Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Das
\definitionswort {Kroneckerprodukt}{}
zu Matrizen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { (a_{ij})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B
}
{ =} { (b_{k \ell })_{1 \leq \ell \leq p,\, 1 \leq k \leq r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist durch
\mathdisp {(a_{ij} \cdot b_{k \ell})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq \ell \leq p;\, 1 \leq j \leq n, \, 1 \leq k \leq r }} { }
gegeben.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das \definitionsverweis {Kroneckerprodukt}{}{} der beiden Matrizen \mathkor {} {\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { (a_{ij})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B
}
{ =} { (b_{k \ell })_{1 \leq \ell \leq p,\, 1 \leq k \leq r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
mit den zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
\maabb {A} {K^n } {K^m
} {}
bzw.
\maabb {B} {K^r } {K^p
} {.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
dieser linearen Abbildungen bezüglich der Basen
\mathbed {e_j \otimes e_k} {}
{1 \leq j \leq n,\, 1 \leq k \leq r} {}
{} {} {} {,}
von
\mathl{K^n \otimes K^r}{} und
\mathbed {e_i \otimes e_\ell} {}
{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq \ell \leq p} {}
{} {} {} {,}
von
\mathl{K^m \otimes K^p}{} durch das
\definitionsverweis {Kroneckerprodukt}{}{}
von $A$ und $B$ beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{} des \definitionsverweis {Möbiusbandes}{}{} mit sich selbst ein triviales Geradenbündel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {}
\definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeiten}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} eine orientierte Mannigfaltigkeit ist
\zusatzklammer {wobei die Orientierung von der Ordnung auf \mathlk{\{1,2\}}{} abhängt} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die $1$-Sphäre $S^1$ eine \definitionsverweis {orientierbare}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} ist.
}
{} {}
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeiten}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}
Diese heißt $\varphi$ \definitionswort {orientierungstreu}{,} wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabbdisp {T\varphi} { T_PM } { T_{\varphi(P)} N
} {}
bijektiv und
\definitionsverweis {orientierungstreu}{}{}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {antipodale Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {S^1} {S^1 } {P} {-P } {,} \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Vertauschungsabbildung \maabbeledisp {\varphi} {M \times M} {M \times M } {(P,Q)} {(Q,P) } {,} bezüglich der jeweiligen \definitionsverweis {Produktorientierungen}{}{} nicht \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} der nur aus \definitionsverweis {endlich vielen}{}{} Elementen bestehe. Zeige, dass $X$ \definitionsverweis {kompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y_1 , \ldots , Y_n
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{.}
Zeige, dass auch die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ \bigcup_{i = 1}^n Y_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter Raum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{,}
die die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
trage. Zeige, dass $Y$ ebenfalls kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein nichtleerer
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {X} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {f(x) \geq f(x') \text { für alle } x' \in X} { }
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {S^1 } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen \definitionsverweis {Intervall}{}{} oder zu $S^1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {S^1} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zu einem abgeschlossenen \definitionsverweis {Intervall}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} $\R$ nicht \definitionsverweis {überdeckungskompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die \definitionsverweis {natürlichen Zahlen}{}{} $\N$ und versehen sie mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{.} Zeige, dass $\N$ \definitionsverweis { abgeschlossen}{}{} und \definitionsverweis {beschränkt}{}{,} aber nicht \definitionsverweis { überdeckungskompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {kompakter}{}{} \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass $X$ \definitionsverweis { vollständig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es eine \definitionsverweis {abzählbare Familie}{}{} von \definitionsverweis {offenen Bällen}{}{} im $\R^n$ gibt, die eine \definitionsverweis {Basis der Topologie}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x^2+y^4+z^6 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine kompakte topologische $d$-dimensionale Mannigfaltigkeit,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine stetige surjektive Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {U} {M
} {}
gibt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die $2$-Sphäre $S^2$ eine \definitionsverweis {orientierbare}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Antipodenabbildung}{}{} \maabbeledisp {} {S^2} {S^2 } {(x,y,z)} {(-x,-y,-z) } {,} nicht \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
trage. Es sei $Y$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Zeige, dass $Y$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Es sei $X$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(X)
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ und sei das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V^n
}
{ = }{ V \times \cdots \times V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}
versehen. Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {I} {V^n
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(t)
}
{ =} { (\varphi_1(t), \varphi_2(t) , \ldots , \varphi_n(t))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen
\mathbed {\varphi(t)} {}
{t \in I} {}
{} {} {} {,}
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
auf $V$ repräsentieren.
}
{} {}