Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} { \exp z } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $f=\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }$ und $g=\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }$ \definitionsverweis {Potenzreihen}{}{} mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum $r$ sei. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Die Potenzreihe $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ mit $c_n =a_n+b_n$ ist konvergent auf $U { \left( 0,r \right) }$ und stellt dort die Summenfunktion $f+g$ dar. } {Die Potenzreihe $\sum _{ n= 0}^\infty d_n z^{ n }$ mit $d_n = \sum_{i=0}^n a_ib_{n-i}$ ist konvergent auf $U { \left( 0,r \right) }$ und stellt dort die Produktfunktion $fg$ dar. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit Konvergenzradius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n
}
{ \defeq} { \begin{cases} a_n,\, \text{ falls } n \in I, \\ 0 \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius
\mathl{\geq r}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
$\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }$
eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0
}
{ = }{ a_1
}
{ = }{ \ldots
}
{ = }{ a_k
}
{ = }{ 0
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten de Potenzreihe
$\sum _{ i= 0}^\infty b_i z^{ i }$
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_i
}
{ = }{ a_{i+k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$. Zeige, dass die beiden Potenzreihen die gleichen Konvergenzradien besitzen, und dass im Konvergenzbereich die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }
}
{ =} { z^k \sum _{ i= 0}^\infty b_i z^{ i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( c_n \right) }_{n \in \N }$ eine Folge von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
und $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
mit dem Konvergenzradius der um
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\anfuehrung{verschobenen}{} Potenzreihe
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }} { }
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{ n = 0}^\infty c_nT^n}{} eine
\definitionsverweis {komplexe Potenzreihe}{}{.}
Zeige, dass folgende Eigenschaften zueinander äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Die Potenzreihe
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}{Es gibt eine Schranke
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c_n }
}
{ \leq} { A^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B,s
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c_n } s^n
}
{ \leq} { B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} eine Potenzreihe mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ \in }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Folge
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
a) Wenn
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{} gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
so hat die Potenzreihe unendlichen
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{.}
b) Wenn
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{} gegen $a > 0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ a } }}{.}
c) Wenn
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{} bestimmt gegen $+ \infty$
\definitionsverweis {divergiert}{}{,}
so hat die Potenzreihe den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mathl{0}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} eine
\definitionsverweis {komplexe Potenzreihe}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
genau dann gleich $0$ ist, wenn die Folge
\mathl{\sqrt[n]{ \betrag { c_n } }}{} unbeschränkt ist.
}
{} {}
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\definitionsverweis {reeller Zahlen}{}{}
und es sei $H$ die Menge der
\definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{}
dieser Folge. Dann setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }
}
{ =} { \inf \, { \left( H \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }
}
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( H ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nennt diese Zahlen den \definitionswort {Limes inferior}{} bzw. den \definitionswort {Limes superior}{} der Folge.
\zusatzklammer {Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als $\infty$ bzw. als $-\infty$ zu interpretieren} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $\overline{ \R }$. Zeige, dass die Folge genau dann
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }
}
{ =} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }
}
{ <} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass ab einem gewissen $N$ die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ < }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine beschränkte reelle Folge,
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
und
\mathl{y_n=f(x_n)}{} die Bildfolge. Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} und $G$ die Menge der Häufungspunkte von
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{.}
a) Zeige
\mathl{f(H) \subseteq G}{.}
b) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } \right) }
}
{ \leq} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( y_n \right) }_{n \in \N } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{} in $\overline{ \R }$ und sei
\mathdisp {y_n := \inf { \left( x_k, \, k \geq n \right) }} { . }
a) Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{}
\definitionsverweis {wachsend}{}{}
ist.
b) Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen
\mathl{\operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }}{}
\definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{} der Folge
\mathl{x_n = \sin \left( n { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)}{.} Was ist der
\definitionsverweis {Limes inferior}{}{,}
was der
\definitionsverweis {Limes superior}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Limes inferior}{}{}
und den
\definitionsverweis {Limes superior}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n(x)
}
{ = }{ \sin (nx)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{[0, \pi]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
der
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty n z^n} { . }
}
{} {Tipp: Dabei ist
Aufgabe 20.33 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
hilfreich.}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[n]{n!}
}
{ \geq} { \sqrt{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Man folgere, dass die Folge
\mathl{\sqrt[n]{n!}}{} bestimmt gegen $+ \infty$ divergiert.
}{Man folgere, dass die Folge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt[n]{n!} } }}{} gegen $0$ konvergiert.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $P$ ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
und sei eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
der Form
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty P(n) z^n} { }
gegeben. Bestimme den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
dieser Potenzreihe.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
der
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty 3^{n^2} z^n} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
der
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty 3^{-n^2} z^n} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n = 1}^\infty { \frac{ (-1)^{n-1} }{ n } } z^n}{} den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
$1$ besitzt, und dass sie im Punkt $1$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und im Punkt $- 1$ nicht konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koeffizienten $d_0 , \ldots , d_3$ der \definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{} im \definitionsverweis {Entwicklungspunkt}{}{} ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$.
