Kurs:Gewöhnliche Differentialgleichungen/2.3.1 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

2.3.1 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Bearbeiten

Sei nun die Matrix   in (2.11) konstant,   Das Prinzip der Superposition und die daraus folgende Formel (2.17) ist in diesem Spezialfall gültig und liefert die Lösung des inhomogenes Problems (2.11). Die der homogenen Gleichung   zugehörige Fundamentalmatrix besteht aus   unabhängigen vektorwertigen Funktionen   die den Lösungen von

 

entsprechen. Jede andere Lösung dieser homogenen Differentiagleichung lässt sich als Kombination   dieser Lösungen darstellen. Die Konstanten   werden später durch die Anfangsbedingung bestimmt, denn es muss gelten  

Die Lösung von (2.18) bestimmen wir mithilfe von Eigewerten (EW) und Eigenvektoren (EV) der Matrix  . Für die Eigenwerte und Eigenvektoren von   gilt:

 
wobei   oder   der  -te Eigenwert und   oder   der zugehörige Eigenvektor ist,  . Nach dem Umformulieren der obigen Gleichung erhalten wir   woraus folgt, dass die Matrix   singulär ist. Das ist äquivalent zu  . Die Determinante   ist ein Polynom  -ten Grades in  , das sogenannte charakteristischen Polynom  . Also sind die Eigenwerte   Nullstellen von  . Im Folgenden betrachten wir zunächst den Fall der einfachen Nullstellen von  ,  

Wir suchen nun nach der Lösung von (2.18). Besteht der Lösungsvektor   aus dem (konstanten) Eigenvektor Anteil   und dem skalaren Anteil  , dann entsteht auf der rechten Seite von (2.18)  , und der nicht-konstante,   abhängige, skalare Anteil   von   muss den Ausdruck   enthalten. So kommen wir zu einer Lösung

 
(überzeugen Sie sich davon dass  .)

Schließlich definieren wir die Fundamentalmatrix für die homogene Dgl (2.18) im Fall einfacher Eigenwerte.


Defintion 2.4 (Fundamentalmatrix für die homogene Dgl (2.18) im Fall einfacher Eigenwerte

Seien die Eigenwerte der Matrix   einfach,   Die Fundamentalmatrix der homogenen Differentialgleichung (2.18) hat dann folgende Form

 

wobei die   die (einfachen) Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von   sind.

Nun können wir die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems bestimmen. Sei   die Lösung von (2.18) mit  . Dann ist  , wobei   die Spalten der Fundamentalmatrix (2.19) sind und die Konstanten   als Lösung des folgenden linearen Systems bestimmt werden,

 
Dieses lineare System entspricht genau der Bedingung   da  .

Beispiel 2.3. Finde die Lösung der Anfangswertaufgabe dritter Ordnung

 
Nach dem Umformulieren dieser Gleichung in ein   System von Dgl für   erhalten wir
 
Wir bestimmen die Eigenwerte und Eigenvektoren der Systemmatrix. Das charakteristische Polynom dieser Matrix ist
 
Die Nullstellen von   sind   Die entsprechende Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten sind (nachrechnen!)
 
(oder nicht-verschwindende vielfache   davon). Nun können wir die allgemeine Lösung unseres Systems mithilfe von (2.19) als eine beliebige Kombination der Spalten der Fundamentalmatrix   bestimmen,
 
Die Lösung unserer ursprünglichen Differentialgleichung dritter Ordnung entspricht der ersten Komponente von   also  . Aus den Anfangsbedingungen   ergibt sich schließlich  .
Die gesuchte Lösung ist  .

Wir betrachten nun den Fall, wenn die Matrix   in (2.18) mehrfache Eigenwerte besitzt. Sei   ein  -facher Eigenwert von  ,  . Also hat das charakteristische Polynom   (von Grad  ) höchstens   verschiedene Nullstellen  . Angenommen es gibt keine weiteren mehrfachen Nullstellen von  . Dann erhalten wir für   durch Auflösen von   nach   insgesamt   unabhängige Eigenvektoren. [1]. Die Fundamentalmatrix (2.19) kann nicht vollständig konstruiert werden.
Wie erzeugt man die restlichen   unabhängigen Spalten von  ?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns die Vielfachheit eines Eigenwertes genauer anschauen. Man unterscheidet zwischen

  • algebraischer Vielfachheit (AVf) von  : das ist die Vielfachheit der Nullstelle von  , in unserem Fall ist es  .
  • geometrischer Vielfachheit (GVf) von  : das ist die Dimension des Lösungsraumes von  , (die Dimension von Kern( )).

