Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Lineare Differentialgleichungen m-ter Ordnung (§9)

Auf dem kompakten Intervall $I:=\{x\in \mathbb {R} :|x-\xi |\leq a\}$ um den Punkt $\xi \in \mathbb {R}$ von der halben Länge $a\in (0,+\infty )$ wählen wir die reellwertigen, stetigen Koeffizientenfunktionen

$p_{k}(x)\in C^{0}(I,\mathbb {R} )$ für $k=0,1,\ldots ,m$.

Dabei setzen wir $p_{m}(x)\neq 0$ für alle $x\in I$ voraus. Dann betrachten wir den reellen Vektorraum $C^{m}(I):=C^{m}(I,\mathbb {R} )$ mit den Verknüpfungen

$c\in \mathbb {R} ,u,v\in C^{m}(I)\Rightarrow cu,u+v\in C^{m}(I)$.

Wir erklären nun den linearen Differentialoperator $m$-ter Ordnung

(1) ${\begin{matrix}{\mathcal {L}}:C^{m}(I)\to C^{0}(I)\mathrm {verm{\ddot {o}}ge} \\{\mathcal {L}}(y){\bigl |}_{x}:=p_{m}(x)y^{(m)}(x)+p_{m-1}(x)y^{(m-1)}(x)+\ldots +p_{0}(x)y(x),\quad x\in I.\end{matrix}}$

Offenbar gilt die Linearitätsregel

(2) ${\mathcal {L}}(c\cdot u+d\cdot v)=c\cdot {\mathcal {L}}(u)+d\cdot {\mathcal {L}}(v)$ für alle $c,d\in \mathbb {R}$ und $u,v\in C^{m}(I)$.

Zu einer gegebenen rechten Seite $f(x)\in C^{0}(I)$ wollen wir nun alle Lösungen $y(x)\in C^{m}(I)$ von ${\mathcal {L}}(y)=f$ bestimmen. Zunächst berechnen wir alle Lösungen der homogenen Gleichung ${\mathcal {L}}(y)=0$. Diese bilden – gemäß unserer nachfolgenden Untersuchungen – einen $m$-dimensionalen Vektorraum

${\mathcal {U}}:=\{y\in C^{m}(I):{\mathcal {L}}(y)=0\}$.

Wir bestimmen dann eine Lösung $y_{0}(x)\in C^{m}(I)$ der inhomogenen Gleichung ${\mathcal {L}}(y)=f$ mittels Variation der Konstanten. Wir erhalten schließlich die Lösungsgesamtheit der inhomogenen Gleichung in der Form $y_{0}(x)+y(x)$ mit $y(x)\in {\mathcal {U}}$.

Satz 1

Sei der Vektor $\eta =(\eta _{1},\ldots ,\eta _{m})^{*}\in \mathbb {R} ^{m}$gewählt, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. Die Funktion $y(x)\in C^{m}(I)$ genügt dem Anfangswertproblem

${\mathcal {L}}(y)=f(x),x\in I,\quad y^{(k-1)}(\xi )=\eta _{k}$ für $k=1,\ldots ,m$.

2. Die Funktion ${\hat {y}}(x)=\left(y(x),y'(x),\ldots ,y^{m-1}(x)\right)^{*}\in C^{1}(I,\mathbb {R} ^{m})$ genügt dem System

${\hat {y}}'(x)=P(x)\circ {\hat {y}}(x)+q(x),\quad {\hat {y}}(\xi )=\eta$

mit der Matrixfunktion

(3) $P(x)={\Bigl (}p_{jk}(x){\Bigr )}_{j,k=1,\ldots ,m}={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &0\\0&\ldots &\ldots &0&1\\{\frac {-p_{0}(x)}{p_{m}(x)}}&\ldots &\ldots &\ldots &{\frac {-p_{m-1}(x)}{p_{m}(x)}}\end{pmatrix}}$

und der Vektorfunktion

(4) $q(x):=\left(0,\ldots ,0,{\frac {f(x)}{p_{m}(x)}}\right)^{*},\quad x\in I$.

