Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 23/latex

\setcounter{section}{23}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} der einen \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthalte \zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {R} {R } {f} {f^p } {,} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} der einen \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthalte. Zeige, dass die $e$-te \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {F} {R} {R } {f} {f^p } {,} durch
\mathl{f \mapsto f^q}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{p^e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} der einen \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} enthalte, und es sei $A$ eine $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} R & \stackrel{ F }{\longrightarrow} & R & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ A & \stackrel{ F }{\longrightarrow} & A & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegt, wobei $F$ den \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} bezeichnet.

}
{} {}

Die in der vorstehenden Aufgabe ausgedrückte Vertauschbarkeit des Frobenius bringt mit sich, dass der Frobenius im Allgemeinen kein \definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} ist. Dies ist insbesondere wenn der Grundring ein Körper ist nicht immer das, was man möchte, da man bei vielen Fragen die Elemente des Körpers, die \anfuehrung{Konstanten}{} eindeutig interpretieren möchte. Wenn der Grundkörper der Körper mit $p$ Elementen ist, so ist dies unproblematisch, da darauf der Frobenius die Identität ist. Bei einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper konkurrieren aber verschiedene Frobenius-Konzepte.




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Sei \maabb {F} {K} {K } {} der \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{.} Zeige, dass genau die Elemente aus
\mathl{\Z/(p)}{} invariant unter $F$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\Phi} {{\mathbb F}_q} {{\mathbb F}_q } {} bezüglich einer geeigneten ${\mathbb F}_p$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von ${\mathbb F}_q$ für
\mathl{p=2}{} und
\mathl{q=4}{} bzw.
\mathl{q=8}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{ 3 \mod 4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(p) }
{ \subseteq} { \Z/(p) [ { \mathrm i} ] }
{ =} { \Z/(p) [X]/ { \left( X^2+1 \right) } }
{ =} { {\mathbb F}_{ p^2 } }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{} von $\Z/(p)$. Zeige, dass die Konjugation
\mathl{{ \mathrm i} \mapsto - { \mathrm i}}{} mit dem \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\mathl{f \mapsto f^p}{} übereinstimmt.

}
{} {}

In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.


Ein \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ heißt \definitionswort {vollkommen}{,} wenn jedes \definitionsverweis {irreduzible Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{} \definitionsverweis {separabel}{}{} ist.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {vollkommener Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jeder \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossene Körper}{}{} \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Zeige, dass $K$ genau dann \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} auf $K$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Körper
\mathl{{\mathbb F}_p(X)}{} der rationalen Funktionen nicht \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ \Z/(p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wir betrachten den \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {K[X]} { K[X] } {} und dadurch $K[X]$ als $K[X]$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Beschreibe die folgenden Polynome $F$ als $K[X]$-\definitionsverweis {Linearkombination}{}{} bezüglich der Basis
\mathl{X^0,X^1 , \ldots , X^{p-1}}{.} \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{ 2 +2X^1 +X^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{X^5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{ X^3+X^4+X^9 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{ 2X^2 +X^3+ X^5+2X^7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {Es ist sinnvoll, ein eigenes Zeichen, etwa $\bullet$, für die Skalarmultiplikation einzuführen.}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ die durch eine \definitionsverweis {kurze Weierstraßgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ =} {X^3+aX+b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über einem Körper $\Z/(p)$ und es sei $Q(E)$ der zugehörige \definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{.} Bestimme eine $Q(E)$-\definitionsverweis {Basis}{}{} für den \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbdisp {F} {Q(E)} { Q(E) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ \Z/(p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wir betrachten den \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {K[X_1 , \ldots , X_n ]} { K[X_1 , \ldots , X_n ] } {} und dadurch $K[X_1 , \ldots , X_n ]$ als $K[X_1 , \ldots , X_n ]$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für diesen Modul.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein endlicher Körper mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{p^e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elementen und sei $A$ eine $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} mit dem $e$-ten \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbdisp {F^e} {A} {A } {.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass \maabbdisp {F^e \otimes_KL} { A \otimes \operatorname{Id}_{ L } } { A \otimes_KL } {} im Allgemeinen nicht der $e$-te Frobenius auf
\mathl{A \otimes_KL}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} der \definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mathl{p >0}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zum \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {R} {R } {f} {f^p } {,} eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über dem \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ {\mathbb F}_{ q } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{p^e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elementen und es sei \maabbdisp {\Phi} { E_{ \overline{ K } } } { E_{ \overline{ K } } } {} der $e$-te ${ \overline{ K } }$-\definitionsverweis {lineare Frobenius}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Tor}_{ r } { \left( E({ \overline{ K } }) \right) } }
{ \subseteq} { \operatorname{kern} \left( \operatorname{Id}_{ E_{ \overline{ K } } } - \Phi^s \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} } {Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \left( \operatorname{Id}_{ E_{ \overline{ K } } } - \Phi^s \right) }
{ \subseteq} { \operatorname{Tor}_{ r } { \left( E({ \overline{ K } }) \right) } }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in Beispiel 23.7 die Abbildung
\mathl{\operatorname{Id}_{ E_{ \overline{ \Z/(5) } } } - \Phi}{} mit der Verdoppelungsabbildung übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{} $K$, die durch eine Weierstraßgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y^2 }
{ = }{ X^3+aX+b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben sei. Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \in }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einer \definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mathl{(x,y)}{} ein $L$-\definitionsverweis {rationaler Punkt}{}{} der Kurve ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ = }{X^3+X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} \zusatzklammer {falls eine solche vorliegt} {} {} die Anzahl der Punkte für die Körper mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p }
{ = }{ 2,3, 5,7,11,13 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elementen und vergleiche mit der Hasse-Schranke.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ = }{X^3+2X-3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} \zusatzklammer {falls eine solche vorliegt} {} {} die Anzahl der Punkte für die Körper mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p }
{ = }{ 2,3, 5,7,11,13 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elementen und vergleiche mit der Hasse-Schranke.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über $\Z/(p)$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ \geq }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Es gebe in $E( \Z/(p) )$ ein Element der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $p$. Zeige, dass dann sämtliche Elemente $\neq {\mathfrak O }$ die Ordnung $p$ besitzen.

}
{} {}