Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten auf dem $\R^2$ die $\R$-wertige
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { (xy+y^2)dx + (3x^2-y)dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne
\mathl{\omega( \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -4 \\5 \end{pmatrix} )}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V,W$ endlichdimensionale
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} die Menge der
$1$-\definitionsverweis {Formen}{}{}
auf $G$ mit Werten in $W$. Zeige die folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungvier{
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} ist mit den natürlichen Operationen versehen ein ${\mathbb K}$-Vektorraum.
}{Zu einer Differentialform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\omega
}
{ \in }{
{ \mathcal E }^{ } ( G , W )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer Funktion
\maabbdisp {f} {G} { {\mathbb K}
} {}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f \omega
}
{ \in }{
{ \mathcal E }^{ } ( G , W )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $f \omega$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \omega)(P)
}
{ \defeq} { f(P) \omega (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist.
}{Jede
$C^1$-\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {G} { W
} {}
definiert über das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
eine
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\maabbeledisp {df = Df} {G} { \operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( V, W \right) }
} {P} { \left(Df\right)_{P}
} {.}
Dies ergibt eine Abbildung
\maabbeledisp {d} {C^1(G,W)} {
{ \mathcal E }^{ } ( G , W )
} {f} {df
} {.}
}{Die Abbildung $d$ aus (3) ist
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {linear}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} die Menge der
$1$-\definitionsverweis {Formen}{}{}
auf $G$ mit Werten in $W$. Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {exakten}{}{}
Differentialformen ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{}
\mathl{{ \frac{ dz }{ z^n } }}{} auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{ 0\}}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {exakt}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
der mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
versehen sei, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{.}
Zeige, dass die ${\mathbb K}$-wertigen
$1$-\definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
auf $V$ in natürlicher Weise den
\zusatzklammer {zeitunabhängigen} {} {}
\definitionsverweis {Vektorfeldern}{}{}
auf $U$ entsprechen.
}
{} {}
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {h} {U} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Dann nennt man die Abbildung
\maabbeledisp {} {U} {V
} {P} {
\operatorname{Grad} \, h ( P )
} {,}
das zugehörige \definitionswort {Gradientenfeld}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Korrespondenz aus Aufgabe 11.5 im reellen Fall. Zeige, dass dabei die \definitionsverweis {exakten}{}{} Differentialformen den \definitionsverweis {Gradientenfeldern}{}{} entsprechen.
}
{} {}
In der vorstehenden Aufgabe entspricht eine Stammform einem Potential.
\inputaufgabe
{}
{
Vereinfache in
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} den Ausdruck
\mathdisp {e_1 \wedge (e_2 -4 e_3) - e_2 \wedge (5 e_1 +3e_2-4e_3) + { \left( 7e_3 \right) } \wedge e_1 -4 { \left( 5e_1 \wedge 2 e_3 \right) } + (2e_1-8e_2) \wedge (2e_1-8e_2)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 2 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 3 \\5\\ -6 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\5\\ -4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 7 \\-2\\ 4 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine $W$-wertige
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{}
von $\omega$ wohldefiniert
\zusatzklammer {als Abbildung von $U$ nach $\operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( \bigwedge^2 V, W \right) }$} {} {}
ist, also unabhängig von der gewählten
\definitionsverweis {Basis}{}{}
auf $V$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Geschlossenheit}{}{}
einer
$1$-\definitionsverweis {Form}{}{}
auf $G$ mit Werten in $W$ eine lokale Eigenschaft ist, d.h. $\omega$ ist genau dann geschlossen, wenn es eine offene Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass die Einschränkungen
\mathl{\omega{{|}}_{U_i}}{} geschlossen sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ (2x- \sin y )dx-x\cos ydy
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^2$
\definitionsverweis {geschlossen}{}{}
und auch
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {-ydx+xdy} { }
auf dem $\R^2$ nicht
\definitionsverweis {geschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {- { \frac{ y }{ x^2+y^2 } } dx+ { \frac{ x }{ x^2+y^2 } } dy} { }
auf dem $\R^2 \setminus \{0\}$
\definitionsverweis {geschlossen}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{}
der
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { (x^2-y^3)dx+x^3y^2dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{}
$d \omega$ der
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { { \frac{ x^2 }{ y } } dx- { \frac{ x }{ y^2 } } dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y \neq 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} die Menge der
$1$-\definitionsverweis {Formen}{}{}
auf $G$ mit Werten in $W$. Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {geschlossenen}{}{}
Differentialformen einen
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} ist.
}
{} {}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {G} {U} {\R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {differenzierbares}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}
Man sagt, dass $G$ die
\definitionswort {Integrabilitätsbedingung}{}
erfüllt
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {lokal integrabel}{} ist} {} {,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_i }{ \partial x_j } }(P)
}
{ =} { { \frac{ \partial G_j }{ \partial x_i } }(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle $i, j$ gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Korrespondenz aus Aufgabe 11.5 im reellen Fall. Zeige, dass dabei die \definitionsverweis {geschlossenen}{}{} Differentialformen den \definitionsverweis {Vektorfeldern}{}{} entsprechen, die die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_\ell}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
und $\omega$ besitze die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { \sum_{k = 1}^\ell \omega_k b_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit ${\mathbb K}$-wertigen Differentialformen $\omega_k$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass $\omega$ genau dann
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist, wenn alle $\omega_k$ exakt sind.
