Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Diese Vorlesung versteht keine Sau}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Negiere die Aussage \anfuehrung{Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß}{} durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man formalisiere die folgenden Aussagen, indem man geeignete Prädikate erklärt. Man gebe die Negation der Aussagen \zusatzklammer {umgangssprachlich und formal} {} {} an. \aufzaehlungneun{Alle Vögel sind schon da. }{Alle Wege führen nach Rom. }{Faulheit ist aller Laster Anfang. }{Alle Menschen werden Brüder, wo dein sanfter Flügel weilt. }{Wem der große Wurf gelungen, eines Freundes Freund zu sein, wer ein holdes Weib errungen, mische seinen Jubel ein!\zusatzfussnote {Dieser Satz ist im Konjunktiv formuliert, was eher auf eine Aufforderung hindeutet als auf eine Aussage. Man kann hier \anfuehrung{soll mischen}{} als Prädikat nehmen und damit arbeiten.} {} {} }{Freude trinken alle Wesen an den Brüsten der Natur. }{Alle Macht geht vom Volk aus. }{Alle Achtung. }{Alle Neune. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $S$ das
\definitionsverweis {erststufige Symbolalphabet}{}{,}
das aus den Variablen
\mathl{x,y,z}{,} den Konstanten
\mathl{0,c}{,} dem einstelligen Funktionssymbol $F$, den zweistelligen Funktionssymbolen $\alpha, \beta$ und dem zweistelligen Relationssymbol
\mathl{R}{} bestehe. Überprüfe, ob die folgenden Wörter zur Sprache $L^ S$
\zusatzklammer {bei korrekter Klammerung} {} {}
gehören.
\aufzaehlungacht{
\mathl{Fx}{,}
}{
\mathl{\forall x { \left( Fx = c \right) }}{,}
}{
\mathl{x=w}{,}
}{
\mathl{{ \left( Fx = c \right) } \rightarrow { \left( \alpha \right) }}{,}
}{
\mathl{{ \left( Fx = c \right) } \rightarrow { \left( \neg { \left( \exists y { \left( Fx = c \right) } \right) } \right) }}{,}
}{
\mathl{R0}{,}
}{
\mathl{{ \left( \forall z { \left( R0x \right) } \right) } \wedge { \left( \neg { \left( \beta \alpha y z y = Rcz \right) } \right) }}{,}
}{
\mathl{{ \left( \forall z { \left( R0x \right) } \right) } \wedge { \left( \neg { \left( \beta \alpha y z y = \beta cz \right) } \right) }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die kleinsten Symbolmengen, mit denen die folgenden Ausdrücke formulierbar sind. \aufzaehlungdrei{ $\exists y { \left( fx = y \right) }$, }{ $\forall x { \left( fx = g yc \right) } \wedge \exists z { \left( R z x y \right) }$, }{ $\forall x \exists y S x huy$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe für die folgenden Teilmengen der natürlichen Zahlen quantorenlogische Beschreibungen. \aufzaehlungsechs{Die Menge der geraden Zahlen, }{Die Menge der Zahlen, die durch vier teilbar sind, }{Die Menge der ungeraden Zahlen, }{Die Menge der Quadratzahlen, }{Die Menge der Primzahlen, }{Die Menge der Zahlen, die als Summe von drei Quadratzahlen geschrieben werden können. }
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe geht es nicht um die Wahrheit der Aussagen, sondern nur um die quantorenlogische Formulierung. Man darf und soll sich natürlich trotzdem Gedanken über die Gültigkeit machen.
