$f(x)\leq \varepsilon A|x-\xi |+A\int _{\xi }^{x}f(t)\,|dt|$

$\leq \varepsilon A|x-\xi |+A\int _{\xi }^{x}\left\{\varepsilon \sum _{k=1}^{n}{\frac {A^{k}}{k!}}|x-\xi |^{k}+M{\frac {A^{n}}{n!}}|x-\xi |^{n}\right\}\,|dt|$

$=\varepsilon A|x-\xi |+\varepsilon \sum _{k=1}^{n}{\frac {A^{k+1}}{(k+1)!}}|x-\xi |^{k+1}+M{\frac {A^{n+1}}{(n+1)!}}|x-\xi |^{n+1}$

$=\varepsilon \sum _{k=1}^{n+1}{\frac {A^{k}}{k!}}|x-\xi |^{k}+M{\frac {A^{n+1}}{(n+1)!}}|x-\xi |^{n+1}$.

Da nun

$\lim _{n\to \infty }{\frac {(A|x-\xi |)^{n+1}}{(n+1)!}}=0$

richtig ist, folgt durch Grenzübergang in obiger Abschätzung

$f(x)\leq \varepsilon \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}|x-\xi |^{k}=\varepsilon (e^{A|x-\xi |}-1)$.

q.e.d.

Satz 2 (Eindeutigkeit und Stabilität)

Unter der Voraussetzung (b) lösen die Funktionen $y_{i}(x)$ und ${\overline {y}}_{i}(x)$ für $i=1,\ldots ,m$ die Anfangswertprobleme (2) bzw. (3). Dann gilt für die assoziierten Funktionen aus (8) und (9) die Ungleichung

$0\leq \Phi (x)\leq \varepsilon (\eta ,{\overline {\eta }})\cdot \{\exp(mL|x-\xi |)-1\}$ für alle $x\in [\xi -h,\xi +h]$.

Somit stimmen die Lösungen bei gleichen Anfangswerten überein und sie hängen überdies stetig von diesen Anfangswerten ab.

Unter der Voraussetzung (b) erklären wir die Größe

$h:=\min \left\{a,{\frac {b_{1}}{M}},\ldots ,{\frac {b_{m}}{M}}\right\}$

und erhalten nach dem Peanoschen Existenzsatz genau eine Lösung des Anfangswertproblems (2). Unter Verwendung der Lipschitzbedingung werden wir diese mit dem Verfahren der sukzessiven Approximation von Picard und Lindelöf auf ganz anderem Wege konstruieren. Wir setzen

(12) $f(x,y):={\begin{pmatrix}f_{1}(x,y_{1},\ldots ,y_{m})\\\vdots \\f_{m}(x,y_{1},\ldots ,y_{m})\end{pmatrix}}$ für $(x,y)\in R$

und konstruieren die Funktionenfolge

(13) ${\stackrel {k}{y}}(x):={\begin{pmatrix}{\stackrel {k}{y}}_{1}(x)\\\vdots \\{\stackrel {k}{y}}_{m}(x)\end{pmatrix}},\quad x\in [\xi -h,\xi +h]=:I,\quad k=0,1,2,\ldots$

wie folgt:

(14) ${\stackrel {0}{y}}:=\eta ={\begin{pmatrix}\eta _{1}\\\vdots \\\eta _{m}\end{pmatrix}}$ und ${\stackrel {k}{y}}:=\eta +\int _{\xi }^{x}f\left(t,{\stackrel {k-1}{y}}(t)\right)\,dt$ für $k=1,2,\ldots$.

Hilfssatz 1

Es gilt $\left(x,{\stackrel {k}{y}}(x)\right)\in R$ für alle $x\in I$ und $k=0,1,2,\ldots$.

Beweis

$\mathbf {k=0:}$ ${\stackrel {0}{y}}=\eta .$
$\mathbf {k-1\to k:}$

$\left|{\stackrel {k}{y}}-\eta _{i}\right|=\left|\int _{\xi }^{x}f_{i}\left(t,{\stackrel {k-1}{y}}(t)\right)\,dt\right|\leq \int _{\xi }^{x}\left|f_{i}\left(t,{\stackrel {k-1}{y}}(t)\right)\right|\,|dt|\leq M|x-\xi |\leq Mh\leq b_{i}$ für alle $x\in I$ und $i=1,\ldots ,m$.

