Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es sei eine Gruppe.
Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen die beiden Gleichungen
eindeutige Lösungen .
Es sei eine endliche Gruppe.
Dann besitzt jedes Element eine endliche Ordnung.
Die Potenzen
sind alle verschieden.
Es sei eine Gruppe und , , eine Familie von Untergruppen. Dann ist auch der Durchschnitt
eine Untergruppe von .
Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl.
Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl eine eindeutig bestimmte ganze Zahl und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl , , mit
Die Untergruppen von sind genau
die Teilmengen der Form
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl .
Es sei eine zyklische Gruppe.
Dann ist auch jede Untergruppe von zyklisch.
Es sei eine endliche zyklische Gruppe und ein Element.
Dann teilt die Ordnung die Gruppenordnung .
Es seien ganze Zahlen und die davon erzeugte Untergruppe.
Eine ganze Zahl ist ein gemeinsamer Teiler der genau dann, wenn ist, und ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn ist.
Jede Menge von ganzen Zahlen
besitzt einen größten gemeinsamen Teiler , und dieser lässt sich als Linearkombination der darstellen, d.h. es gibt ganze Zahlen mit
Insbesondere gibt es zu teilerfremden ganzen Zahlen eine Darstellung der .
Es seien ganze Zahlen und gegeben.
Dann besitzt die Folge , , der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.
- Es ist oder .
- Es gibt ein (minimales) mit .
- Es ist
für alle
- Sei
der erste Index derart, dass
ist. Dann ist
Zu einer Menge von ganzen Zahlen
existiert genau ein kleinstes gemeinsames Vielfaches ,
und zwar ist der eindeutig bestimmte Erzeuger der Untergruppe
Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist und für jedes .
Es sei eine Gruppe.
Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz
Seien und Gruppen und sei
ein Gruppenisomorphismus.
Dann ist auch die Umkehrabbildung
ein Gruppenisomorphismus.
Ein innerer Automorphismus ist in der Tat
ein Automorphismus.
Die Zuordnung
ist ein Gruppenhomomorphismus.
Es seien und Gruppen.
Ein Gruppenhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern von trivial ist.
Es sei eine Menge und eine Äquivalenzrelation auf mit den Äquivalenzklassen und der Quotientenmenge . Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist genau dann, wenn ist, und dies gilt genau dann, wenn .
- ist eine disjunkte Vereinigung.
- Die
kanonische Projektion
ist surjektiv.
- Es ist .
- Sei eine Abbildung mit für alle mit . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung mit .
Gruppe endlich/Situation und eine Untergruppe von .
Dann ist ihre Kardinalität ein Teiler von .
Es sei eine endliche Gruppe und sei ein Element.
Dann teilt die Ordnung von die Gruppenordnung.
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist der Kern ein Normalteiler in .
Es sei eine Gruppe und ein Normalteiler. Es sei die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und
die kanonische Projektion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es seien und Gruppen, es sei ein Gruppenhomomorphismus und ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
derart, dass ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Es seien und Gruppen und sei
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die kanonische Projektion, ein Gruppenisomorphismus und die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.
Es sei eine Gruppe und ein Normalteiler mit der Restklassengruppe . Es sei ein weiterer Normalteiler in , der umfasst.
Dann ist das Bild von in ein Normalteiler und es gilt die kanonische Isomorphie
Es sei eine endliche Menge mit Elementen.
Dann besitzt die Permutationsgruppe genau Elemente.
Jede Permutation auf einer endlichen Menge
kann man als Produkt von Transpositionen schreiben.
Es sei eine endliche Menge und eine Permutation auf .
Dann gibt es eine Darstellung
wobei die Zykel der Ordnung sind mit disjunkten Wirkungsbereichen.
Dabei ist die Darstellung bis auf die Reihenfolge eindeutig.
Die durch das Signum gegebene Zuordnung
ist ein Gruppenhomomorphismus.
Es sei und sei eine Permutation auf . Es sei
als ein Produkt von Transpositionen geschrieben.
Dann gilt für das Signum die Darstellung
Es sei eine Gruppe und die Gruppe der Bijektionen auf .
Dann ist die Abbildung, die einem Gruppenelement die Linksmultiplikation zuordnet, also
ein injektiver Gruppenhomomorphismus.
Jede Gruppe lässt sich als Untergruppe einer Permutationsgruppe realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.
Es sei
eine eigentliche, lineare Isometrie.
Dann ist eine Drehung,
und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt
mit einem eindeutig bestimmten Drehwinkel .
Es sei eine endliche Untergruppe der linearen Bewegungsgruppe der reellen Ebene.
Dann ist eine zyklische Gruppe.
