Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 27/latex

\setcounter{section}{27}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} { {\mathbb H} } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{} auf der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} ${\mathbb H}$. Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {schwach modular}{}{} vom Gewicht $k$ ist, wenn sie die beiden Bedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(z+1) }
{ = }{ f(z) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(- { \frac{ 1 }{ z } } ) }
{ = }{ z^k f(z) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb H} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} { {\mathbb H} } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {Modulfunktion}{}{} vom Gewicht $k$ und \maabb {g} { {\mathbb H} } { {\mathbb C} } {} eine Modulfunktion vom Gewicht $\ell$. Zeige, dass
\mathl{{ \frac{ f }{ g } }}{} eine Modulfunktion vom Gewicht $k-\ell$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Exponentialfunktion \maabbeledisp {f} { {\mathbb H} } { {\mathbb C} } {z} { e^{2 \pi { \mathrm i} z } } {,} zu keinem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{\Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {schwach modular}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere das \definitionsverweis {Bild}{}{} des \definitionsverweis {Fundamentalbereiches}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \subseteq }{ {\mathbb H} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zur \definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{} unter der Exponentialfunktion \maabbeledisp {} { {\mathbb H} } { U { \left( 0,1 \right) } \setminus \{ 0 \} } {z} { e^{2 \pi z { \mathrm i} } } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Index}{}{} der \definitionsverweis {Kongruenzuntergruppe}{}{} zur Stufe $2$, also $\Gamma(2)$, in der vollen \definitionsverweis {Modulgruppe}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme auf zwei Arten ein \definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{} in $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$ für die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }/ \Gamma(2)}{} zur \definitionsverweis {Hauptkongruenzuntergruppe}{}{} zur Stufe $2$. \aufzaehlungzwei {Durch Angabe von Matrizen. } {Als Kombination der beiden Erzeuger
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$ \zusatzklammer {vergleiche Satz 9.2} {} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme auf zwei Arten ein \definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{} in $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$ für die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }/ \Gamma(3)}{} zur \definitionsverweis {Hauptkongruenzuntergruppe}{}{} zur Stufe $3$. \aufzaehlungzwei {Durch Angabe von Matrizen. } {Als Kombination der beiden Erzeuger
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$ \zusatzklammer {vergleiche Satz 9.2} {} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb F}_q}{} ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} \zusatzklammer {mit $q$ Elementen} {} {.} Bestimme die Anzahl der Elemente in
\mathdisp {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb F}_q \right) }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{} ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.} Bestimme die Anzahl der Elemente in
\mathdisp {\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( {\mathbb F}_{ q } \right) }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige, dass es zu je zwei vom Nullvektor verschiedenen Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u,v }
{ \in }{ \Z/(p) \times \Z/(p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \in }{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z/(p) \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ = }{Mu }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z/(p) \right) }}{} von den Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {erzeugt}{}{} wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige, dass die natürliche Abbildung \maabbdisp {} { \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) } } {\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z/(p) \right) } } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

in den folgenden Aufgaben kann es einfacher sein, sich auf eine Primzahl $N$ zu beschränken.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {Index}{}{} der Untergruppe $\Gamma(N)$ in $\Gamma_1(N)$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {Index}{}{} der Untergruppe $\Gamma_1(N)$ in $\Gamma (N)$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {Index}{}{} der Untergruppe $\Gamma_0(N)$ in $\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $N$ eine positive natürliche Zahl. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \in }{ \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $u,v$ eine reelle \definitionsverweis {Basis}{}{} von ${\mathbb C}$ mit dem zugehörigen \definitionsverweis {Gitter}{}{} $\Lambda$ und dem zugehörigen \definitionsverweis {komplexen Torus}{}{} ${\mathbb C} /\Lambda$. Es sei $u',v'$ die mit $M$ transformierte Basis. Zeige, dass ${ \frac{ v }{ N } }$ und ${ \frac{ v' }{ N } }$ genau dann die gleiche Untergruppe von ${\mathbb C}/\Lambda$ der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $N$ definieren, wenn $M$ zur \definitionsverweis {Kongruenzuntergruppe}{}{} $\Gamma_0(N)$ gehört.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $N$ eine positive natürliche Zahl. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \in }{ \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $u,v$ eine reelle \definitionsverweis {Basis}{}{} von ${\mathbb C}$ mit dem zugehörigen \definitionsverweis {Gitter}{}{} $\Lambda$ und dem zugehörigen \definitionsverweis {komplexen Torus}{}{} ${\mathbb C} /\Lambda$. Es sei $u',v'$ die mit $M$ transformierte Basis. Zeige, dass ${ \frac{ v }{ N } }$ und ${ \frac{ v' }{ N } }$ genau dann das gleiche $N$-Torsionselement von ${\mathbb C}/\Lambda$ definieren, wenn $M$ zur \definitionsverweis {Kongruenzuntergruppe}{}{} $\Gamma_1(N)$ gehört.

}
{} {}