Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 25/latex

\setcounter{section}{25}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $P$ ein komplexes \definitionsverweis {Polynom}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass jeder Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {Gesamtvielfachheit}{}{} $d$ angenommen wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ = }{ z^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die $n$-te komplexe Potenzierung. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(z) }
{ = }{ \sum_{j = 0}^d a_jz^j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} $$ ein komplexes Polynom vom Grad $\leq d$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 0}^d \betrag { a_j } }
{ <} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Gesamtvielfachheit}{}{} der Nullstellen von
\mathl{f+g}{} innerhalb der offenen Einheitskreisscheibe gleich $n$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Folge}{}{} der \definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(z) }
{ =} { z^2- { \frac{ 1 }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wie verhalten sich die Anzahlen der Nullstellen und die \definitionsverweis {Gesamtnullstellenordnung}{}{} der Funktionen und die der Grenzfunktion der Folge?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Folge}{}{} der \definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(z) }
{ =} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ z }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wie verhalten sich die Anzahlen der Nullstellen \zusatzklammer {bzw. die \definitionsverweis {Gesamtnullstellenordnung}{}{}} {} {} der Funktionen und die Nullstellenanzahl der Grenzfunktion der Folge?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Grenzfunktion einer \definitionsverweis {kompakt konvergenten}{}{} \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {injektiven}{}{} \definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{} auf einem \definitionsverweis {Gebiet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konstant sein kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere eine \anfuehrung{möglichst verrückte}{} \definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{} offene Teilmenge von ${\mathbb C}$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \neq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} $F$ mit \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $\geq 1$ gibt, derart, dass die zugehörige Funktion \maabbdisp {f} { U { \left( 0,1 \right) } } {U } {} \definitionsverweis {biholomorph}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{} einer jeden \definitionsverweis {einfach zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \neq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stets die gleiche Gruppe ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} mit der Eigenschaft, dass jede nullstellenfreie \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} auf $U$ eine Quadratwurzel besitzt. Zeige, dass $U$ \definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es \definitionsverweis {abgeschlossene}{}{} \definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{} Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, die nicht zur abgeschlossenen Kreisscheibe
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{} \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {offene}{}{} \definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{} Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subset }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass der \definitionsverweis {Abschluss}{}{}
\mathl{\overline{ U }}{} nicht \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zur \definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{} ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \neq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Zeige, dass es eine eindeutige \definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {U} { U { \left( 0,1 \right) } } {} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(P) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mathl{f'(P)}{} reell und positiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Beschreibe explizit eine \definitionsverweis {surjektive}{}{} \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} \maabbdisp {f} { U { \left( 0,1 \right) } } {U { \left( 0,1 \right) } \setminus \{0\} } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene}{}{} \definitionsverweis {einfach zusammenhängende}{}{} Teilmenge derart, dass es eine \definitionsverweis {biholomorphe}{}{} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {U} { U { \left( 0,1 \right) } } {} derart gibt, dass $\varphi$ zu einer stetigen Abbildung auf den \definitionsverweis {Abschluss}{}{}
\mathl{\overline{ U }}{} ausgedehnt werden kann, die eine Homöomorphie zwischen dem \definitionsverweis {Rand}{}{} von $U$ und dem Rand der Einheitskreisscheibe induziert. Zeige, dass diese Eigenschaft dann für jede biholomorphe Abbildung \maabbdisp {\psi} {U} { U { \left( 0,1 \right) } } {} gilt.

}
{} {}