Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 11/latex

\setcounter{section}{11}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf dem $\R^2$ die $\R$-wertige $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { (xy+y^2)dx + (3x^2-y)dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne
\mathl{\omega( \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -4 \\5 \end{pmatrix} )}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und sei
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} die Menge der $1$-\definitionsverweis {Formen}{}{} auf $G$ mit Werten in $W$. Zeige die folgenden Eigenschaften. \aufzaehlungvier{
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} ist mit den natürlichen Operationen versehen ein ${\mathbb K}$-Vektorraum. }{Zu einer Differentialform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\omega }
{ \in }{ { \mathcal E }^{ } ( G , W ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einer Funktion \maabbdisp {f} {G} { {\mathbb K} } {} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f \omega }
{ \in }{ { \mathcal E }^{ } ( G , W ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $f \omega$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \omega)(P) }
{ \defeq} { f(P) \omega (P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert ist. }{Jede $C^1$-\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {G} { W } {} definiert über das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} eine $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} \maabbeledisp {df = Df} {G} { \operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( V, W \right) } } {P} { \left(Df\right)_{P} } {.} Dies ergibt eine Abbildung \maabbeledisp {d} {C^1(G,W)} { { \mathcal E }^{ } ( G , W ) } {f} {df } {.} }{Die Abbildung $d$ aus (3) ist ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {linear}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V,W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und sei
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} die Menge der $1$-\definitionsverweis {Formen}{}{} auf $G$ mit Werten in $W$. Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {exakten}{}{} Differentialformen ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{}
\mathl{{ \frac{ dz }{ z^n } }}{} auf
\mathl{{\mathbb C} \setminus \{ 0\}}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {exakt}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} der mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} versehen sei, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{.} Zeige, dass die ${\mathbb K}$-wertigen $1$-\definitionsverweis {Differentialformen}{}{} auf $V$ in natürlicher Weise den \zusatzklammer {zeitunabhängigen} {} {} \definitionsverweis {Vektorfeldern}{}{} auf $U$ entsprechen.

}
{} {}


Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und \maabbdisp {h} {U} {\R } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Dann nennt man die Abbildung \maabbeledisp {} {U} {V } {P} { \operatorname{Grad} \, h ( P ) } {,} das zugehörige \definitionswort {Gradientenfeld}{.}





\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Korrespondenz aus Aufgabe 11.5 im reellen Fall. Zeige, dass dabei die \definitionsverweis {exakten}{}{} Differentialformen den \definitionsverweis {Gradientenfeldern}{}{} entsprechen.

}
{} {}

In der vorstehenden Aufgabe entspricht eine Stammform einem Potential.




\inputaufgabe
{}
{

Vereinfache in
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} den Ausdruck
\mathdisp {e_1 \wedge (e_2 -4 e_3) - e_2 \wedge (5 e_1 +3e_2-4e_3) + { \left( 7e_3 \right) } \wedge e_1 -4 { \left( 5e_1 \wedge 2 e_3 \right) } + (2e_1-8e_2) \wedge (2e_1-8e_2)} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 2 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 3 \\5\\ -6 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Drücke das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\5\\ -4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 7 \\-2\\ 4 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V,W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und sei $\omega$ eine $W$-wertige \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $U$. Zeige, dass die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} von $\omega$ wohldefiniert \zusatzklammer {als Abbildung von $U$ nach $\operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} } { \left( \bigwedge^2 V, W \right) }$} {} {} ist, also unabhängig von der gewählten \definitionsverweis {Basis}{}{} auf $V$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V,W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Geschlossenheit}{}{} einer $1$-\definitionsverweis {Form}{}{} auf $G$ mit Werten in $W$ eine lokale Eigenschaft ist, d.h. $\omega$ ist genau dann geschlossen, wenn es eine offene Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass die Einschränkungen
\mathl{\omega{{|}}_{U_i}}{} geschlossen sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ (2x- \sin y )dx-x\cos ydy }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf dem $\R^2$ \definitionsverweis {geschlossen}{}{} und auch \definitionsverweis {exakt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {-ydx+xdy} { }
auf dem $\R^2$ nicht \definitionsverweis {geschlossen}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {- { \frac{ y }{ x^2+y^2 } } dx+ { \frac{ x }{ x^2+y^2 } } dy} { }
auf dem $\R^2 \setminus \{0\}$ \definitionsverweis {geschlossen}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {exakt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { (x^2-y^3)dx+x^3y^2dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^2$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} $d \omega$ der $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { { \frac{ x^2 }{ y } } dx- { \frac{ x }{ y^2 } } dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y \neq 0 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V,W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und sei
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} die Menge der $1$-\definitionsverweis {Formen}{}{} auf $G$ mit Werten in $W$. Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {geschlossenen}{}{} Differentialformen einen ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von
\mathl{{ \mathcal E }^{ } ( G , W )}{} ist.

}
{} {}


Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und \maabbdisp {G} {U} {\R^n } {} ein \definitionsverweis {differenzierbares}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.} Man sagt, dass $G$ die \definitionswort {Integrabilitätsbedingung}{} erfüllt \zusatzklammer {oder \definitionswort {lokal integrabel}{} ist} {} {,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_i }{ \partial x_j } }(P) }
{ =} { { \frac{ \partial G_j }{ \partial x_i } }(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und alle $i, j$ gilt.





