Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 8/latex

\setcounter{section}{8}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} { \exp z } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $f=\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }$ und $g=\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }$ \definitionsverweis {Potenzreihen}{}{} mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum $r$ sei. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Die Potenzreihe $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ mit $c_n =a_n+b_n$ ist konvergent auf $U { \left( 0,r \right) }$ und stellt dort die Summenfunktion $f+g$ dar. } {Die Potenzreihe $\sum _{ n= 0}^\infty d_n z^{ n }$ mit $d_n = \sum_{i=0}^n a_ib_{n-i}$ ist konvergent auf $U { \left( 0,r \right) }$ und stellt dort die Produktfunktion $fg$ dar. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit Konvergenzradius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n }
{ \defeq} { \begin{cases} a_n,\, \text{ falls } n \in I, \\ 0 \text{ sonst}, \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius
\mathl{\geq r}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }$ eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0 }
{ = }{ a_1 }
{ = }{ \ldots }
{ = }{ a_k }
{ = }{ 0 }
} {}{}{.} Wir betrachten de Potenzreihe $\sum _{ i= 0}^\infty b_i z^{ i }$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_i }
{ = }{ a_{i+k} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $i$. Zeige, dass die beiden Potenzreihen die gleichen Konvergenzradien besitzen, und dass im Konvergenzbereich die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } }
{ =} { z^k \sum _{ i= 0}^\infty b_i z^{ i } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \left( c_n \right) }_{n \in \N }$ eine Folge von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} und $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ die zugehörige Potenzreihe. Zeige, dass deren \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} mit dem Konvergenzradius der um
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \anfuehrung{verschobenen}{} Potenzreihe
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }} { }
übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{ n = 0}^\infty c_nT^n}{} eine \definitionsverweis {komplexe Potenzreihe}{}{.} Zeige, dass folgende Eigenschaften zueinander äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Die Potenzreihe \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} }{Es gibt eine Schranke
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c_n } }
{ \leq} { A^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B,s }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c_n } s^n }
{ \leq} { B }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} eine Potenzreihe mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n }
{ \in }{ {\mathbb C} \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betrachten die Folge
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{.} Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} so hat die Potenzreihe unendlichen \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{.}

b) Wenn
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{} gegen $a > 0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ a } }}{.}

c) Wenn
\mathl{{ \frac{ \betrag { c_{n+1} } }{ \betrag { c_n } } }}{} bestimmt gegen $+ \infty$ \definitionsverweis {divergiert}{}{,} so hat die Potenzreihe den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mathl{0}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} eine \definitionsverweis {komplexe Potenzreihe}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} genau dann gleich $0$ ist, wenn die Folge
\mathl{\sqrt[n]{ \betrag { c_n } }}{} unbeschränkt ist.

}
{} {}


Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} \definitionsverweis {reeller Zahlen}{}{} und es sei $H$ die Menge der \definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{} dieser Folge. Dann setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } }
{ =} { \inf \, { \left( H \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } }
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( H ) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und nennt diese Zahlen den \definitionswort {Limes inferior}{} bzw. den \definitionswort {Limes superior}{} der Folge. \zusatzklammer {Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als $\infty$ bzw. als $-\infty$ zu interpretieren} {} {.}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $\overline{ \R }$. Zeige, dass die Folge genau dann \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } }
{ =} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } }
{ <} {b }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass ab einem gewissen $N$ die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n }
{ < }{ b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine beschränkte reelle Folge, \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} und
\mathl{y_n=f(x_n)}{} die Bildfolge. Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} und $G$ die Menge der Häufungspunkte von
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{.}

a) Zeige
\mathl{f(H) \subseteq G}{.}

b) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } \right) } }
{ \leq} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( y_n \right) }_{n \in \N } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $\overline{ \R }$ und sei
\mathdisp {y_n := \inf { \left( x_k, \, k \geq n \right) }} { . }

a) Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} \definitionsverweis {wachsend}{}{} ist.

b) Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen
\mathl{\operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }}{} \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{} der Folge
\mathl{x_n = \sin \left( n { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)}{.} Was ist der \definitionsverweis {Limes inferior}{}{,} was der \definitionsverweis {Limes superior}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Limes inferior}{}{} und den \definitionsverweis {Limes superior}{}{} der \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n(x) }
{ = }{ \sin (nx) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf
\mathl{[0, \pi]}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} der \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty n z^n} { . }

}
{} {Tipp: Dabei ist Aufgabe 20.33 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) hilfreich.}




\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungdrei{Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[n]{n!} }
{ \geq} { \sqrt{n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Man folgere, dass die Folge
\mathl{\sqrt[n]{n!}}{} bestimmt gegen $+ \infty$ divergiert. }{Man folgere, dass die Folge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt[n]{n!} } }}{} gegen $0$ konvergiert. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $P$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} und sei eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} der Form
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty P(n) z^n} { }
gegeben. Bestimme den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} dieser Potenzreihe.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} der \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty 3^{n^2} z^n} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} der \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty 3^{-n^2} z^n} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n = 1}^\infty { \frac{ (-1)^{n-1} }{ n } } z^n}{} den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $1$ besitzt, und dass sie im Punkt $1$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und im Punkt $- 1$ nicht konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koeffizienten $d_0 , \ldots , d_3$ der \definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{} im \definitionsverweis {Entwicklungspunkt}{}{} ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$.

