Kurs:Analysis IV/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen

§1 Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung

Definition 1

Auf der offenen Menge $\Omega \subset \mathbb {C}$ sei die Funktion $f=f(z):\Omega \to \mathbb {C}$ erklärt und $z_{0}\in \Omega$ sei ein beliebiger Punkt. Dann heißt $f$ komplex differenzierbar im Punkt $z_{0}$, wenn der Grenzwert

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\neq z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=:f'(z_{0})$

existiert. Wir nennen $f'(z_{0})$ die komplexe Ableitung der Funktion $f$ an der Stelle $z_{0}$. Falls $f'(z)$ für alle $z\in \Omega$ existiert und die Funktion $f':\Omega \to \mathbb {C}$ stetig ist, nennen wir $f$ holomorph in $\Omega$.

§2 Holomorphe Funktionen im $\mathbb {C} ^{n}$

Satz 1 (Cauchy, Riemann)

Seien $\Omega \subset \mathbb {C}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und $f\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {C} )$

(a) $f$ ist in $\Omega$ holomorph;

(b) Realteil und Imaginärteil von $f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ erfüllen das Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungssystem

(1) ${\frac {\partial u(x,y)}{\partial x}}={\frac {\partial v(x,y)}{\partial y}},\quad {\frac {\partial u(x,y)}{\partial y}}=-{\frac {\partial v(x,y)}{\partial x}}$ in $\Omega$;

(c) Für jede geschlossene Kurve $X\in {\mathcal {C}}(\Omega ,P,P)$ mit $P\in \Omega$ gilt

$\int \limits _{X}f(z)\,dz=0;$

(d) es gibt eine holomorphe Funktion $F:\Omega \to \mathbb {C}$ mit

$F'(z)=f(z),\quad z\in \Omega ,$

also eine Stammfunktion $F$ von $f$.

Beweis

1. Die Äquivalenz $(a)\Leftrightarrow (b)$ wurde bereits in §1 gezeigt.

2. Wir zeigen $(b)\Leftrightarrow (c)$. Offenbar ist

$\int \limits _{X}f(z)\,dz=0$ für alle $X\in {\mathcal {C}}(\Omega )$

genau dann erfüllt, wenn gilt

$\int \limits _{X}\omega _{1}=0,\quad \int \limits _{X}\omega _{2}=0$ für alle $X\in {\mathcal {C}}(\Omega )$.

Dies ist wiederum äquivalent zu

$d\omega _{1}=0,\quad d\omega _{2}=0$ in $\Omega$

bzw. zu (1).