%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 4 }

\renewcommand{\azwei}{ 4 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 2 }

\renewcommand{\azehn}{ 5 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 12 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 65 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Eine \stichwort {Gruppe} {} $G$.

}{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}

}{Ein \stichwort {Nichtnullteiler} {} $a$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.

}{Ein \stichwort {Körper} {} $K$.

}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}

}{Ein \stichwort {Primelement} {}
\mathl{p \in R, \, p \neq 0}{,} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.

}{Ein \stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.

}{Ein \stichwort {Ringhomomorphismus} {} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} zwischen \definitionsverweis {Ringen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Die \stichwort {allgemeine binomische Formel} {} für
\mathl{(a+b)^n}{} für Elemente
\mathl{a,b \in R}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.}{Der \stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {.}}{Das \stichwort {Lemma von Euklid} {} für einen Hauptidealbereich.}{Der \stichwort {Homomorphiesatz} {} für Ringhomomorphismen.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,} wann $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} und wann $f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl
\mathl{25n^2-17}{} ein Vielfaches von $8$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Zerlegung in \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{

a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}

b) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Finde im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z/(2)[X]}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} vier.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es seien
\mathl{x,y \in R}{} Elemente in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Welche der folgenden Formulierungen sind zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Rx }
{ \subseteq} {Ry }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} äquivalent. \aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {$x$ teilt $y$. }{$x$ wird von $y$ geteilt. }{$y$ wird von $x$ geteilt. }{$x$ ist ein Vielfaches von $y$. }{$x$ ist ein Vielfaches von $x$. } } {\itemfuenf {$y$ teilt $x$. }{$Rx \cap Ry = Rx$. }{Jedes Vielfache von $y$ ist auch ein Vielfaches von $x$. }{Jeder Teiler von $y$ ist auch ein Teiler von $x$. }{Ein Maikäfer ist ein Schmetterling. } }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[X]}{} der Polynomring über $K$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass $K[X]$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme sämtliche Teiler von $X$ im Ring $R=K[\Q_{\geq 0}]$, wobei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Stifte einen \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von der \definitionsverweis {Gruppe}{}{} der komplexen Zahlen ohne null
\mathl{({\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot,1)}{} in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen
\mathl{(\R_+,\cdot,1 )}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{

Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe $S_n$ zu einer Menge mit $n$ Elementen.

a) Zeige, dass es in $S_n$ Elemente der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ gibt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe $S_n$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als $n$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} ein Element mit endlicher \definitionsverweis {Ordnung}{}{.} Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen
\mathl{d \in \N_+}{} übereinstimmt, zu dem es einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \Z/(d) } {G } {} gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1.5+1.5)}
{

(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{12 (3+5+3+1)}
{

Es seien
\mathl{R_1, R_2 , \ldots , R_n}{} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Produktring}{}{.} \aufzaehlungvier{Es seien
\mathdisp {I_1 \subseteq R_1, I_2 \subseteq R_2 , \ldots , I_n \subseteq R_n} { }
\definitionsverweis {Ideale}{}{.} Zeige, dass die Produktmenge
\mathdisp {I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n} { }
ein Ideal in $R$ ist. }{Zeige, dass jedes Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ =} { I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Idealen
\mathl{I_j \subseteq R_j}{} besitzt. }{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ =} { I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Ideal in $R$. Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_j$ Hauptideale sind. }{Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Hauptidealring}{}{} ist, wenn alle $R_j$ Hauptidealringe sind. }

}
{} {}