}
{} {(Für $d_1$ ist es hilfreich, eine Formel für $\sum_{n=k}^\infty z^n$ aufzustellen. Für $d_2, d_3$ wird die Aufsummierung ziemlich kompliziert. Mit dem Ableitungskalkül weiter unten haben wir eine einfache Möglichkeit, diese Koeffizienten auszurechnen.)}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{n = 0}^\infty c_nz^n}{} eine auf
\mathl{U { \left( 0,R \right) }}{} konvergente Potenzreihe und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \in }{ U { \left( 0,R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt derart, dass die umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$ die Nullreihe sei. Zeige, dass dann auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }} { }
eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{,} die für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf $U { \left( 0,\epsilon \right) }$ \definitionsverweis {konvergiere}{}{} und dort die \definitionsverweis {Nullfunktion}{}{} darstelle. Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist \zusatzklammer {d.h. die Potenzreihe ist die Nullreihe} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihen}{}{} mit positiven \definitionsverweis {Konvergenzradien}{}{} und derart, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, dass die dadurch definierten Funktionen \maabbdisp {f,g} {U { \left( 0,\epsilon \right) }} {{\mathbb K} } {} übereinstimmen. Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n }
{ = }{b_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle geraden Indizes eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} darstellt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n z^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle ungeraden Indizes eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} darstellt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{k=0}^\infty c_k z^k}{} eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{,} die eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} darstelle. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_k }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle geraden Indizes ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\sum_{k=0}^\infty c_k z^k}{} eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{,} die eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} darstelle. Zeige, dass
\mathl{c_k=0}{} für alle ungeraden Indizes ist.

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }$ eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $R>0$. Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe $\sum_{n=1}^\infty na_n z^{n-1}$ ebenfalls $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \exp z } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \!'( z ) }
{ =} { \exp z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Sinus- und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} über ihre Potenzreihen \zusatzklammer {Satz 8.12} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Sinus- und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} unter Verwendung von Satz 7.10  (4).

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }$ eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $f^{(k)}(a)$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} von \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} und \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ =} {z^3+(4- { \mathrm i} )z^2-2{ \mathrm i}z+5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} in der neuen Variablen
\mathl{z-1-{ \mathrm i}}{} \zusatzklammer {also das umentwickelte Polynom} {} {} auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $1+{ \mathrm i}$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad $2$ der Funktion \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\}} { {\mathbb C} } {z} { f(z) = { \frac{ z^2 -z +3 }{ z } } } {,} im Entwicklungspunkt ${ \mathrm i}$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $4$ der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { { \left( \sin z \right) } { \left( \cos z \right) } } {,} im Nullpunkt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Taylor-Polynome bis zur Ordnung $4$ der Funktion \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \sin \left( \cos z \right) + z^3 \exp \left( z^2 \right) } {,} im Entwicklungspunkt $0$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion \maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} das $n$-te \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} von $f$ im Entwicklungspunkt $b$ nicht aus dem $n$-ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt $a$ bestimmen kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {} eine im Punkt $a$ $n$-fach \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktion. Zeige, dass das $n$-te \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} zu $f$ im Punkt $a$, geschrieben in der verschobenen Variablen $x-a$, gleich dem $n$-ten Taylor-Polynom der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x) }
{ = }{ f(x+a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Nullpunkt \zusatzklammer {geschrieben in der Variablen $x$} {} {} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{} der \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} für einen beliebigen Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine in
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{} \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.} Zeige, dass dann die Potenzreihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ a_{n-1} }{ n } } x^n} { }
ebenfalls in
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{} konvergent ist und dort eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für $f$ darstellt.

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe betrachte man den natürlichen Logarithmus als die Stammfunktion zu ${ \frac{ 1 }{ z } }$ auf einer offenen Umgebung der $1$, die dort den Wert $0$ besitzt.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {natürliche Logarithmus}{}{} \maabbeledisp {\ln} { U { \left( 1,1 \right) } } { {\mathbb C} } {z} { \ln z } {,} im Entwicklungspunkt $1$ die Potenzreihenbeschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln \left( z \right) }
{ =} { \sum_{k = 1}^\infty (-1)^{k+1} { \frac{ (z-1)^k }{ k } } }
{ =} { (z-1)- { \frac{ (z-1)^2 }{ 2 } } + { \frac{ (z-1)^3 }{ 3 } } - { \frac{ (z-1)^4 }{ 4 } } + \ldots }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 1}^\infty \frac{x^n}{n^2}} { . }
Zeige, dass diese Potenzreihe den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $1$ besitzt, und dass die Reihe noch für alle
\mathbed {x \in {\mathbb C}} {}
{\betrag { x } =1} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es seien $P,Q$ \definitionsverweis {Polynome}{}{} $\neq 0$ und sei eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} der Form
\mathdisp {\sum_{n = k}^\infty { \frac{ P(n) }{ Q(n) } } z^n} { }
gegeben, wobei $Q(n)$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nullstellenfrei sei. Bestimme den \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} dieser Potenzreihe.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die Koeffizienten $d_0 , \ldots , d_6$ der \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} im \definitionsverweis {Entwicklungspunkt}{}{} $1$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5 (3+2)}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit dem \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \in }{ U { \left( 0,R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei $g$ die \zusatzklammer {zu $f$} {} {} umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $b$, die auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U { \left( b,r \right) } }
{ \subseteq }{ U { \left( 0,R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konvergiere, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ U { \left( b,r \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein weiterer Punkt. Es sei $h$ die zu $f$ umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $c$ und es sei $\tilde{h}$ die zu $g$ umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $c$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h }
{ = }{ \tilde{h} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf zwei Arten. \aufzaehlungzwei {Über die Formel für die Koeffizienten aus Satz 8.8. } {Über die beschriebenen Funktionen. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die Folge der Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n }
{ = }{ \sum_{k = 0}^n z^k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {der \definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{}} {} {} auf der offenen Kreisscheibe
\mathl{U { \left( 0,1 \right) }}{} nicht \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}

}
{} {}