Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Exakte Differentialgleichungen (§2)

Definition 1

In einer offenen Umgebung $U$ eines Punktes $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2}$ seien die Funktionen $P(x,y)$ und $Q(x,y)$ der Klasse $C^{1}(U,\mathbb {R} )$ mit der Eigenschaft

(1) $P(x,y)^{2}+Q(x,y)^{2}>0$ für alle Punkte $(x,y)\in U$

gegeben. Unter der Lösung einer regulären Differentialgleichung

(2) $P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0$ für alle Punkte $(x,y)\in U$

verstehen wir eine reguläre Kurve

$X(t)=(x(t),y(t)):I\to U$

auf dem Intervall $I:=[t^{-},t^{+}]$ der Klasse $C^{1}(I,\mathbb {R} ^{2})$, welche die Gleichung

(3) $P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)=0$ für alle Parameter $t\in I$

erfüllt; dabei ist $-\infty <t^{-}<t^{+}<+\infty$ richtig.

Bemerkungen

1. Das Lösen der Differentialgleichung (2) bedeutet also, reguläre Kurven

$X(t)=(x(t),y(t)):I\to U$

so zu finden, dass ihr Tangentialvektor

$X'(t)=(x'(t),y'(t)):I\to U$

orthogonal zum vorgegebenem Vektorfeld $(P(x,y),Q(x,y))$ im Punkt $X(t)=(x(t),y(t))$ steht.
2. Nach eventueller Drehung der $x,y$-Ebene können wir die Lösungskurve lokal in der Form

$X(x)=(x,y(x)),\quad x\in [x^{-},x^{+}]:=I$

darstellen. Wir erhalten dann die Differentialgleichung

$P(x,y(x))+Q(x,y(x))y'(x)=0$ für alle $x\in I$.

Falls $Q\neq 0$ erfüllt ist, erscheint letztere äquivalent zur folgenden expliziten Differentialgleichung erster Ordnung

(4) $y'(x)=-{\frac {P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}}=:f(x,y(x)),\quad x\in I$.

3. Auch wenn die Lösungskurve nicht als Graph über der $x,y$-Ebene darstellbar ist, behält die Differentialgleichung (2) ihre Bedeutung.

Definition 2

Ist in einem Punkt $(x_{0},y_{0})\in U$ die Gleichung

$(P(x_{0},y_{0}),Q(x_{0},y_{0}))=(0,0)$

erfüllt, so nennen wir $(x_{0},y_{0})$ einen singulären Punkt der Differentialgleichung (2).

Definition 3

Die reguläre Differentialgleichung (2)

$P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0$ in $U$

heißt exakt, wenn das Vektorfeld

$V(x,y):=(P(x,y),Q(x,y)):U\to \mathbb {R} ^{2}$

auf der offenen Menge $U$ eine Stammfunktion $F:U\to \mathbb {R}$ der Klasse $C^{2}(U)$ mit der Eigenschaft

$V=grad\,F$ in $U$

besitzt. Dann gilt also

(5) $F_{x}(x,y)=P(x,y)$ und $F_{y}(x,y)=Q(x,y)$ für alle $(x,y)\in U$.

Satz 1

Sei die reguläre, exakte Differentialgleichung (2) in der offenen Menge $U\subset \mathbb {R} ^{2}$ mit der Stammfunktion $F=F(x,y)\in C^{2}(U)$ gegeben. Dann ist die reguläre Kurve

$X(t)=(x(t),y(t)):I\to U$

auf dem Intervall $I:=[t^{-},t^{+}]$ der Klasse $C^{1}(I,\mathbb {R} ^{2})$ eine Lösung der Differentialgleichung genau dann, wenn

$F(x(t),y(t))=const$ für alle $t\in I$

gilt.

Beweis

1. Sei $X(t)=(x(t),y(t)):I\to U$ auf dem Intervall $I:=[t^{-},t^{+}]$ eine Lösung der Differentialgleichung (2). Dann folgt

${\begin{matrix}0=P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\\=F_{x}(x(t),y(t))x'(t)+F_{y}(x(t),y(t))y'(t)={\frac {d}{dt}}F(x(t),y(t)).\end{matrix}}$

Also folgt

$F(x(t),y(t))=const$ für alle $t\in I$.