\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Korrespondenz aus Aufgabe 11.5 im reellen Fall. Zeige, dass dabei die \definitionsverweis {geschlossenen}{}{} Differentialformen den \definitionsverweis {Vektorfeldern}{}{} entsprechen, die die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V,W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und sei $\omega$ eine \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_\ell}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{,} und $\omega$ besitze die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { \sum_{k = 1}^\ell \omega_k b_k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit ${\mathbb K}$-wertigen Differentialformen $\omega_k$. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $\omega$ genau dann \definitionsverweis {exakt}{}{} ist, wenn alle $\omega_k$ exakt sind. } {Es sei nun $\omega$ stetig differenzierbar. Zeige, dass $\omega$ genau dann \definitionsverweis {geschlossen}{}{} ist, wenn alle $\omega_k$ geschlossen sind. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und \maabb {f} {U} { \R } {} eine zweifach \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(df) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei $d$ die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} bezeichnet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {f(t) } {,} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\omega }
{ = }{ g(s)ds }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $\R$. Bestimme
\mathl{f^* \omega}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V, W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und sei $\omega$ eine $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $U$ mit Werten in $W$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U' }
{ \subseteq }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine offene Mengen in $V$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Rückzug}{}{} von $\omega$ auf $U'$ einfach die Einschränkung ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{ \R^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{} und sei \maabbdisp {\psi} {W} {U } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es sei \maabbdisp {f} {U} {\R } {} eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d (\psi^*f) }
{ =} { \psi^*(df) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wobei $\psi^*$ das \definitionsverweis {Zurückziehen von Differentialformen}{}{} bezeichnet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei \maabbele {f} {U} { {\mathbb C} } {z} { f(z) = w } {,} eine nullstellenfreie \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^* \left( \frac{ dw }{ w } \right) }
{ =} { { \frac{ f'(z) }{ f(z) } } dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei \maabbeledisp {\varphi} {U} { {\mathbb C} } {(u,v)} { \varphi (u,v) = \varphi_1(u,v) + { \mathrm i} \varphi_2(u,v) = x+ { \mathrm i} y = z } {,} eine reell \definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass für den \definitionsverweis {Rückzug}{}{} $\varphi^* dz$ gilt \zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ = }{ u+{ \mathrm i} v }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi^*(dz) }
{ =} { { \frac{ \partial \varphi }{ \partial u } } du + { \frac{ \partial \varphi }{ \partial v } } dv }
{ =} { { \frac{ \partial \varphi }{ \partial w } } dw + { \frac{ \partial \varphi }{ \partial \overline{ w } } } d \overline{ w } }
{ } {}
{ } {}
} {} {}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei \maabbeledisp {\varphi} {U} { {\mathbb C} } {(u,v)} { \varphi (u,v) = \varphi_1(u,v) + { \mathrm i} \varphi_2(u,v) = x+ { \mathrm i} y = z } {,} eine reell \definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass für den \definitionsverweis {Rückzug}{}{} $\varphi^* d \overline{ z }$ gilt \zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ = }{ u+{ \mathrm i} v }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi^*(d \overline{ z } ) }
{ =} { { \frac{ \partial \overline{ \varphi } }{ \partial u } } du + { \frac{ \partial \overline{ \varphi } }{ \partial v } } dv }
{ =} { { \frac{ \partial \overline{ \varphi } }{ \partial w } } dw + { \frac{ \partial \overline{ \varphi } }{ \partial \overline{ w } } } d \overline{ w } }
{ } {}
{ } {}
} {} {}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { ydx+zdy +xdz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^3$ und die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^3 } { \left( u , \, v \right) } { \left( u^2 , \, v^2 , \, uv \right) } {.} \aufzaehlungvier{Berechne die äußere Ableitung von $\omega$. }{Berechne den Rückzug $\varphi^* \omega$ von $\omega$ unter $\varphi$. }{Berechne die äußere Ableitung von $\varphi^* \omega$ auf $\R^2$. }{Berechne den Rückzug $\varphi^* d \omega$ von $d\omega$ unter $\varphi$ unabhängig von (3). }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V, W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und sei $\omega$ eine $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $U$ mit Werten in $W$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U' }
{ \subseteq }{ V' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U^{\prime \prime} }
{ \subseteq }{ V^{\prime \prime} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} weitere offene Mengen in endlichdimensionalen ${\mathbb K}$-Vektorräumen \mathkor {} {V'} {bzw.} {V^{\prime \prime}} {.} Es seien \maabbdisp {\psi} {U^{\prime \prime}} { U' } {} und \maabbdisp {\varphi} {U'} {U } {} \definitionsverweis {total differenzierbare Abbildungen}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \varphi \circ \psi)^* \omega }
{ =} { \psi^* { \left( \varphi^*(\omega) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Wir betrachten auf dem $\R^2$ die $\R$-wertige $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { (5xy^2-y+x^2)dx + (4x^2y-x^3)dy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne
\mathl{\omega( \begin{pmatrix} -1 \\-6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\-2 \end{pmatrix} )}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {äußere Ableitung}{}{} der $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { xy^2dx+yzdy+x^3dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^3$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5 (2+3)}
{

Es seien $V',V,W$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U' }
{ \subseteq }{ V' }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offene Mengen}{}{} und sei $\omega$ eine $W$-wertige \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} $1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{} auf $U$. Es sei \maabb {\varphi} {U'} {U } {} eine differenzierbare Abbildung. \aufzaehlungzwei {Es sei $\omega$ \definitionsverweis {exakt}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {zurückgezogene}{}{} Differentialform $\varphi^*\omega$ exakt ist. } {Es sei $\omega$ \definitionsverweis {geschlossen}{}{.} Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform $\varphi^*\omega$ geschlossen ist. }

}
{} {}