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere die folgenden Aussagen über die natürlichen Zahlen $\N=\{0,1,2,3, \ldots \}$ allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren. \aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf { $5 \geq 3$. }{ $5 > 3$. }{ $5 \leq 3$. }{ $7$ ist eine Primzahl. }{ $8$ ist eine Primzahl. } } {\itemfuenf { $8$ ist keine Primzahl. }{ Jede natürliche Zahl besitzt mindestens einen Primfaktor.}{ Jede natürliche Zahl größer gleich $2$ besitzt mindestens einen Primfaktor. }{ Wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, so teilt sie auch mindestens einen der Faktoren. }{ Es gibt Zahlen, die ein Produkt teilen, obwohl sie keinen der Faktoren teilen.} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere die folgenden Beziehungen \zusatzklammer {ein- oder mehrstellige Prädikate} {} {} innerhalb der natürlichen Zahlen $\N=\{0,1,2,3, \ldots \}$ allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren. \aufzaehlungneun{ $x \geq y$. }{ $x> y$. }{ $x$ teilt $y$. }{ $x$ teilt nicht $y$. }{ $x$ ist eine Quadratzahl. }{ $x$ ist eine Primzahl. }{ $x$ ist keine Primzahl. }{ $x$ ist das Produkt von genau zwei verschiedenen Primzahlen. }{ $x$ wird von einer Primzahl geteilt.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formalisiere die folgenden mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen in der Prädikatenlogik erster Stufe. \aufzaehlungfuenf{Modus Barbara: Aus $B \subseteq A$ und $C \subseteq B$ folgt $C \subseteq A$. }{Modus Celarent: Aus $B \cap A = \emptyset$ und $C \subseteq B$ folgt $C \cap A = \emptyset$. }{Modus Darii: Aus $B \subseteq A$ und $C \cap B \neq \emptyset$ folgt $C \cap A \neq \emptyset$. }{Modus Ferio: Aus $B \cap A = \emptyset$ und $C \cap B \neq \emptyset$ folgt $C \not \subseteq A$. }{Modus Baroco: Aus $B \subseteq A$ und $B \not \subseteq C$ folgt $A \not \subseteq C$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde Parallelen zwischen Aussagen- und Quantorenlogik einerseits und Mengentheorie andererseits.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich den Unterschied zwischen den \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{} in der Sprache der Aussagenlogik und den Variablen in der Sprache der Prädikatenlogik klar.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formalisiere in der arithmetischen Sprache (mit
\mathkor {} {+} {und} {\cdot} {)} die folgenden (wahren) Aussagen.
\aufzaehlungvier{Wenn $x \geq y$ und $y \geq z$, so ist
\mathl{x \geq z}{.}
}{Wenn $x \geq y$ und $y \geq x$ gilt, so ist
\mathl{x= y}{.}
}{Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl.
}{Eine natürliche Zahl, für die es keine kleinere natürliche Zahl gibt, ist gleich $0$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formalisiere in der arithmetischen Sprache die folgenden wahren Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Es gibt unendlich viele Primzahlen.
} {Jede natürliche Zahl
\mathl{\geq 2}{} wird von einer Primzahl geteilt.
}
}
{} {}
Wie sieht es mit der Aussage aus, dass jede natürliche Zahl eine Primfaktorzerlegung besitzt?
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle einen prädikatenlogischen Ausdruck $\alpha$, der in einer Struktur genau dann gilt, wenn die Grundmenge der Struktur genau $7$ Elemente besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Das Symbolalphabet $S$ bestehe neben Variablen aus dem einzigen einstelligen Funktionssymbol $f$. Finde für die folgenden Ausdrücke aus $L^S$ jeweils
\definitionsverweis {Interpretationen}{}{,}
in denen der Ausdruck gilt, und Interpretationen, in denen er nicht gilt.