Somit folgt die Behauptung.

q.e.d.

Wir betrachten nun die Funktionenfolge

${\stackrel {k}{\psi }}(x):=\sum _{i=1}^{m}\left|{\stackrel {k+1}{y}}_{i}(x)-{\stackrel {k}{y}}_{i}(x)\right|,\quad x\in I$ für $k=0,1,2,\ldots$.

Hilfssatz 2

Es gilt

${\stackrel {k}{\psi }}(x)\leq mM{\frac {(mL)^{k}|x-\xi |^{k+1}}{(k+1)!}}$

für alle $x\in I$ und $k=0,1,2,\ldots$.

Beweis

$\mathbf {k=0:}$ Wir sehen $\left|{\stackrel {1}{y}}_{i}(x)-{\stackrel {0}{y}}_{i}(x)\right|=\left|\int _{\xi }^{x}f_{i}(t,\eta )\,dt\right|\leq M|x-\xi |$ für $i=1,\ldots ,m$ ein und erhalten ${\stackrel {0}{\psi }}(x)\leq mM|x-\xi |$ für alle $x\in I$.
$\mathbf {k\to k+1:}$ Wir ermitteln

$\left|{\stackrel {k+2}{y}}_{i}(x)-{\stackrel {k+1}{y}}_{i}(x)\right|=\left|\int _{\xi }^{x}\left[f_{i}\left(t,{\stackrel {k+1}{y}}(t)\right)-f_{i}\left(t,{\stackrel {k+1}{y}}(t)\right)\right]\,dt\right|\leq L\int _{\xi }^{x}{\stackrel {k}{\psi }}(t)\,|dt|$

$\leq (mM)(mL)^{k}L{\frac {1}{(k+1)!}}\int _{\xi }^{x}|t-\xi |^{k+1}\,|dt|=(mM)(mL)^{k}L{\frac {1}{(k+2)!}}|x-\xi |^{k+2}$

für $i=1,\ldots ,m$. Wir erhalten dann

${\stackrel {k+1}{\psi }}(x)\leq mM{\frac {(mL)^{k+1}|x-\xi |^{k+2}}{(k+2)!}}$ für alle $x\in I$.

q.e.d.

Die Funktionenreihe

$\sum _{k=0}^{\infty }\left({\stackrel {k+1}{y}}(x)-{\stackrel {k}{y}}(x)\right),\quad x\in I$

hat somit die konvergente Majorante

${\frac {M}{L}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(mL)^{k}|x-\xi |^{k}}{k!}}={\frac {M}{L}}{\Bigl (}\exp(mL|x-\xi |)-1{\Bigr )}$

Satz 3 (Sukzessive Approximation nach Picard und Lindelöf)

Unter der Voraussetzung (b) konvergiert die in (14) definierte Funktionenfolge

${\stackrel {k}{y}}(x):I\to \mathbb {R} ^{m}$ für $k=0,1,2,\ldots$

gleichmäßig auf dem Intervall $I=[\xi -h,\xi +h]$ gegen eine Lösung

$y(x)={\begin{pmatrix}y_{1}(x)\\\vdots \\y_{m}(x)\end{pmatrix}}\in C^{1}(I,\mathbb {R} ^{m})$

des Anfangswertproblems (2).

Beweis

Es gilt

$y(x):=\lim _{k\to \infty }{\stackrel {k+1}{y}}(x)=\eta +\lim _{k\to \infty }\sum _{l=1}^{k}\left({\stackrel {l+1}{y}}(x)-{\stackrel {l}{y}}(x)\right),\quad x\in I$.

Wir vollziehen den Grenzübergang in der Integralgleichung (14) und erhalten

$y(x)=\eta +\int _{\xi }^{x}f(t,y(t))\,dt,\quad x\in I$.

q.e.d.