Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 11/latex

\setcounter{section}{11}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass zu \definitionsverweis {elliptischen Funktionen}{}{}
\mathl{f,g}{} \zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {} auch \mathkor {} {f+g} {und} {f \cdot g} {} elliptisch sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass zu einer \definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {} auch $f^{-1}$ elliptisch ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass zu einer \definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{} $f$ \zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {} auch die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $f'$ elliptisch ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass jede \definitionsverweis {elliptische Funktion}{}{} $f$ \zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {} eine eindeutige Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{g+h }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer \definitionsverweis {geraden}{}{} elliptischen Funktion $g$ und einer \definitionsverweis {ungeraden}{}{} elliptischen Funktion $h$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s}} { }
für eine komplexe Zahl $s$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( s \right) } }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {absolut konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass die Familie
\mathdisp {w^{-2} ,\, w \in \Gamma'} { }
nicht \definitionsverweis {summierbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {elliptische Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ =} { \sum_{v \in \Gamma} (z-v)^{-3} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {ungerade}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{\langle v_1,v_2 \rangle }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {elliptische Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ =} { \sum_{v \in \Gamma} (z-v)^{-3} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in den Punkten
\mathl{{ \frac{ v_1 }{ 2 } }, { \frac{ v_2 }{ 2 } }, { \frac{ v_1+v_2 }{ 2 } },}{} eine Nullstelle besitzt, und dass dies innerhalb der halboffenen Gittermasche
\mathl{{ \left\{ sv_1+tv_2 \mid 0 \leq s,t < 1 \right\} }}{} die einzigen Nullstellen sind.

}
{} {}