\aufzaehlungvier{
\mathl{\forall x (x =fffx)}{.}
}{
\mathl{\exists x (x =fffx)}{.}
}{
\mathl{\forall x (fx =fffx)}{.}
}{
\mathl{\forall x (x =ffx) \wedge \forall x( \neg (x =fx))}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formalisiere mit dem
\definitionsverweis {Symbolalphabet}{}{,}
das neben Variablen aus
\mathl{\{f,g\}}{} besteht, wobei
\mathl{f,g}{} einstellige Funktionssymbole sind, die Aussage, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von
\definitionsverweis {injektiven Abbildungen}{}{}
auf einer Menge wieder injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei ein
\definitionsverweis {Symbolalphabet}{}{}
$S$ erster Stufe mit der Variablenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {\{x,y,z,w\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben und eine
$S$-\definitionsverweis {Interpretation}{}{}
$I$ in der Menge $\R$ mit
\mathdisp {I(x)= 5,\, I(y)= \pi, \, I(z) = -\sqrt{2}, \, I(w) = -3} { . }
Bestimme die Werte von
\mathl{x,y,z,w}{} bei der Interpretation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \defeq }{ I { \frac{ e , -\sqrt{2} , { \frac{ 4 }{ 7 } } , I(x) }{ x,z,x,y } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $V$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{K=\{E,m,c\}}{} eine Konstantenmenge, $Q$ ein einstelliges Funktionssymbol und $P$ ein zweistelliges Funktionssymbol. Es sei $I$ die Interpretation mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als Grundmenge, bei der $Q$ als Quadrieren, $P$ als Multiplikation und die Konstanten als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I(E)
}
{ = }{9 000 000 000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I(m)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I(c)
}
{ = }{300 000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
interpretiert wird. Ist der Ausdruck
\mathdisp {E = P m Q c} { }
unter dieser Interpretation gültig?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei das arithmetische Alphabet
\mathl{\{0,1,+,\cdot\}}{} zusammen mit der Variablenmenge
\mathl{\{x,y\}}{} gegeben. Interpretiere den Term
\mathdisp {((0+1)+x) \cdot (1+(y+1))} { }
unter den folgenden Interpretationen.
\aufzaehlungfuenf{
\mathl{M=\N}{} mit der Standardinterpretation und der Variablenbelegung
\mathl{I(x)=5}{} und
\mathl{I(y)=3}{.}
}{
\mathl{M= \operatorname{Mat}_{ 2 } (\R)}{} mit der Standardinterpretation
\mathdisp {I(0)= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \, I(1)= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
und der üblichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation und der Variablenbelegung
\mathl{I(x)= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}}{} und
\mathl{I(y)=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}}{.}
}{
\mathl{M=\N}{,} mit
\mathdisp {I(0)=1,\, I(1) =4,\, I(x)=2, \, I(y)=1} { , }
und wo $+$ als Multiplikation und $\cdot$ als Addition interpretiert wird.
}{
\mathl{M=\Z}{,} mit
\mathdisp {I(0)=5,\, I(1) =-1,\, I(x)=0, \, I(y)=0} { , }
und wo sowohl $+$ als auch $\cdot$ als Subtraktion interpretiert werden.
}{
\mathl{M=}{}
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} von
\mathl{\{1,2,3,4,5\}}{} mit
\mathdisp {I(0)=\emptyset ,\, I(1) = \{1,2,3,4,5\} ,\, I(x) = \emptyset , \, I(y)=\{2,4\}} { , }
und wo $+$ als $\cup$ und $\cdot$ als $\cap$ interpretiert wird.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $N$ ein einstelliges Funktionssymbol, $F$ ein zweistelliges Funktionssymbol, $0$ sei eine Konstante und
\mathl{x,y}{} seien Variablen. Interpretiere den Term
\mathdisp {NFN0NFxy} { }
unter den folgenden Interpretationen, wobei $M$ die Grundmenge der Interpretation bezeichne.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$N$ ist die Nachfolgerfunktion, $F$ die Addition,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I(x)
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I(y)
}
{ = }{ 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$N$ ist das Quadrieren, $F$ die Multiplikation,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I(0)
}
{ = }{-2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I(x)
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I(y)
}
{ = }{ { \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ C^\infty(\R,\R)
}
{ = }{ { \left\{ f:\R \rightarrow \R \mid f \text{ unendlich oft differenzierbar} \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$N$ ist das Differenzieren von Funktionen, $F$ die Multiplikation von Funktionen,
\mathl{I(0)}{} ist die Identität,
\mathl{I(x)}{} ist die Sinusfunktion und
\mathl{I(y)}{} ist die Exponentialfunktion zur Basis $e$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei das arithmetische Alphabet
\mathl{\{0,1,+,\cdot\}}{} zusammen mit der Variablenmenge
\mathl{\{x,y\}}{} gegeben. Interpretiere den Ausdruck
\mathdisp {\forall x \exists y ( x = y+y \vee x+1 = y+y )} { }
unter den in
Aufgabe 7.19
angeführten Interpretationen und überprüfe die Gültigkeit.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $L^S$ die
\definitionsverweis {prädikatenlogische Sprache}{}{,}
die neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol $A$ und einem dreistelligen Relationssymbol $B$ bestehe. Wir betrachten
$S$-\definitionsverweis {Interpretationen}{}{}
$I$, wobei die Grundmenge jeweils aus einem
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ bestehe und $A$ als die
\definitionsverweis {lineare Unabhängigkeit}{}{}
von zwei und $B$ als die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren interpretiert werde.
