Kurs:Diskrete Mathematik/14/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	5	3	4	1	2	4	2	4	2	0	0	0	0	0	8	0	0	41

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}M_{1},\ldots ,M_{k}$ und ${}N_{1},\ldots ,N_{k}$ nichtleere Mengen und

\varphi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow N_{i}

Abbildungen für ${}i=1,\ldots ,k$ . Es sei ${}M=M_{1}\times \cdots \times M_{k}$ , ${}N=N_{1}\times \cdots \times N_{k}$ , und ${}\varphi$ die Produktabbildung, also

\varphi \colon M\longrightarrow N,\,(x_{1},\ldots ,x_{k})\longmapsto (\varphi _{1}(x_{1}),\ldots ,\varphi _{k}(x_{k})).

a) Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn alle ${}\varphi _{i}$ surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Petra hat folgende Informationen über die Erfolge von Deutschland bei Fußballweltmeisterschaften:

Die Fußballweltmeisterschaft findet alle vier Jahre statt.
Deutschland war schon viermal Weltmeister.
Deutschland war zum ersten Mal 1954 und zum letzten Mal 2014 Weltmeister.
Deutschland war nie zweimal hintereinander Weltmeister.

Wie viele Möglichkeiten für die Jahre, in denen Deutschland die zweite bzw. die dritte Weltmeisterschaft gewann, verbleiben?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion, dass für ${}n\geq 10$ die Abschätzung

{}3^{n}\geq n^{4}\,

gilt.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

{\mathfrak {P}}\,(M)\times {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,(A,B)\longmapsto A\setminus B.

Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Ring mit ${}0=1$ der Nullring ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige durch Induktion, dass jede nichtleere Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N}$ ein kleinstes Element besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Formel

{}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,

mit Hilfe des allgemeinen binomischen Lehrsatzes.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

{}x\sim y\,,

wenn

{}f(x)=f(y)\,,

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz von Ore.