Beweis

Wir beachten zunächst

(5) ${\begin{matrix}{\mathcal {L}}(y)=f(x)\quad \Leftrightarrow \quad p_{m}(x)y^{(m)}(x)+\ldots +p_{0}(x)y(x)=f(x)\quad \Leftrightarrow \\y^{(m)}(x)={\frac {f(x)}{p_{m}(x)}}-{\frac {p_{0}(x)}{p_{m}(x)}}y(x)-\ldots -{\frac {p_{m-1}(x)}{p_{m}(x)}}y^{(m-1)}(x)=:f(x,y,\ldots ,y^{(m-1)}).\end{matrix}}$

Mit den Überlegungen zu Beginn von §8 erhalten wir für ${\hat {y}}(x)$ das folgende System

(6) ${\begin{pmatrix}y(x)\\y'(x)\\\vdots \\y^{(m-1)}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &0\\0&\ldots &\ldots &0&1\\{\frac {-p_{0}}{p_{m}}}&\ldots &\ldots &\ldots &{\frac {-p_{m-1}}{p_{m}}}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}y(x)\\y'(x)\\\vdots \\\vdots \\y^{(m-1)}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\\vdots \\\vdots \\0\\{\frac {f(x)}{p_{m}}}\end{pmatrix}}$.

Hieraus ersehen wir sofort die Behauptung des Satzes.

q.e.d.

Definition 1

Ein System von $m$ Lösungen $\{y_{1},\ldots ,y_{m}\}$ der Differentialgleichung ${\mathcal {L}}(y)=0$ heißt Fundamentalsystem von ${\mathcal {L}}(y)=0$, wenn die Funktionen $y_{1}(x),\ldots ,y_{m}(x)$ im Intervall $I$ linear unabhängig sind. Letzteres bedeutet, dass aus der Identität

$c_{1}y_{1}(x)+\ldots +c_{m}y_{m}(x)\equiv 0$ in $I$ mit Konstanten $c_{1},\ldots ,c_{m}\in \mathbb {R}$

die Aussage $c_{1}=\ldots =c_{m}=0$ folgt.

Definition 2

Wir erklären die Wronskische Determinante des Systems $\{y_{1},\ldots ,y_{m}\}$ durch

(7) $W(x)=W(y_{1},\ldots ,y_{m}){\bigl |}_{x}:={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&\ldots &y_{m}(x)\\y_{1}'(x)&\ldots &y_{m}'(x)\\\vdots &&\vdots \\y_{1}^{(m-1)}(x)&\ldots &y_{m}^{(m-1)}(x)\end{vmatrix}},\quad x\in I$.

Bemerkung

Ist $\{y_{1},\ldots ,y_{m}\}$ ein System von Lösungen von ${\mathcal {L}}(y)=0$ im Intervall $I$ mit der Wronskischen Determinante $W(x)=W(y_{1},\ldots ,y_{m}){\Bigl |}_{x}$. Dann genügt diese der Differentialgleichung

(8) ${\frac {d}{dx}}W(x)={\begin{vmatrix}y_{1}(x)&\ldots &y_{m}(x)\\y_{1}'(x)&\ldots &y_{m}'(x)\\\vdots &&\vdots \\y_{1}^{(m-2)}(x)&\ldots &y_{m}^{(m-2)}(x)\\y_{1}^{(m)}(x)&\ldots &y_{m}^{(m)}(x)\end{vmatrix}}=-{\frac {p_{m-1}(x)}{p_{m}(x)}}\cdot W(x),\quad x\in I$.

Somit ist $W(x)\equiv 0$ in $I$ genau dann erfüllt, wenn in einem Punkt $x_{0}\in I$ die Aussage $W(x_{0})=0$ richtig ist.

Satz 2 (Wronskische Determinante)

Die Funktionen $y_{1},\ldots ,y_{m}$ der Klasse $C^{m}(I)$ seien Lösungen der Differentialgleichung ${\mathcal {L}}(y)=0$ in $I$ und sei $x_{0}\in I$ beliebig gewählt.

Dann ist $\{y_{1},\ldots ,y_{m}\}$ ein Fundamentalsystem von \mathcal{L}(y) = 0</math> genau dann, wenn $W(y_{1},\ldots ,y_{m}){\bigl |}_{x=x_{0}}\neq 0$ gilt.

Beweis

„$\Rightarrow$“ Wäre $W(x_{0})=0$ erfüllt, so existiert ein Vektor

$c=(c_{1},\ldots ,c_{m})^{*}\in \mathbb {R} ^{m}\setminus \{0\}$ mit der Eigenschaft $Y(x_{0})\circ c=0$.