2. Sei

$F(x(t),y(t))=const$ für alle $t\in I$

erfüllt. Dann erhalten wir durch Differentiation

$0=F_{x}(x(t),y(t))x'(t)+F_{y}(x(t),y(t))y'(t)=P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)$.

Somit löst $X(t)$ die Differentialgleichung (2).

q.e.d.

Satz 2 (Integrabilitätsbedingung)

Seien der Punkt $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2}$ und das Rechteck

$U:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in (x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha ),y\in (y_{0}-\beta ,y_{0}+\beta )\}$

mit den halben Kantenlängen $\alpha ,\beta >0$ gegeben. Weiter sei die reguläre Differentialgleichung

$P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0$ für alle $(x,y)\in U$

auf diesem Rechteck erklärt. Dann ist diese Differentialgleichung genau dann exakt, wenn die Integrabilitätsbedingung

(6) $Q_{x}(x,y)=P_{y}(x,y)$ in $U$

erfüllt ist.

Beweis

1. Sei die Funktion (2) exakt in $U$. Gemäß Definition 3 existiert dann eine Stammfunktion $F:U\to \mathbb {R}$ der Klasse $C^{2}(U)$ mit der Eigenschaft

$F_{x}(x,y)=P(x,y)$ und $F_{y}(x,y)=Q(x,y)$ für alle $(x,y)\in U$

Wir erhalten die Identität

$Q_{x}(x,y)=F_{xy}(x,y)=F_{yx}(x,y)=P_{y}(x,y)$ für alle $(x,y)\in U$

und somit

$Q_{x}(x,y)=P_{y}(x,y)$ für alle $(x,y)\in U$.

2. Sei $Q_{x}(x,y)=P_{y}(x,y)$ in $U$ erfüllt. Wir erklären nun die Funktion

$F(x,y):=\int _{x_{0}}^{x}P(t,y_{0})\,dt+\int _{y_{0}}^{y}Q(x,t)\,dt$ für alle $(x,y)\in U$.

Wir differenzieren dann nach der oberen Grenze und erhalten

$F_{x}(x,y)=P(x,y_{0})+\int _{y_{0}}^{y}Q_{x}(x,t)\,dt=P(x,y_{0})+\int _{y_{0}}^{y}P_{y}(x,t)\,dt$

$=P(x,y_{0})+\left(P(x,y)-P(x,y_{0})\right)=P(x,y)$ in $U$.

Weiter gilt

$F_{y}(x,y)=Q(x,y)$ in $U$.

Damit folgt $F(x,y)\in C^{2}(U)$ und

$\nabla F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$ in $U$.

3. Wir berechnen nun noch

${\frac {d}{dx}}\int _{y_{0}}^{y}Q(x,t)\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\left\{\int _{y_{0}}^{y}Q(x+\varepsilon ,t)\,dt-\int _{y_{0}}^{y}Q(x,t)\,dt\right\}$

$=\lim _{\varepsilon \to 0}\left\{{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{y_{0}}^{y}[Q(x+\varepsilon ,t)-Q(x,t)]\,dt\right\}$.

Unter Beachtung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung folgt mit einem Zwischenwert $\varepsilon _{t}\in (0,\varepsilon )$ für jedes $t\in [y_{0},y]$ die Identität

${\frac {d}{dx}}\int _{y_{0}}^{y}Q(x,t)\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0}\left\{{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{y_{0}}^{y}\varepsilon Q_{x}(x+\varepsilon ,t)\,dt\right\}$

$=\lim _{\varepsilon \to 0}\left\{\int _{y_{0}}^{y}Q_{x}(x+\varepsilon _{t},t)\,dt\right\}=\int _{y_{0}}^{y}Q_{x}(x,t)\,dt$.

Da $Q_{x}(x+\varepsilon _{t},t)$ gleichmäßig auf dem Intervall $[y_{0},y]$ für $\varepsilon \to 0$ gegen die Funktion $Q_{x}(x,t)$ konvergiert, kann nach Satz 2 aus Kapitel V, §6 die Integration mit dem Limes vertauscht werden.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Wir haben die Stammfunktion $F$ durch Integration über einen bestimmten rechteckigen Weg erhalten. Wir erhalten auch eine Stammfunktion durch die folgende Integration:

$F(x,y)=\int _{y_{0}}^{y}Q(x_{0},t)\,dt+\int _{x_{0}}^{x}P(t,y)\,dt$.