Es sei
eine eigentliche Isometrie.
Dann ist eine Drehung um eine feste Achse.
Das bedeutet, dass in einer geeigneten Orthonormalbasis durch eine Matrix der Form
beschrieben wird.
Es sei eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des . Zu einer Halbachse von sei
Dann sind für zwei äquivalente Halbachsen und die Gruppen und isomorph.
Insbesondere besitzen sie die gleiche Ordnung.
Es sei eine endliche Untergruppe der Ordnung in der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des . Es seien die verschiedenen Halbachsenklassen zu , und zu jeder dieser Klassen sei , , die Ordnung der Gruppe , , die nach Fakt ***** unabhängig von ist.
Dann ist
und mit besitzt folgende ganzzahlige Lösungen.
- und .
- Bei
gibt es die Möglichkeiten
- und ,
- , und ,
- , , , und ,
- , , , und .
Es sei eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des mit einer fixierten Halbachsenklasse .
Dann ist die Abbildung
Es sei eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des .
Dann ist eine der folgenden Gruppen.
- Eine zyklische Gruppe , ,
- Eine Diedergruppe , ,
- Die Tetraedergruppe ,
- Die Würfelgruppe ,
- Die Ikosaedergruppe .
Es sei ein kommutativer Ring und . Ferner sei eine natürliche Zahl.
Dann gilt
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Nichtnullteiler.
Dann folgt aus einer Gleichung
dass sein muss.
Es sei ein Ring.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
Es sei ein Integritätsbereich.
Dann ist die Charakteristik von null oder eine Primzahl.
Es sei ein Ring und sei der Endomorphismenring der additiven Gruppe .
Dann gibt es einen kanonischen injektiven Ringhomomorphismus
Es sei ein kommutativer Ring.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist ein Körper.
- Es gibt in genau zwei Ideale.
Es seien und kommutative Ringe und sei
ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern
ein Ideal in .
Es seien und kommutative Ringe, es sei ein Ringhomomorphismus und ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
derart, dass ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Es seien und kommutative Ringe und sei
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von Ringen
Es seien und kommutative Ringe und sei
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die kanonische Projektion, ein Ringisomorphismus und die kanonische Inklusion des Bildes ist.
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in mit dem Restklassenring . Es sei ein weiteres Ideal in , das umfasst.
Dann ist das Bild von in ein Ideal und es gilt die kanonische Isomorphie
Es sei eine natürliche Zahl.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf derart, dass die Restklassenabbildung
ein Ringhomomorphismus ist.
ist ein kommutativer Ring mit Elementen (bei ).
Seien und positive natürliche Zahlen, und teile .
Dann gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus
Es sei eine natürliche Zahl und der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist ein Körper.
- ist ein Integritätsbereich.
- ist eine Primzahl.
Für eine Primzahl und eine beliebige ganze Zahl gilt
Anders ausgedrückt: ist durch teilbar.
Es sei eine Primzahl und teile ein Produkt von natürlichen Zahlen .
Dann teilt einen der Faktoren.
Jede natürliche Zahl , , besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
D.h. es gibt eine Darstellung
mit Primzahlen , und dabei sind die Primfaktoren bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Es seien und positive natürliche Zahlen. Dann wird von genau dann geteilt,
wenn für jede Primzahl die Beziehung
gilt.
Es seien und positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen und .
Dann ist
und
Es sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
(die seien also verschieden und ).
Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen einen Ringisomorphismus
Zu gegebenen ganzen Zahlen gibt es also genau eine natürliche Zahl , die die simultanen Kongruenzen
löst.
Es sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung (die seien also verschieden und ).
Dann gibt es einen kanonischen Gruppenisomorphismus
Insbesondere ist eine Zahl genau dann eine Einheit modulo , wenn sie eine Einheit modulo ist für .
Genau dann ist eine Einheit modulo (d.h. repräsentiert eine Einheit in ), wenn und teilerfremd sind.
Es sei eine natürliche Zahl.
Dann gilt für jede zu teilerfremde Zahl die Beziehung
Es sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
(die seien also verschieden und ).
Dann ist
Es sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Es sei ein weiterer kommutativer Ring und es sei ein Ringhomomorphismus und ein Element.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mit und mit , wobei die kanonische Einbettung ist.
Dabei geht das Polynom auf .
Es sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Es sei , wobei eine Einheit in sei.
Dann gibt es einen Ringisomorphismus
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien Polynome mit .
Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome mit
Ein Polynomring über einem Körper
ist ein Hauptidealbereich.
In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
Es sei ein Hauptidealring. Dann gilt:
Elemente besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler , und dieser lässt sich als Linearkombination der darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .
Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente eine Darstellung der .
Es sei ein Hauptidealbereich und . Es seien und teilerfremd und teile das Produkt . Dann teilt den Faktor .
Es sei ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,
wenn es irreduzibel ist.
In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit als ein Produkt von irreduziblen Elementen darstellen.
Es sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
- ist ein Primelement.
- ist ein Integritätsbereich.
- ist ein Körper.
Es sei ein Hauptidealbereich und , , ein Element mit kanonischer Primfaktorzerlegung
Dann gilt für den Restklassenring die kanonische Isomorphie
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom und .
Dann ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom () vom Grad .
Dann besitzt maximal Nullstellen.
Es sei eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers .
Dann ist zyklisch.
Es sei ein endlicher Körper.
Dann besitzt genau Elemente, wobei eine Primzahl ist und .
Es sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Es sei
ein injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper .
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mit
wobei die kanonische Einbettung
bezeichnet.
Es sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Es sei ein Primelement.
Dann ist auch in prim.
Es sei ein faktorieller Bereich und der zugehörige Quotientenkörper. Es sei ein nicht-konstantes Polynom derart, dass in nur Faktorzerlegungen mit möglich sind.
Dann ist irreduzibel in .
Es sei ein faktorieller Bereich.
Dann ist auch der Polynomring faktoriell.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom vom Grad und der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von in mit ).
- Man kann stets als normiert annehmen (also ; das werden wir im Folgenden tun).
- In ist .
- Höhere Potenzen , , kann man mit den Potenzen , , ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
- Die Potenzen bilden eine -Basis von .
- ist ein -Vektorraum der Dimension .
- In werden zwei Elemente und komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.
Es sei ein Körper, eine - Algebra und ein Element. Es sei das Minimalpolynom von über .
Dann ist der Kern des kanonischen - Algebrahomomorphismus
das von erzeugte Hauptideal.
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist algebraisch über .
- Es gibt ein normiertes Polynom mit .
- Es besteht eine
lineare Abhängigkeit
zwischen den Potenzen
- Die von über erzeugte -Algebra hat endliche -Dimension.
- liegt in einer endlichdimensionalen -Algebra .
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element.
Dann ist die von erzeugte -Algebra ein Körper.
Es sei eine Körpererweiterung und sei der algebraische Abschluss von in .
Dann ist ein Unterkörper von .
Es sei eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen.
Dann ist isomorph zu oder zu .
Es sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper und sei ein Polynom. Es sei ein Primelement mit der Eigenschaft, dass den Leitkoeffizienten nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass nicht den konstanten Koeffizienten teilt.
Dann ist irreduzibel in .
Es seien und endliche Körpererweiterungen.
Dann ist auch eine endliche Körpererweiterung und es gilt
Es sei ein Körper und sei ein Polynom. Es seien und zwei Zerfällungskörper von .
Dann gibt es einen - Algebraisomorphismus
Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.
Es sei eine Primzahl und .
Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit Elementen.
In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.
- Zu einer Geraden und zwei Punkten kann man die zu senkrechte Gerade zeichnen, die die Strecke zwischen und halbiert.
- Zu einer Geraden und einem Punkt kann man die zu senkrechte Gerade durch zeichnen.
- Zu einer Geraden und einem Punkt kann man die zu senkrechte Gerade durch zeichnen.
- Zu einer gegebenen Geraden und einem gegebenen Punkt kann man die Gerade durch zeichnen, die zu parallel ist.
Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von .
Es sei eine mit zwei Punkten und markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel aus mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.
Es sei ein Rechteck in der Ebene gegeben.
Dann lässt sich mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruieren.
Es sei eine komplexe Zahl. Dann ist eine konstruierbare Zahl genau dann,
wenn es eine Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen
derart ist, dass die Koordinaten von zu gehören.
Eine mit Zirkel und Lineal konstruierbare Zahl
ist algebraisch.
Es sei eine konstruierbare Zahl.
Dann ist der Grad des Minimalpolynoms von eine Potenz von zwei.
Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
Es sei .
Die Nullstellen des Polynoms über sind
In gilt die Faktorisierung
Es sei .
Dann gilt in die Gleichung
Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome
liegen in .
Die Kreisteilungspolynome sind irreduzibel über .
Der -te Kreisteilungskörper über hat die Beschreibung
wobei das -te Kreisteilungspolynom bezeichnet.
Der Grad des -ten Kreisteilungskörpers ist .
Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.
Bei einer Fermatschen Primzahl hat der Exponent die Form mit einem .
Ein reguläres -Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von die Gestalt
hat, wobei die verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.