Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 9/latex

\setcounter{section}{9}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2 }
{ = }{ - \operatorname{Id} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ST)^3 }
{ = }{ - \operatorname{Id} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gelten.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ST }
{ \neq} {T^n S }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Die von $T$ erzeugte Untergruppe in
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} ist kein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in der \definitionsverweis {Modulgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }/ \pm \operatorname{Id}}{} die Relationen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2 }
{ = }{ \operatorname{Id} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ST)^3 }
{ = }{ \operatorname{Id} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gelten.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass durch die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb H} } { U { \left( 0,1 \right) } } { z} { { \frac{ z- { \mathrm i} }{ z + { \mathrm i} } } } {,} und \maabbeledisp {\psi} { U { \left( 0,1 \right) } } { {\mathbb H} } {w} { { \frac{ (w+1) { \mathrm i} }{ 1-w } } } {,} eine \definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{} zwischen der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} ${\mathbb H}$ und der offenen Einheitskreisscheibe $U { \left( 0,1 \right) }$ gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} auf der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde für das \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \langle 3+ { \mathrm i} , -1+2 { \mathrm i} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element $\tau$ im \definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{} $D$ derart, dass $\Gamma$ \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{} zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde für das \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \langle 3+7 { \mathrm i} , 2-5 { \mathrm i} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element $\tau$ im \definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{} $D$ derart, dass $\Gamma$ \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{} zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde für das \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \langle \sqrt{5} + { \mathrm i} , 3- \sqrt{2} { \mathrm i} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element $\tau$ im \definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{} $D$ derart, dass $\Gamma$ \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{} zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde für das \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ = }{ \langle 1 , -e + \pi { \mathrm i} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element $\tau$ im \definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{} $D$ derart, dass $\Gamma$ \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{} zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} in ${\mathbb C}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$\Gamma$ ist \definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{} zu einem Gitter in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z + \Z { \mathrm i} }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{$\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q + \Q { \mathrm i} }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{$\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form
\mathl{\Z + \Z \tau}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau }
{ \in }{ \Q + \Q { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C} \cong \R^2} { {\mathbb C} \cong \R^2 } {} eine bijektive $\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma }
{ \subset }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Gitter. Zeige, dass $\varphi$ einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} und Homomorphismus der reellen Lie-Gruppe \maabbdisp {\overline{\varphi}} { {\mathbb C} / \Gamma } { {\mathbb C} / \varphi(\Gamma) } {} induziert, dass dies aber kein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen sein muss.

}
{} {}