Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Arbeitsblatt 4

Aufgabe

Es sei das arithmetische Alphabet ${}\{0,1,+,\cdot \}$ zusammen mit der Variablenmenge ${}\{x,y\}$ gegeben. Interpretiere den Term

$((0+1)+x)\cdot (1+(y+1))$

unter den folgenden Interpretationen.

1. ${}M=\mathbb {N}$ mit der Standardinterpretation und der Variablenbelegung ${}I(x)=5$ und ${}I(y)=3$.
2. ${}M=\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )$ mit der Standardinterpretation

   $I(0)={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\,I(1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

   und der üblichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation und der Variablenbelegung ${}I(x)={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$ und ${}I(y)={\begin{pmatrix}3&-2\\0&5\end{pmatrix}}$.

3. ${}M=\mathbb {N}$, mit

   $I(0)=1,\,I(1)=4,\,I(x)=2,\,I(y)=1,$

   und wo ${}+$ als Multiplikation und ${}\cdot$ als Addition interpretiert wird.
4. ${}M=\mathbb {Z}$, mit

   $I(0)=5,\,I(1)=-1,\,I(x)=0,\,I(y)=0,$

   und wo sowohl ${}+$ als auch ${}\cdot$ als Subtraktion interpretiert werden.
5. ${}M=$ Potenzmenge von ${}\{1,2,3,4,5\}$ mit

   $I(0)=\emptyset ,\,I(1)=\{1,2,3,4,5\},\,I(x)=\emptyset ,\,I(y)=\{2,4\},$

   und wo ${}+$ als ${}\cup$ und ${}\cdot$ als ${}\cap$ interpretiert wird.

Aufgabe

Es sei das arithmetische Alphabet ${}\{0,1,+,\cdot \}$ zusammen mit der Variablenmenge ${}\{x,y\}$ gegeben. Interpretiere den Ausdruck

$\forall x\exists y(x=y+y\vee x+1=y+y)$

unter den in Aufgabe 4.1 angeführten Interpretationen und überprüfe die Gültigkeit.

Aufgabe

Erstelle einen prädikatenlogischen Ausdruck ${}\alpha$, der in einer Struktur genau dann gilt, wenn die Grundmenge der Struktur genau ${}7$ Elemente besitzt.

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