Kurs:Computational Physics/Numerik: Differentialquotient

• Differentialquotient numerisch berechnen

Begriffe: Taylorsche Entwicklung, Differentialquotient

Ein Code soll uns den Differentialquotienten berechnen, weil wir ihn nicht durch eine Formel hinschreiben können.

Eine Numerik kann sich nur in die Nähe des Zahlenwertes eines Differentialquotienten kommen. Es gibt uns nicht den wahren Wert aber eine brauchbare Annäherung. Wir schreiben die Taylor-Entwicklung einer Funktion f auf mit dem Störparameter h. Die Störung h verschiebt das Bild von x von f(x) nach f(x+h). Das Ergebnis steht rechts der Formel. Die Taylor-Entwicklung ist sehr wichtig, und man sollte sie sich einprägen.

Taylor-Expansion

(I)

$f(x\pm h)=f(x)\pm f'(x)h+{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}+O(h^{3})$

Der Einfluß der Störung h kann man also nach Potenzen von h ordnen, dabei sind die Koeffizienten Differentialquotienten. Das stellen wir nach f'(x) um. Die Funktion f kann hier die Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ oder die Beschleunigung ${\vec {a}}$ bedeuten.

Differentialquotient:

(II)

$f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+O(h)$

Wir schreiben das nun noch in der symmetrischen Form, das besser ausschaut und den Fehler des Restgliedes auf die 2.Ordnung anhebt.

Symmetrische Form:

(III)

${\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}+O(h^{2})$

Damit ist die Mathematik fertig, um den Differentialquotienten zu berechnen. Der PC hat eine eingebaute Rechnergenauigkeit. Es tun sich Fallen auf, wenn wir nicht aufpassen.

   * h ist klein

Die Formeln II und III rechnen mit etwa gleich großen Zahlen. Nichts schlimmes.

   * h ist groß

Die Formel I hat ein Restglied, das mit der 3.Potenz in h wächst. Ebenso in der Formel II wächst das Restglied O(h2) mit 2.Ordnung.