Dabei haben wir die Matrixfunktion

(9) $Y(x):=\left(y_{k}^{(j-1)}(x)\right)_{j,k=1,\ldots ,m},\quad x\in I$

erklärt. Also löst $\Phi (x):=Y(x)\circ c:I\to \mathbb {R} ^{m}$ das lineare Anfangswertproblem

(10) ${\begin{matrix}\Phi '(x)=Y'(x)\circ c=P(x)\circ Y(x)\circ c=P(x)\circ \Phi (x),\quad x\in I\\\Phi (x_{0}):=Y(x_{0})\circ c=0.\end{matrix}}$

Somit liefert der Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungssysteme

$\Phi (x)=0$ bzw. $c_{1}y_{1}(x)+\ldots +c_{m}y_{m}(x)=0$ für alle $x\in I$.

Also ist $\{y_{1},\ldots ,y_{m}\}$ kein Fundamentalsystem – im Widerspruch zur Voraussetzung!

„$\Leftarrow$“ Wäre $\{y_{1},\ldots ,y_{m}\}$ kein Fundamentalsystem, dann existiert ein Vektor $c=(c_{1},\ldots ,c_{m})^{*}\in \mathbb {R} ^{m}\setminus \{0\}$ mit der Eigenschaft

$0=c_{1}y_{1}(x)+\ldots +c_{m}y_{m}(x),\quad x\in I$.

Eine $(m-1)$-fache Differentiation liefert für alle $x\in I$ die $m-1$ Gleichungen

$0=c_{1}y_{1}'(x)+\ldots +c_{m}y_{m}'(x),0=c_{1}y_{1}^{m-1}(x)+\ldots +c_{m}y_{m}^{m-1}(x)$.

Wir erhalten die Matrixidentität $Y(x_{0})\circ c=0$ mit einem Vektor $c\in \mathbb {R} ^{m}\setminus \{0\}$ und es folgt $W(x_{0})=\det Y(x_{0})=0$ – im Widerspruch zur Voraussetzung!

q.e.d.

Satz 3 (Fundamentalsystem)

1. Es gibt ein Fundamentalsystem $\{y_{1},\ldots ,y_{m}\}$ der homogenen, linearen Differentialgleichung $m$-ter Ordnung ${\mathcal {L}}(y)=0$.

2. Jede Lösung $y=y(x)\in C^{m}(I)$ von ${\mathcal {L}}(y)=0$ lässt sich in der Form

$y(x)=c_{1}y_{1}(x)+\ldots +c_{m}y_{m}(x),\quad x\in I$

mit gewissen Konstanten $c_{1},\ldots ,c_{m}\in \mathbb {R}$ darstellen. Somit folgt

${\mathcal {U}}=\{y(x)=c_{1}y_{1}(x)+\ldots +c_{m}y_{m}(x):c_{1},\ldots ,c_{m}\in \mathbb {R} \}$.

Beweis

1. Mit der Matrixfunktion (3) lösen wir zu den Einheitsvektoren

${\stackrel {j}{e}}:=(\delta _{1j},\ldots ,\delta _{mj})^{*}\in \mathbb {R} ^{m}$ für $j=1,\ldots ,m$

die folgenden Anfangswertprobleme

(11) ${\stackrel {j}{y}}(x)\in C^{1}(I,\mathbb {R} ^{m})$ mit ${\stackrel {j}{y'}}(x)=P(x)\circ {\stackrel {j}{y}}(x),x\in I$ und ${\stackrel {j}{y}}(\xi )={\stackrel {j}{e}}$

über den Satz 1 aus §7. Wir fassen dann diese Lösungen zu einer Matrixfunktion zusammen, welche das folgende Anfangswertproblem löst:

(12) ${\begin{matrix}Y(x):=\left({\stackrel {1}{y}}(x),\ldots ,{\stackrel {m}{y}}(x)\right)\in C^{1}(I,\mathbb {R} ^{m\times m})\\{\text{mit }}Y'(x)=P(x)\circ Y(x),x\in I{\text{ und }}Y(\xi )=E:={\Bigl (}\delta _{ij}{\Bigr )}_{i,j=1,\ldots ,m}.\end{matrix}}$

Wir definieren die ersten Komponentenfunktionen

(13) $y_{j}(x):={\stackrel {j}{y}}_{1}(x),x\in I$ für $j=1,\ldots ,m$,

welche gemäß Satz 1 die homogene Differentialgleichung lösen. Weiter bilden $\{y_{1},\ldots ,y_{m}\}$ ein Fundamentalsystem von ${\mathcal {L}}(y)=0$ wegen Satz 2 und $W(\xi )=\det Y(\xi )=\det E=1$.

