Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei offen und sei ein differenzierbares Vektorfeld auf mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt der Vektor zum Tangentialraum an die Faser in an gehört.
Dann verläuft die Lösung zum Anfangswertproblem zu mit der Anfangsbedingung ganz in .
Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei zusammenhängend.
Dann gibt es genau zwei Orientierungen auf .
Es sei eine offene Teilmenge und sei
eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser von zu sei kompakt und in jedem Punkt regulär.
Dann ist die Gauß-Abbildung
surjektiv.
Es sei eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve.
Dann ist die Krümmung von in gleich
wobei
ein Einheitsnormalenvektor in ist.
Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei
ein auf einer offenen Umgebung definiertes Einheitsnormalenfeld zu und sei .
Dann ist für jeden tangentialen Vektor
wobei die Krümmung einer Bogenparametrisierung von ist, die mit der durch gegebenen Orientierung übereinstimmt.
Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei.
Dann ist die Weingartenabbildung in jedem Punkt selbstadjungiert.
Es sei offen, eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei . Es sei eine Normalebene durch an .
Dann ist die Normalkrümmung von in gleich der Krümmung der ebenen Kurve im Punkt .
Es sei , offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei eine differenzierbare Kurve. Es sei , und sei ein Tangentialvektor.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes tangentiales Vektorfeld längs , das parallel ist und
erfüllt.
Es sei , offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei eine differenzierbare Kurve mit und .
Dann ist der Paralleltransport längs eine Isometrie
Es sei offen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei die Faser über einem Punkt . Das totale Differential sei surjektiv für jeden Punkt .
Dann ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension .
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei
eine differenzierbare Abbildung. Es sei , und es sei
die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn und offene Teilmengen sind und die Tangentialräume mit den umgebenden euklidischen Räumen identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich dem totalen Differential .
- Wenn
mit und und
mit und Karten sind, so ist das Diagramm
kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen durch die Isomorphismen bzw. gegeben sind.
- ist - linear.
- Wenn eine weitere
Mannigfaltigkeit,
und
eine weitere differenzierbare Abbildung mit ist, so gilt
- Wenn ein Diffeomorphismus ist, dann ist ein Isomorphismus.
- Für eine
differenzierbare Kurve
mit einem offenen Intervall , und gilt im Tangentialraum die Gleichheit
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension von .
Dann ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass die Inklusion eine differenzierbare Abbildung ist.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und es sei eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension .
Dann ist für jeden Punkt die Tangentialabbildung
injektiv.
D.h. der Tangentialraum ist ein Untervektorraum der Dimension von .
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei
eine differenzierbare Abbildung. Es sei
die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es gibt ein
kommutatives Diagramm
- Für eine Karte
zu offen und mit offen gibt es ein kommutatives Diagramm
- Wenn
und
offene Teilmengen
sind und die Tangentialbündel mit bzw. identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich
- Wenn eine weitere
Mannigfaltigkeit
und
eine weitere differenzierbare Abbildung ist, so gilt
- Die Tangentialabbildung ist stetig.
- Wenn ein Diffeomorphismus ist, so ist ein Homöomorphismus.
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die
Projektionen
und
sind differenzierbare Abbildungen.
- Der Tangentialraum in einem Punkt ist .
- Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung
genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen und differenzierbar sind.
Es sei eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist überdeckungskompakt.
- Jede Folge in besitzt einen Häufungspunkt in .
- Jede Folge in besitzt eine in konvergente Teilfolge.
- ist abgeschlossen und beschränkt.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine offene Teilmenge mit einer Karte
und offen. Es seien
die zugehörigen Koordinatenfunktionen, .
Dann lässt sich jede auf definierte -Differentialform eindeutig schreiben als
mit eindeutig bestimmten Funktionen
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine offene Teilmenge mit einer Karte
und offen. Es seien
die zugehörigen Koordinatenfunktionen, . Es sei
eine differenzierbare Funktion.
Dann gilt für die zugehörige - Differentialform die Darstellung
Es seien und offene Teilmengen, deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei
eine differenzierbare Abbildung und es sei eine - Differentialform auf mit der Darstellung
wobei Funktionen sind.
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
Es seien offene Teilmengen, deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei
eine differenzierbare Abbildung und es sei eine - Differentialform auf mit der Darstellung
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
Es sei eine - dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei eine positive Volumenform auf . Zu einer Karte
mit und einer messbaren Teilmenge setzen wir
- Wenn zwei Kartenumgebungen sind, so ist .
- Zu einer messbaren Teilmenge gibt es eine abzählbare disjunkte Vereinigung derart, dass jedes ganz in einer Karte liegt.
- Die Summe ist unabhängig von der gewählten abzählbaren disjunkten Zerlegung in (2).
Es sei offen und sei
(mit ) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser über regulär sei.
Dann ist die Abbildung
in jedem Punkt eine Isomorphie, wodurch eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf gegeben ist.
Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und die kanonische Volumenform. Es sei
eine orientierte Karte mit offen mit Koordinaten mit der metrischen Fundamentalmatrix und .
Dann ist
Für eine messbare Teilmenge ist
Es sei offen und sei eine - dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform versehen sei. Es sei offen und es sei
ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge .
Dann ist eine Karte von , und auf gilt
Es sei eine abgeschlossene Fläche in einer offenen Menge , die mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Flächenform versehen sei. Es sei offen und es sei
ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge . Die Koordinaten von seien und und wir setzen
Dann gilt auf
Es sei
eine differenzierbare Kurve mit , die einen Diffeomorphismus zu induziere, wobei eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge sei.
Dann ist die zugehörige Rotationsfläche eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ohne die -Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei eine positive Volumenform auf . Es sei
ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit und eine messbare Teilmenge.
Dann ist
Es sei eine orientierte Fläche und sei
, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von mit den Parametern . Es sei die erste Fundamentalmatrix auf .
Dann gilt für die Gaußsche Krümmung unter Verwendung der Christoffelsymbole die Beziehung
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, und es sei
die äußere Ableitung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die äußere Ableitung
ist die Tangentialabbildung.
- Die äußere Ableitung ist - linear.
- Für
und
gilt die Produktregel
- Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform ist .
- Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Für eine
stetig differenzierbare Abbildung
und jedes gilt für die zurückgezogenen Differentialformen
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand der Dimension .
Dann ist der Rand eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) der Dimension .
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, die eine Orientierung trage.
Dann trägt auch die Randmannigfaltigkeit eine kanonische Orientierung, nämlich diejenige, die auf jeder Karte durch die äußere Normale festgelegt ist.
Es sei eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann besitzt eine kompakte Ausschöpfung.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie.
Dann existiert genau dann eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf , wenn orientierbar ist.
Diese Volumenform kann dann auch stetig differenzierbar und positiv gewählt werden.
Es sei ein achsenparalleler -dimensionaler Quader (mit Seiten aber ohne Kanten) mit dem Rand und eine auf definierte stetig-differenzierbare - Differentialform.
Dann ist
Es sei eine - dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei eine stetig differenzierbare - Differentialform mit kompaktem Träger auf .
Dann ist
Es sei eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand .
Dann ist der Flächeninhalt von gleich
Es sei eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und mit abzählbarer Basis der Topologie.
Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung
deren Einschränkung auf die Identität ist.
Es sei
eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im in sich.
Dann besitzt einen Fixpunkt.