Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass zu
\definitionsverweis {elliptischen Funktionen}{}{}
\mathl{f,g}{}
\zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {}
auch
\mathkor {} {f+g} {und} {f \cdot g} {}
elliptisch sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass zu einer
\definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {}
auch $f^{-1}$ elliptisch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass zu einer
\definitionsverweis {elliptischen Funktion}{}{}
$f$
\zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {}
auch die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$f'$ elliptisch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass jede
\definitionsverweis {elliptische Funktion}{}{}
$f$
\zusatzklammer {bezüglich $\Gamma$} {} {}
eine eindeutige Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{g+h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {geraden}{}{}
elliptischen Funktion $g$ und einer
\definitionsverweis {ungeraden}{}{}
elliptischen Funktion $h$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s}} { }
für eine komplexe Zahl $s$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Re} \, { \left( s \right) }
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {absolut konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass die Familie
\mathdisp {w^{-2} ,\, w \in \Gamma'} { }
nicht
\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {elliptische Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { \sum_{v \in \Gamma} (z-v)^{-3}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {ungerade}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{\langle v_1,v_2 \rangle
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {elliptische Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { \sum_{v \in \Gamma} (z-v)^{-3}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in den Punkten
\mathl{{ \frac{ v_1 }{ 2 } }, { \frac{ v_2 }{ 2 } }, { \frac{ v_1+v_2 }{ 2 } },}{}
eine Nullstelle besitzt, und dass dies innerhalb der halboffenen Gittermasche
\mathl{{ \left\{ sv_1+tv_2 \mid 0 \leq s,t < 1 \right\} }}{} die einzigen Nullstellen sind.
}
{} {}