Fall 1: (GVf=AVf)
Die Situation ist einfach, wenn die geometrische Vielfachheit von   der algebraischen Vielfachheit ( ) entspricht. Dann erhalten wir alle notwendigen Eigenvektoren zu   durch Lösen von   nach  , denn die Lösungen   spannen einen  - dimensionalen Eigenraum zu   auf.
Fall 2: (GVf<AVf)
Falls die geometrische Vielfachheit von   kleiner als   ist, müssen wir mit weiteren Vektoren, so genannte verallgemeinerte Eigenvektoren, auffüllen. Sei (GVf) . Dann erhalten wir zu   erstmal wie im Fall 1   Eigenvektoren   durch Lösen von  . Weitere verallgemeinerte Eigenvektoren (auch genannt Hauptvektoren der Stufe 2, 3 u.s.w.) erhält man durch Einsetzen der bereits bekannten Eigenvektoren (oder Hauptvektoren) in die rechte Seite und Auflösen nach  :

 
Durch das Einsetzen der ersten Gleichung von oben in die Gleichung für den zuletzt erzeugten Eigenvektor   erhält man für den ersten Hauptvektor  , dass   Man nennt deswegen   auch Hauptvektor der Stufe 2. (Die Eigenvektoren   werden auch Hauptvektoren der Stufe 1 genannt.) Durch sukzessives Einsetzen erhält man für den Hauptvektor   die Stufe 3, schließlich für den Hauptvektor   die Stufe  .

Die Eigenvektoren   zusammen mit den Hauptvektoren   spannen einen  - dimensionalen Eigenraum zu   auf und werden benutzt, um die fehlenden   Spalten der Fundamentalmatrix, die zu dem  -fachen Eigenwert   gehören, zu erzeugen.


Defintion 2.5 (Fundamentalmatrix für mehrfach Eigenwerte)

Sei   ein  - facher Eigenwert der Matrix  . Der zu dem Eigenwert   zugehörige Teil der Fundamentalmatrix (2.18) hat folgende Form   (2.20)

wobei die   sind die Eigenvektoren und Hauptvektoren zu  , deren Konstruktion oben im Fall 1 und 2 beschrieben ist.


Beispiel 2.4. Gegeben sei eine Matrix   mit dem charakteristischen Polynom  . Die Nullstellen sind   (dreifach),   (dreifach). Sei die geometrische Vielfachheit von    , und die von    . Bestimme die Fundamentalmatrix vom System  .
Eigenraum zu  :
Durch Lösen von   erhält man die Eigenvektoren  . Den dritten verallgemeinerten Eigenvektor (Hauptvektor der Stufe 2) erhält man durch Lösen von

 
Eigenraum zu  :
Durch Lösen von   erhält man den Eigenvektor  . Die fehlenden verallgemeinerten Eigenvektoren   (Hauptvektoren von Stufe 2 und 3) erhält man durch Lösen von
 
Die Fundamentalmatrix ist nun gegeben durch  


Bemerkung 2.1 (Fall: komplexe Eigenwerte) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat das Charakteristische Polynom für   mit Vielfachheit gezählt   Nullstellen, d.h.   hat   Eigenwerte.

Neben den oben behandelten reellen Nullstellen bzw. Eigenwerten kann es vorkommen, dass   komplexe Eigenwerte und komplexe Eigenvektoren hat. Also ist   und   aufgeteilt in Realteil und Imaginärteil. Auch in dem Fall ist   eine Lösung des Systems, die aber komplexwertig ist. Wie kommt man nun zu reellen Lösungen?

Komplexe Nullstellen reeller Polynome kommen immer paarweise komplex-konjugiert vor, daher ist mit   auch   eine Nullstelle und damit ein Eigenwert. Zugehörige Eigenvektoren sind dann auch komplex-konjugiert zueinander  . Entsprechend ist dann auch   eine Lösung.

Beachtet man nun die Euler-Identität   so lassen sich aus den zwei Lösungen mithilfe von Summe und Differenz die neuen, reellwertigen Lösungen

 
für die Differentialgleichung finden. Haben die komplexen Nullstellen selbst eine höhere Vielfachheit, so geht man dann analog zum reellen Fall vor und muss entsprechend mit   multiplizieren. Hier gehen wir auf diesen Fall nicht weiter ein.


  1. Die lineare Unabhängigkeit der Eigenvektoren hängt mit der Diagonalisierbarkeit der Matrix   zusammen:   ist diagonalisierbar   existiert eine   nichtsinguläre Matrix   mit   Man kann zeigen, dass symmetrische Matrizen diagonalisierbar sind und reele Eigenwerte besitzen.