Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2
}
{ = }{ -
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ST)^3
}
{ = }{ -
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ST
}
{ \neq} {T^n S
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Die von $T$ erzeugte Untergruppe in
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }}{} ist kein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in der
\definitionsverweis {Modulgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \Z \right) }/ \pm
\operatorname{Id}}{} die Relationen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2
}
{ = }{
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ST)^3
}
{ = }{
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass durch die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb H} } { U { \left( 0,1 \right) } } { z} { { \frac{ z- { \mathrm i} }{ z + { \mathrm i} } } } {,} und \maabbeledisp {\psi} { U { \left( 0,1 \right) } } { {\mathbb H} } {w} { { \frac{ (w+1) { \mathrm i} }{ 1-w } } } {,} eine \definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{} zwischen der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} ${\mathbb H}$ und der offenen Einheitskreisscheibe $U { \left( 0,1 \right) }$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Modulsubstitution}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} auf der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde für das
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle 3+ { \mathrm i} , -1+2 { \mathrm i} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element $\tau$ im
\definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{}
$D$ derart, dass $\Gamma$
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für das
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle 3+7 { \mathrm i} , 2-5 { \mathrm i} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element $\tau$ im
\definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{}
$D$ derart, dass $\Gamma$
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für das
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle \sqrt{5} + { \mathrm i} , 3- \sqrt{2} { \mathrm i} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element $\tau$ im
\definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{}
$D$ derart, dass $\Gamma$
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für das
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle 1 , -e + \pi { \mathrm i} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Element $\tau$ im
\definitionsverweis {Fundamentalbereich}{}{}
$D$ derart, dass $\Gamma$
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu
\mathl{\langle 1, \tau \rangle}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$\Gamma$ ist
\definitionsverweis {streckungsäquivalent}{}{}
zu einem Gitter in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z + \Z { \mathrm i}
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q + \Q { \mathrm i}
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$\Gamma$ ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form
\mathl{\Z + \Z \tau}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{ \Q + \Q { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C} \cong \R^2} { {\mathbb C} \cong \R^2
} {}
eine bijektive
$\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ \subset }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Gitter. Zeige, dass $\varphi$ einen
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
und Homomorphismus der reellen Lie-Gruppe
\maabbdisp {\overline{\varphi}} { {\mathbb C} / \Gamma } { {\mathbb C} / \varphi(\Gamma)
} {}
induziert, dass dies aber kein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen sein muss.
}
{} {}