Kurs:Elementare Algebra/4/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 12 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Ordnung} {}
eines Elementes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$.
}{Ein \stichwort {Nichtnullteiler} {} $a$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.
}{Ein \stichwort {Körper} {} $K$.
}{Die
\stichwort {eulersche Funktion} {}
\mathl{\varphi(n)}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der
\stichwort {Zerfällungskörper} {}
zu einem Polynom
\mathl{F \in K[X]}{} über einem Körper $K$.
}{Eine
\stichwort {konstruierbare} {}
Zahl
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {.}}{Der Satz über die Faktorzerlegung im Quotientenkörper
\mathl{K=Q(R)}{} zu einem faktoriellen Bereich $R$.}{Der Satz über die Winkeldreiteilung.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $10868$ und $9243$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[X]}{} der Polynomring über $K$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass $K[X]$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und ein Element
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,}
an, für das
\mathkor {} {nx=0} {und} {x^n =0} {}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
a) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 9 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
b) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 99 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{12 (3+5+3+1)}
{
Es seien
\mathl{R_1, R_2 , \ldots , R_n}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Produktring}{}{.}
\aufzaehlungvier{Es seien
\mathdisp {I_1 \subseteq R_1, I_2 \subseteq R_2 , \ldots , I_n \subseteq R_n} { }
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige, dass die Produktmenge
\mathdisp {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n} { }
ein Ideal in $R$ ist.
}{Zeige, dass jedes Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {
I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Idealen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_j
}
{ \subseteq }{ R_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} { I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_j$ Hauptideale sind.
}{Zeige, dass $R$ genau dann ein
\definitionsverweis {Hauptidealring}{}{}
ist, wenn alle $R_j$ Hauptidealringe sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
a) Zeige, dass
\mathl{X^3+X^2+2}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Z/(3) [X]$ ist.
b) Bestimme die
\definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {{ \frac{ X^4 }{ { \left( X^3+X^2+2 \right) }^2 } }} { }
in
\mathl{\Z/(3) (X)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme in $\Q[ { \mathrm i} ]$ das multiplikative Inverse von
\mathdisp {\frac{3}{7} + \frac{2}{5} { \mathrm i}} { . }
Die Antwort muss in der Form $p+q { \mathrm i}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p,q
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in gekürzter Form sein.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (3+5)}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p,q
}
{ \in }{ \Q_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \sqrt{p} + \sqrt{q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass es ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { X^4 + c X^2 + d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
b) Es seien nun zusätzlich
\mathkor {} {p} {und} {q} {}
verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom $G$ aus Teil a) das Minimalpolynom zu $f$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
die Potenz
\mathl{a^b}{} nicht konstruierbar sein muss.
}
{} {}