\aufzaehlungfuenf{Zeige
\mathdisp {I \vDash Bxyz \rightarrow Axy} { . }
}{Gilt
\mathdisp {I \vDash Axy \wedge Axz \wedge Ayz \rightarrow Bxyz} { }
für einen beliebigen Vektorraum?
}{Gibt es Vektorräume, für die die Aussage in Teil 2 gilt?
}{Es sei
\mathl{V= \R^3}{} und
\mathl{e_1,e_2,e_3}{} sei die Standardbasis. Gilt
\mathdisp {I { \frac{ e_1,e_2,e_3 }{ x,y,z } } \vDash Bxyz} { ? }
}{Es sei
\mathl{V=\R}{} als $\Q$-Vektorraum betrachtet. Gilt
\mathdisp {I { \frac{ 1, \sqrt{2} }{ x,y } } \vDash Axy} { ? }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\N} {\Z
} {}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(n)
}
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ n }{ 2 } }\, , \text{ falls } n \text { gerade}\, , \\ - { \frac{ n+1 }{ 2 } }\, , \text{ falls } n \text { ungerade}\, ,\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
$\varphi^{-1}$. Auf $\Z$ seien die zweistelligen Funktionen
\mathkor {} {\circ} {und} {\heartsuit} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m \circ n
}
{ \defeq} { \varphi (\varphi^{-1} (m) + \varphi^{-1} (n))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m \heartsuit n
}
{ \defeq} { \varphi (\varphi^{-1} (m) \cdot \varphi^{-1} (n))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben, wobei
\mathkor {} {+} {und} {\cdot} {}
die üblichen Verknüpfungen auf $\N$ seien. Die Menge $\Z$ zusammen mit diesen Verknüpfungen nennen wir $M$.
a) Berechne in $M$
\mathdisp {( 5 \heartsuit (-2)) \circ ((-6) \heartsuit 3)} { . }
b) Es sei $S$ das Symbolalphabet, das aus den Variablen
\mathl{x,y}{,} einer Konstanten $c$ und zwei zweistelligen Funktionssymbolen
\mathl{\alpha , \beta}{} bestehe. Es sei $I$ die Interpretation von $L^S$ in $M$, die $\alpha$ als $\circ$, $\beta$ als $\heartsuit$, $c$ als $1$ und die Variablen als $2$ interpretiere. Berechne
$I(t)$
für den Term
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} { \beta \alpha c c \beta x c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Gilt bei der Interpretation $I$ der Ausdruck
\mathdisp {\forall x { \left( \exists y { \left( c \circ y = x \right) } \right) }} { ? }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $S$ das
\definitionsverweis {erststufige Symbolalphabet}{}{,}
das aus den Variablen
\mathl{x,y,z}{,} den Konstanten
\mathl{0,1 , 2}{,} den einstelligen Funktionssymbolen $F,G$, den zweistelligen Funktionssymbolen $\alpha, \beta$, den einstelligen Relationssymbolen $P,Q$ und dem zweistelligen Relationssymbol
\mathl{R}{} bestehe. Überprüfe, ob die folgenden Wörter zur Sprache $L^S$
\zusatzklammer {bei korrekter Klammerung} {} {}
gehören.