2. Wir hatten $Y(x),x\in I$ aus (12) die Fundamentallösung des homogenen Differentialgleichungssystems genannt, welches den Lösungsraum

${\mathcal {V}}:=\{{\tilde {y}}(x)\in C^{1}(I,\mathbb {R} ^{m}):P(x)\circ {\tilde {y}}(x)=0,x\in I\}$

besitzt. Ist nun $y(x)$ eine beliebige Lösung von ${\mathcal {L}}(y)=0$, so liegt die Funktion ${\hat {y}}(x):=(y(x),y'(x),\ldots ,y^{(m-1)}(x))^{*}$ im Lösungsraum ${\mathcal {V}}$. Also gibt es nach Satz 2 aus §7 einen Vektor $(c_{1},\ldots ,c_{m})\in \mathbb {R} ^{m}$, so dass

(14) ${\hat {y}}(x)=c_{1}{\stackrel {1}{y}}(x)+\ldots +c_{m}{\stackrel {m}{y}}(x),\quad x\in I$

und folglich

(15) $y(x)=c_{1}y_{1}(x)+\ldots +c_{m}y_{m}(x),\quad x\in I$

richtig ist.

q.e.d.

Satz 4 (Variation der Konstanten)

Sei $\{y_{1},\ldots ,y_{m}\}$ ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung ${\mathcal {L}}(y)=0$. Dann lässt sich die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ${\mathcal {L}}(y)=f(x)$ in der Form

(16) $y(x)=\sum _{k=1}^{m}c_{k}y_{k}(x)+\sum _{k=1}^{m}\left[y_{k}(x)\left(\int \limits _{\xi }^{x}\left\{{\frac {z_{k}(t)}{W(t)}}{\frac {f(t)}{p_{m}(t)}}\right\}\,dx\right)\right],\quad x\in I$

mit Konstanten $c_{1},\ldots ,c_{m}\in \mathbb {R}$ darstellen. Dabei ist der Faktor

(17) $z_{k}(t):=(-1)^{m+k}W(y_{1},\ldots ,y_{k-1},y_{k+1},\ldots ,y_{m}){\bigl |}_{t}$ für $k=1,\ldots ,m$

durch die reduzierte Wronski-Determinante erklärt. Der erste Summand in (16) stellt die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung dar und der zweite gibt eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung an.

Beweis

Aus dem Fundamentalsystem bilden wir die Fundamentallösung

(18) $Y(x):=\left(y_{k}^{(j-1)}\right)_{j,k=1,\ldots ,m}$ mit $Y'(x)=P(x)\circ Y(x),x\in I$.

Gemäß Satz 1 gilt ${\mathcal {L}}(y)=f(x)$ genau dann, wenn die Funktion $\Phi (x)=\left(y(x),y'(x),\ldots ,y^{(m-1)}(x)\right)^{*}$ das System $\Phi '(x)=P(x)\circ \Phi (x)+q(x),x\in I$ löst. Letzteres können wir vollständig mittels Satz 3 aus §7 über inhomogene Differentialgleichungssysteme lösen. Wir ermitteln jedoch direkt eine Lösung der inhomogenen Gleichung durch den Ansatz der Variation der Konstanten

(19) $\Phi (x)=Y(x)\circ c(x)$ mit $c(x)=(c_{1}(x),\ldots ,c_{m}(x))^{*},x\in I$.

Damit erhalten wir

(20) ${\begin{matrix}P(x)\circ \Phi (x)+q(x)=\Phi '(x)=(Y(x)\circ c(x))'=Y'(x)\circ c(x)+Y(x)\circ c'(x)\\=P(x)\circ Y(x)\circ c(x)+Y(x)\circ c(x){\text{ bzw. }}Y(x)\circ c'(x)=q(x)\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ x\in I.\end{matrix}}$

Dieses lineare Gleichungssystem lösen wir mit der Cramerschen Regel und erhalten

(21) $c_{k}'(x)=(-1)^{k+m}{\frac {f(x)}{p_{m}(x)}}{\frac {W(y_{1},\ldots ,y_{k-1},y_{k+1},\ldots ,y_{m})}{W(y_{1},\ldots ,y_{m})}}$ in $I$

für $k=1,\ldots ,m$. Hieraus folgt durch Integration die Behauptung.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Das d'Alambertsche Verfahren der Reduktion der Ordnung
Haben wir bereits eine nullstellenfreie Lösung $u=u(x)\in C^{m}(I)$ der homogenen Differentialgleichung ${\mathcal {L}}(u)=0$ mit $u(x)\neq 0,x\in I$ gefunden, so leiten wir mit einem Produktansatz $y(x)=u(x)v(x),x\in I$ eine Differentialgleichung $(m-1)$-ter Ordnung für deren Ableitung $v'(x)$ her. Hierzu berechnen wir zunächst