}
{} {(Für $d_1$ ist es hilfreich, eine Formel für $\sum_{n=k}^\infty z^n$ aufzustellen. Für $d_2, d_3$ wird die Aufsummierung ziemlich kompliziert. Mit dem Ableitungskalkül weiter unten haben wir eine einfache Möglichkeit, diese Koeffizienten auszurechnen.)}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{n = 0}^\infty c_nz^n}{} eine auf
\mathl{U { \left( 0,R \right) }}{} konvergente Potenzreihe und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ U { \left( 0,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt derart, dass die umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$ die Nullreihe sei. Zeige, dass dann auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{,}
die für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $U { \left( 0,\epsilon \right) }$
\definitionsverweis {konvergiere}{}{}
und dort die
\definitionsverweis {Nullfunktion}{}{}
darstelle. Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihen}{}{}
mit positiven
\definitionsverweis {Konvergenzradien}{}{}
und derart, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
\maabbdisp {f,g} {U { \left( 0,\epsilon \right) }} {{\mathbb K}
} {}
übereinstimmen. Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n
}
{ = }{b_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle geraden Indizes eine
\definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{}
darstellt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle ungeraden Indizes eine
\definitionsverweis {gerade Funktion}{}{}
darstellt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{k=0}^\infty c_k z^k}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{,}
die eine
\definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{}
darstelle. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_k
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle geraden Indizes ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{k=0}^\infty c_k z^k}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{,}
die eine
\definitionsverweis {gerade Funktion}{}{}
darstelle. Zeige, dass
\mathl{c_k=0}{} für alle ungeraden Indizes ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }$ eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $R>0$. Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe $\sum_{n=1}^\infty na_n z^{n-1}$ ebenfalls $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \exp z
} {,}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \!'( z )
}
{ =} { \exp z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Sinus- und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} über ihre Potenzreihen \zusatzklammer {Satz 8.12} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Sinus- und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} unter Verwendung von Satz 7.10 (4).
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }$ eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $f^{(k)}(a)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} von \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} und \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} {z^3+(4- { \mathrm i} )z^2-2{ \mathrm i}z+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
in der neuen Variablen
\mathl{z-1-{ \mathrm i}}{}
\zusatzklammer {also das umentwickelte Polynom} {} {}
auf zwei verschiedene Arten, nämlich
a) direkt durch Einsetzen,
b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $1+{ \mathrm i}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $2$ der Funktion \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\}} { {\mathbb C} } {z} { f(z) = { \frac{ z^2 -z +3 }{ z } } } {,} im Entwicklungspunkt ${ \mathrm i}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $4$ der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { { \left( \sin z \right) } { \left( \cos z \right) } } {,} im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Taylor-Polynome bis zur Ordnung $4$ der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \sin \left( \cos z \right) + z^3 \exp \left( z^2 \right) } {,} im Entwicklungspunkt $0$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion \maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} das $n$-te \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} von $f$ im Entwicklungspunkt $b$ nicht aus dem $n$-ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt $a$ bestimmen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
eine im Punkt $a$ $n$-fach
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
Funktion. Zeige, dass das $n$-te
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
zu $f$ im Punkt $a$, geschrieben in der verschobenen Variablen $x-a$, gleich dem $n$-ten Taylor-Polynom der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ = }{ f(x+a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt
\zusatzklammer {geschrieben in der Variablen $x$} {} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{}
der
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
für einen beliebigen Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine in
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{}
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.}
Zeige, dass dann die Potenzreihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ a_{n-1} }{ n } } x^n} { }
ebenfalls in
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{} konvergent ist und dort eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für $f$ darstellt.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe betrachte man den natürlichen Logarithmus als die Stammfunktion zu ${ \frac{ 1 }{ z } }$ auf einer offenen Umgebung der $1$, die dort den Wert $0$ besitzt.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {natürliche Logarithmus}{}{}
\maabbeledisp {\ln} { U { \left( 1,1 \right) } } { {\mathbb C}
} {z} { \ln z
} {,}
im Entwicklungspunkt $1$ die Potenzreihenbeschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln \left( z \right)
}
{ =} { \sum_{k = 1}^\infty (-1)^{k+1} { \frac{ (z-1)^k }{ k } }
}
{ =} { (z-1)- { \frac{ (z-1)^2 }{ 2 } } + { \frac{ (z-1)^3 }{ 3 } } - { \frac{ (z-1)^4 }{ 4 } } + \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 1}^\infty \frac{x^n}{n^2}} { . }
Zeige, dass diese Potenzreihe den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $1$ besitzt, und dass die Reihe noch für alle
\mathbed {x \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { x } =1} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien $P,Q$
\definitionsverweis {Polynome}{}{} $\neq 0$ und sei eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
der Form
\mathdisp {\sum_{n = k}^\infty { \frac{ P(n) }{ Q(n) } } z^n} { }
gegeben, wobei $Q(n)$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nullstellenfrei sei. Bestimme den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
dieser Potenzreihe.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die Koeffizienten $d_0 , \ldots , d_6$ der \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} im \definitionsverweis {Entwicklungspunkt}{}{} $1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (3+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ U { \left( 0,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $g$ die
\zusatzklammer {zu $f$} {} {}
umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$, die auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( b,r \right) }
}
{ \subseteq }{ U { \left( 0,R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiere, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ U { \left( b,r \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein weiterer Punkt. Es sei $h$ die zu $f$ umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $c$ und es sei $\tilde{h}$ die zu $g$ umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $c$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ = }{ \tilde{h}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf zwei Arten.
\aufzaehlungzwei {Über die Formel für die Koeffizienten aus
Satz 8.8.
} {Über die beschriebenen Funktionen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die Folge der Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ = }{ \sum_{k = 0}^n z^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {der
\definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{}} {} {}
auf der offenen Kreisscheibe
\mathl{U { \left( 0,1 \right) }}{} nicht
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}
}
{} {}