\aufzaehlungacht{
\mathl{Fx=P2}{,}
}{
\mathl{Fx=G1}{,}
}{
\mathl{\forall x { \left( 0 = 1 \right) }}{,}
}{
\mathl{{ \left( \beta 12 = 22 \right) } \rightarrow { \left( Q0 \right) }}{,}
}{
\mathl{{ \left( Fx = 1 \right) } \rightarrow { \left( \neg { \left( G2 = 0 \right) } \right) }}{,}
}{
\mathl{\exists 0 { \left( P0 \right) }}{,}
}{
\mathl{{ \left( \exists x { \left( R0x \right) } \right) } \wedge { \left( \neg { \left( \alpha \beta 012 = Rcz \right) } \right) }}{,}
}{
\mathl{{ \left( R \alpha 0x G y \right) } \wedge { \left( \neg Q1 \right) }}{.}
}
}
{Es genügt, die korrekten Ausdrücke aufzuschreiben; Punkte gibt es nur bei einer komplett richtigen Lösung.} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $S$ ein
\definitionsverweis {Symbolalphabet}{}{}
einer Sprache erster Stufe, $T$ die Menge der
$S$-\definitionsverweis {Terme}{}{}
und $I$ eine
$S$-\definitionsverweis {Interpretation}{}{.}
Zeige, dass auf $T$ durch
\mathdisp {s \sim t, \text{ falls } I(s)=I(t)} { , }
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Schreibe die folgenden Aussagen mit Quantoren: \aufzaehlungvier{Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. }{Für jede natürliche Zahl gibt es eine kleinere natürliche Zahl. }{Es gibt eine natürliche Zahl, die größer oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist. }{Es gibt eine natürliche Zahl, die kleiner oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist. } Welche sind wahr, welche falsch?
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Formalisiere mit dem
\definitionsverweis {Symbolalphabet}{}{,}
das neben Variablen aus
\mathl{\{f,g\}}{} besteht, wobei
\mathl{f,g}{} einstellige Funktionssymbole sind, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von
\definitionsverweis {surjektiven Abbildungen}{}{}
auf einer Menge wieder surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Formalisiere in der arithmetischen Sprache die folgenden zahlentheoretischen Vermutungen. \aufzaehlungdrei{Die Goldbach-Vermutung. }{Die Vermutung über die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge. }{Die Vermutung über die Unendlichkeit der Mersenne-Primzahlen. }
}
{} {Man beachte bei (3), dass das Potenzieren mit einem unbekannten Exponenten nicht zur arithmetischen Sprache gehört.}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei das arithmetische Alphabet
\mathl{\{0,1,+,\cdot\}}{} zusammen mit der Variablenmenge
\mathl{\{x,y\}}{} gegeben. Interpretiere den Term
\mathdisp {((0+x)+1) \cdot (1+( (y \cdot x) +1))} { }
unter den folgenden Interpretationen.
\aufzaehlungvier{
\mathl{M=\N}{} mit der Standardinterpretation und der Variablenbelegung
\mathl{I(x)=7}{} und
\mathl{I(y)=2}{.}
}{
\mathl{M= \operatorname{Mat}_{ 2 } (\R)}{} mit der Standardinterpretation
\mathdisp {I(0)= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \, I(1)= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
und der üblichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation und der Variablenbelegung
\mathl{I(x)= \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}}{} und
\mathl{I(y)=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}}{.}
}{
\mathl{M=\Z}{,} mit
\mathdisp {I(0)=6,\, I(1) =-4,\, I(x)=0, \, I(y)=5} { , }
und wo sowohl $+$ als auch $\cdot$ als Subtraktion interpretiert werden.
}{
\mathl{M=}{}
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
von
\mathl{\{1,2,3,4,5,6\}}{} mit
\mathdisp {I(0)=\{5,6\} ,\, I(1) = \{1,2,3,4,5,6\} ,\, I(x) = \emptyset , \, I(y)=\{1,3,5\}} { , }
und wo $+$ als $\cup$ und $\cdot$ als $\cap$ interpretiert wird.
}
}
{} {}