Wenn wir die Theorie der Kurvenintegrale zur Hilfe nehmen, kann man die Stammfunktion auch durch Integration über einen beliebigen Weg in $U$ vom Punkt $(x_{0},y_{0})$ zum Punkt $(x,y)$ berechnen. Dann kann man Satz 2 auch auf beliebige einfach zusammenhängende Gebiete verallgemeinern. Wir können die nichtlinearen Gleichungen aber nur lokal lösen und somit reichen Rechtecke hier aus!
2. Die Stammfunktion $F(x,y)$ ist bis auf eine Konstante bestimmt.
3. Man berechnet die Stammfunktion durch unbestimmte Integration wie folgt: Wir integrieren die erste Gleichung in (5) und erhalten

$F(x,y)=\int P(t,y)\,dt+\phi (y)$.

Dann bestimmen wir mit der zweiten Gleichung die Funktion $\phi (y)$ aus der Identität

$\phi '(y)=F_{y}(x,y)-{\frac {d}{dy}}\left\{\int P(t,y)\,dt\right\}=Q(x,y)-{\frac {d}{dy}}\left\{\int P(t,y)\,dt\right\}$.

Entsprechend können wir zunächst die zweite Gleichung in (5) integrieren und dann die erste heranziehen.

Wir betrachten nun auf dem Rechteck $U\subset \mathbb {R} ^{2}$ beliebige reguläre Differentialgleichungen der Gestalt

(7) $P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0$ für alle $(x,y)\in U$.

Auch wenn diese Differentialgleichung nicht exakt ist, erwarten wir anschaulich, dass sie in einem hinreichend kleinen Rechteck um den Punkt $(x_{0},y_{0})$ eine Lösung besitzt. Wir multiplizieren (7) mit einer nullstellenfreien Funktion

$M(x,y):U\to \mathbb {R}$ der Klasse $C^{1}(U)$

und erhalten die Differentialgleichung

(8) $M(x,y)P(x,y)\,dx+M(x,y)Q(x,y)\,dy=0$ für alle $(x,y)\in U$.

Offensichtlich haben die Probleme (7) und (8) die gleichen Lösungskurven. Falls (7) keine exakte Differentialgleichung darstellt, wollen wir nun den Multiplikator so wählen, dass die Differentialgleichung (8) exakt wird.

Definition 4

Die Funktion

$M(x,y):U\to \mathbb {R} \in C^{1}(U)$ mit $M(x,y)\neq 0$ für alle $(x,y)\in U$

heißt Eulerscher Multiplikator oder integrierender Faktor der Differentialgleichung (7), falls die Differentialgleichung (8) exakt ist. Auf dem Rechteck $U$ gilt dann die Beziehung

(9) $0=[M(x,y)P(x,y)]_{y}-[M(x,y)Q(x,y)]_{x}=M_{y}P-M_{x}Q+M(P_{y}-Q_{x})$

bzw.

(10) $0={\frac {M_{x}}{M}}Q-{\frac {M_{y}}{M}}P+(Q_{x}-P_{y})=[\log M(x,y)]_{x}Q-[\log M(x,y)]_{y}P+(Q_{x}-P_{y})$.

Beispiel 1: Multiplikator der Form $M=M(x)$

In diesem Spezialfall wird aus (9) die homogene, lineare, gewöhnliche Differentialgleichung

$M_{x}Q+M(Q_{x}-P_{y})=0$,

die folgendermaßen gelöst werden kann: Wir integrieren die Identität

$[\log M(x)]_{x}={\frac {M_{x}}{M}}={\frac {P_{y}-Q_{x}}{Q}}$

und erhalten

$\log M(x)=\int {\frac {P_{y}-Q_{x}}{Q}}\,dx$

bzw.

$M(x)=\exp \left(\int {\frac {P_{y}-Q_{x}}{Q}}\,dx\right)$.

Entsprechend finden wir einen Multiplikator der Form $M=M(y)$, falls dieser existiert.