$y^{(k)}(x)=\sum _{l=0}^{k}{\binom {k}{l}}v^{(l)}(x)u^{(k-l)}(x)$ für $k=0,\ldots ,m$

und ermitteln dann

(22) ${\begin{matrix}0={\mathcal {L}}(y)=\sum \limits _{k=0}^{m}p_{k}(x)y^{(k)}(x)=\sum \limits _{k=0}^{m}p_{k}(x)\left(\sum \limits _{l=0}^{k}{\binom {k}{l}}v^{(l)}(x)u^{(k-l)}(x)\right)\\=\sum \limits _{k=0}^{m}p_{k}(x)\left(\sum \limits _{l=0}^{k}{\binom {k}{l}}u^{(k-l)}(x)v^{(l)}(x)\right)={\tilde {\mathcal {L}}}(v'(x))\end{matrix}}$

Hierbei stellt ${\tilde {\mathcal {L}}}$ einen linearen Differentialoperator $(m-1)$-ter Ordnung angewandt auf die Funktion $v'(x)$ dar.
2. Wenn die Koeffizienten der Differentialgleichung lokal in Potenzreihen entwickelbar sind, ist auch die Lösung der Differentialgleichung als Potenzreihe darstellbar. Wir haben dann nur die Koeffizienten dieser Potenzreihe zu bestimmen, wenn wir einen Potenzreihenansatz machen.

Beispiel: Die Besselsche Differentialgleichung

Die Untersuchung der Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran führt für die radiale Komponente der Schwingung auf die folgende Differentialgleichung

(23) $x^{2}y''(x)+xy'(x)+(x^{2}-n^{2})y(x)=0,\quad 0<x<+\infty$

mit $n\in \{0,1,2,\ldots \}$. Wir wollen eine Lösung für diese Differentialgleichung ermitteln. Hierzu setzen wir die Potenzreihe $y(x)=\sum _{\nu =0}^{\infty }a_{\nu }x^{\nu }$ mit unbestimmten $a_{\nu }\in \mathbb {R}$ in (23) ein und erhalten

(24) $0=\sum _{\nu =2}^{\infty }\nu (\nu -1)a_{\nu }x^{\nu }+\sum _{\nu =1}^{\infty }\nu a_{\nu }x^{\nu }-n^{2}\sum _{\nu =0}^{\infty }a_{\nu }x^{\nu }+\sum _{\nu =2}^{\infty }a_{\nu -2}x^{\nu }$.

Mittels Koeffizientenvergleich ist diese Gleichung äquivalent zu

(25) $-n^{2}a_{0}=0,\quad (1-n^{2})a_{1}=0,\quad (\nu ^{2}-n^{2})a_{\nu }+a_{\nu -2}=0$ für $\nu =2,3,4,\ldots$.

Wir erhalten die Rekursionsformel

(26) $a_{\nu }=-{\frac {1}{\nu ^{2}-n^{2}}}a_{\nu -2}$ für $\nu =2,3,4,\ldots ,n-1,n+1,n+2,\ldots$.

Setzen wir $a_{n}=a\in \mathbb {R}$, so folgt

(27) $a_{n+2\mu }={\frac {(-1)^{\mu }a}{\prod \limits _{h=1}^{\mu }{\Bigl (}(n+2h)^{2}-n^{2}{\Bigr )}}}={\frac {(-1)^{\mu }a}{2^{2\mu }\mu !\prod \limits _{h=1}^{\mu }(n+h)}}$ für $\mu =0,1,2,\ldots$,

während alle übrigen Koeffizienten der Potenzreihe verschwinden. Somit genügt die Funktion

(28) $y(x)=ax^{n}\sum _{\mu =1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\mu }x^{2\mu }}{2^{2\mu }\mu !(n+1)\cdot (n+2)\cdot \ldots \cdot (n+\mu )}}$

der Besselschen Differentialgleichung (23), wobei $a\in \mathbb {R}$ beliebig ist.