Kurs:Diskrete Mathematik/17/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	8	0	0	0	0	0	7	0	0	0	0	0	0	0	0	26

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

In einer U-Bahn-Station wird der Zugang und der Ausgang über eine elektronische Karte geregelt, die man an einen Sensor halten muss, damit sich die Schranke öffnet. Es gibt 5 Ausgänge, aber nur 2 Zugänge. Was haben sich die Leute dabei vermutlich gedacht?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Die Hochschule „Tellerrand“ bietet lediglich ${}4$ Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich ${}2$ -Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es (es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden)? Skizziere ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern wiedergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ endliche Mengen mit ${}\ell ,m$ bzw. ${}n$ Elementen. Wir betrachten die Abbildung

\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(L,N\right)},\,(f,g)\longmapsto g\circ f,

die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist. Zeige, dass ${}\Psi$ genau dann surjektiv ist, wenn

{}m\geq \operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,

ist.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (7 (2+1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${}a,b,g$ folgende Aussagen gelten.

Für teilerfremde ${}a,b$ ist
${}\operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$
Es gibt ${}c,d\in \mathbb {Z}$ mit
$a=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\,\,{\text{ und }}\,\,b=d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b),$

wobei ${}c,d$ teilerfremd sind.
Es ist
${}\operatorname {kgV} \,(ga,gb)=g\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)\,.$
Es ist
${}\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$