Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 21

Übungsaufgaben

Aufgabe

Beschreibe für die in Vorlesung 18 besprochenen Registerprogramme die Konfigurationsfolge bei Nulleingabe.

Aufgabe

Erstelle für das Registerprogramm (mit keinem Register und leerer Anfangsbelegung)

1. Halte an

den zugehörigen arithmetischen Ausdruck, der die Anhalteeigenschaft beschreibt.

Aufgabe

Erstelle für das Registerprogramm (mit zwei Registern ${}R_{1},R_{2}$ und leerer Anfangsbelegung)

1. ${}1+$
2. ${}2-$
3. Halte an

den zugehörigen arithmetischen Ausdruck, der die Anhalteeigenschaft beschreibt.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet und ${}L^{S}$ die zugehörige Sprache erster Stufe, wobei die Sprache zumindest eine Variable besitzen möge. Es sei ${}T\subseteq L_{0}^{S}$ eine Theorie. Zeige, dass ${}T$ genau dann widersprüchlich ist, wenn ${}T=L_{0}^{S}$ ist.

Aufgabe

Kann es ein Entscheidungsverfahren für mathematisch relevante Untertheorien ${}T\subseteq L_{0}^{\rm {Ar}}$ geben?

Aufgabe

Kann es ein Entscheidungsverfahren für die Symbolalphabete ${}\{0,1,+\}$ bzw. ${}\{0,1,\cdot \}$ (jeweils mit Variablen) geben? Wo geht bei der Arithmetisierung der Registerprogramme die Addition und wo die Multiplikation ein?

Aufgabe

Gibt es offene zahlentheoretische Probleme, die ohne Bezug auf die Addition oder ohne Bezug auf die Multiplikation formuliert werden können?

Aufgabe

Kann es mathematische Probleme innerhalb entscheidbarer Theorien geben?

Aufgabe

Zeige, dass eine endlich axiomatisierbare Theorie auch durch einen einzigen Ausdruck axiomatisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq L^{S}$ eine aufzählbar axiomatisierbare Theorie und ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in L^{S}$. Zeige, dass dann auch

${}T'={\left(T\cup \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}\right)}^{\vdash }\,$

aufzählbar axiomatisierbar ist.

Aufgabe

Es seien ${}T_{1},T_{2}\subseteq L^{S}$ aufzählbar axiomatisierbare Theorien. Zeige, dass dann auch ${}(T_{1}\cup T_{2})^{\vdash }$ aufzählbar ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die erststufige Peano-Arithmetik ${}PA$ eine vollständige widerspruchsfreie erststufige Erweiterung ${}M$, also ${}PA\subseteq M\subseteq L_{0}^{\rm {Ar}}$, besitzt, die von ${}\mathbb {N} _{0}^{\vDash }$ verschieden ist.

Aufgabe

Entwerfe ein ${}R$-Entscheidungsverfahren dafür, ob die Goldbach-Vermutung aus der erststufigen Peano-Arithmetik ableitbar ist.

Tipp: Verwende Aufgabe 19.10, Aufgabe 21.15 und Lemma 21.9.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Erstelle für das Registerprogramm (mit zwei Registern ${}R_{1},R_{2}$ und leerer Anfangsbelegung)

1. ${}1+$
2. ${}C(2,1)$
3. Halte an

den zugehörigen arithmetischen Ausdruck, der die Anhalteeigenschaft beschreibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Begründe, dass die (durch die erststufigen Peano-Axiome definierte) Peano-Arithmetik aufzählbar-axiomatisierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es zwischen der erststufigen Peano-Arithmetik und der Standardarithmetik unendlich viele Theorien gibt.