Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 20/latex

\setcounter{section}{20}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass auf einer endlichen \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} $G$ jede Funktion \maabb {h} {G} { \R_{\geq 0} } {} eine \definitionsverweis {schwache Höhenfunktion}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit einem \definitionsverweis {Betrag}{}{} zu einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne die folgenden \definitionsverweis {Standardbeträge}{}{} von rationalen Zahlen. \aufzaehlungvier{$\betrag { 13 }_{5}$, }{$\betrag { -1 }_{16}$, }{$\betrag { { \frac{ 100 }{ 33 } } }_{2}$, }{$\betrag { { \frac{ -121 }{ 169 } } }_{13}$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne den Abstand zwischen den beiden rationalen Zahlen \mathkor {} {{ \frac{ 3 }{ 7 } }} {und} {{ \frac{ 5 }{ 13 } }} {,} wenn $\Q$ mit dem $2$-adischen \definitionsverweis {Standardbetrag}{}{} versehen ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $\betrag { - }_p$ der zugehörige \definitionsverweis {Standardbetrag}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { p^n }_p }
{ = }{ p^{-n} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {p} {und} {q} {} verschiedene Primzahlen und seien \mathkor {} {\betrag { - }_p} {und} {\betrag { - }_q} {} die zugehörigen \definitionsverweis {Standardbeträge}{}{.} Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x) }
{ \defeq} { \betrag { x }_p \cdot \betrag { x }_q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} kein \definitionsverweis {Betrag}{}{} auf $\Q$ gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $\betrag { - }_p$ der zugehörige \definitionsverweis {Standardbetrag}{}{.} Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $\Q$. Zeige, dass diese Folge genau dann eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} bezüglich des gegebenen Betrags ist, wenn die Folge der $p$-\definitionsverweis {Exponenten}{}{} von $x_n$ \definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{} gegen $+ \infty$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Konstruiere eine \definitionsverweis {Folge}{}{} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ von \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{,} die bezüglich jedes \definitionsverweis {Standardbetrages}{}{} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Betrag}{}{} auf einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ genau dann \definitionsverweis {nichtarchimedisch}{}{} ist, wenn die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f+g } }
{ \leq} { \operatorname{max} \left( \betrag { f } ,\, \betrag { g } \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\betrag { - }$ ein \definitionsverweis {Betrag}{}{} auf einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Wir setzen im \definitionsverweis {nichtarchimedischen}{}{} Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und im archimedischen Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f+g } }
{ \leq} { 2^\delta \cdot \operatorname{max} \left( \betrag { f } ,\, \betrag { g } \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit einem \definitionsverweis {nichtarchimedischen Betrag}{}{} $\betrag { - }$. Zeige, dass
\mathl{{ \left\{ f \in K \mid \betrag { f } \leq 1 \right\} }}{} ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $K$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Zahlkörper}{}{,} $R$ der zugehöriger \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{,} ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} von $R$,
\mathl{\operatorname{ord}_{ {\mathfrak p} } \, (-)}{} die zugehörige Bewertung auf $K$ und $\betrag { - }_{\mathfrak p}$ der zugehörige \definitionsverweis {Betrag}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{\mathfrak p} }
{ =} { { \left\{ f \in K \mid \betrag { f }_{\mathfrak p} \leq 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ der \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} zur \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} \cap \Z }
{ = }{ (p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei $e$ der \definitionsverweis {Verzweigungsindex}{}{} von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z_{(p)} }
{ \subseteq }{R_{\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $f$ der \definitionsverweis {Trägheitsgrad}{}{} von ${\mathfrak p}$ über $(p)$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { p }_{ {\mathfrak p}, \text{ nat} } }
{ =} { p^{-ef} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}