} {Es sei nun $\omega$ stetig differenzierbar. Zeige, dass $\omega$ genau dann
\definitionsverweis {geschlossen}{}{}
ist, wenn alle $\omega_k$ geschlossen sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabb {f} {U} { \R
} {}
eine zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(df)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $d$ die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{}
bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {t} {f(t)
} {,}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\omega
}
{ = }{ g(s)ds
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $\R$. Bestimme
\mathl{f^* \omega}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V, W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U'
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Mengen in $V$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Rückzug}{}{}
von $\omega$ auf $U'$ einfach die Einschränkung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ \R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\psi} {W} {U
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {f} {U} {\R
} {}
eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der
Kettenregel,
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d (\psi^*f)
}
{ =} { \psi^*(df)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wobei $\psi^*$ das
\definitionsverweis {Zurückziehen von Differentialformen}{}{}
bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbele {f} {U} { {\mathbb C}
} {z} { f(z) = w
} {,}
eine nullstellenfreie
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^* \left( \frac{ dw }{ w } \right)
}
{ =} { { \frac{ f'(z) }{ f(z) } } dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbeledisp {\varphi} {U} { {\mathbb C}
} {(u,v)} { \varphi (u,v) = \varphi_1(u,v) + { \mathrm i} \varphi_2(u,v) = x+ { \mathrm i} y = z
} {,}
eine reell
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Rückzug}{}{}
$\varphi^* dz$ gilt
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ u+{ \mathrm i} v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi^*(dz)
}
{ =} { { \frac{ \partial \varphi }{ \partial u } } du + { \frac{ \partial \varphi }{ \partial v } } dv
}
{ =} { { \frac{ \partial \varphi }{ \partial w } } dw + { \frac{ \partial \varphi }{ \partial \overline{ w } } } d \overline{ w }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}
{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und sei
\maabbeledisp {\varphi} {U} { {\mathbb C}
} {(u,v)} { \varphi (u,v) = \varphi_1(u,v) + { \mathrm i} \varphi_2(u,v) = x+ { \mathrm i} y = z
} {,}
eine reell
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Rückzug}{}{}
$\varphi^* d \overline{ z }$ gilt
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ u+{ \mathrm i} v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi^*(d \overline{ z } )
}
{ =} { { \frac{ \partial \overline{ \varphi } }{ \partial u } } du + { \frac{ \partial \overline{ \varphi } }{ \partial v } } dv
}
{ =} { { \frac{ \partial \overline{ \varphi } }{ \partial w } } dw + { \frac{ \partial \overline{ \varphi } }{ \partial \overline{ w } } } d \overline{ w }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}
{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { ydx+zdy +xdz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^3$ und die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^3
} { \left( u , \, v \right) } { \left( u^2 , \, v^2 , \, uv \right)
} {.}
\aufzaehlungvier{Berechne die äußere Ableitung von $\omega$.
}{Berechne den Rückzug $\varphi^* \omega$ von $\omega$ unter $\varphi$.
}{Berechne die äußere Ableitung von $\varphi^* \omega$ auf $\R^2$.
}{Berechne den Rückzug $\varphi^* d \omega$ von $d\omega$ unter $\varphi$ unabhängig von (3).
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V, W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und sei $\omega$ eine
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$ mit Werten in $W$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U'
}
{ \subseteq }{ V'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U^{\prime \prime}
}
{ \subseteq }{ V^{\prime \prime}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
weitere offene Mengen in endlichdimensionalen ${\mathbb K}$-Vektorräumen
\mathkor {} {V'} {bzw.} {V^{\prime \prime}} {.}
Es seien
\maabbdisp {\psi} {U^{\prime \prime}} { U'
} {}
und
\maabbdisp {\varphi} {U'} {U
} {}
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildungen}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \varphi \circ \psi)^* \omega
}
{ =} { \psi^* { \left( \varphi^*(\omega) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Wir betrachten auf dem $\R^2$ die $\R$-wertige
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { (5xy^2-y+x^2)dx + (4x^2y-x^3)dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne
\mathl{\omega( \begin{pmatrix} -1 \\-6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\-2 \end{pmatrix} )}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{}
der
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { xy^2dx+yzdy+x^3dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf dem $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (2+3)}
{
Es seien $V',V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U'
}
{ \subseteq }{ V'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
und sei $\omega$ eine $W$-wertige
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $U$. Es sei
\maabb {\varphi} {U'} {U
} {}
eine differenzierbare Abbildung.
\aufzaehlungzwei {Es sei $\omega$
\definitionsverweis {exakt}{}{.}
Zeige, dass auch die
\definitionsverweis {zurückgezogene}{}{}
Differentialform $\varphi^*\omega$ exakt ist.
} {Es sei $\omega$
\definitionsverweis {geschlossen}{}{.}
Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform $\varphi^*\omega$ geschlossen ist.
}
}
{} {}