Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/1/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 1 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 0 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 6 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 59 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Vereinigung} {} der Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Eine \stichwort {Verknüpfung} {} $\circ$ auf einer Menge $M$.
}{Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl $a$ eine natürliche Zahl $b$ \stichwort {teilt} {}
}{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}
}{Die \stichwort {Addition} {} von \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} \mathkor {} {x = { \frac{ a }{ b } }} {und} {y = { \frac{ c }{ d } }} {.}
}{Ein \stichwort {Dezimalbruch} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.}{Die \stichwort {Division mit Rest} {} für natürliche Zahlen.}{Die \stichwort {Bernoulli-Ungleichung} {} für einen angeordneten Körper $K$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Führe die zweite binomische Formel für rationale Zahlen auf die zweite binomische Formel für ganze Zahlen zurück.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+1+1)}
{
Folgende Aussagen seien bekannt. \aufzaehlungsieben{Der frühe Vogel fängt den Wurm. }{Doro wird nicht von Lilly gefangen. }{Lilly ist ein Vogel oder ein Igel. }{Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät. }{Doro ist ein Wurm. }{Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh. }{Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs. } Beantworte folgende Fragen. \aufzaehlungdrei{Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel? }{Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier? }{Fängt der späte Igel den Wurm? }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {f} {\N} {\Z } {n} {\begin{cases} -\frac{n}{2}, \text{ falls } n \text{ gerade} \, ,\\ \frac{n+1}{2}, \text{ falls } n \text{ ungerade} \, . \end{cases} } {} Ist $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und
\maabb {F} {L} {M
} {}
und
\maabb {G} {M} {N
} {}
\definitionsverweis {injektive Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise in $\N$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(n+k)'
}
{ =} {n' +k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
durch Induktion über $k$ unter Verwendung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n+k'
}
{ = }{(n+k)'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $x \mapsto x^\prime$ die Nachfolgerabbildung bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Zeige, dass die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen eine totale Ordnung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise durch Induktion die folgende Formel für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^n k
}
{ =} {{ \frac{ n(n+1) }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es findet das olympische 100-Meter-Finale mit acht Teilnehmern statt. Sie wissen, welche drei Teilnehmer eine Medaille gewinnen \zusatzklammer {aber nicht, wer welche Medaille gewinnt} {} {.} Wie viele Möglichkeiten für das Gesamtergebnis aller acht Teilnehmer verbleiben \zusatzklammer {keine Platzierung ist doppelt besetzt} {} {?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Führe im Zehnersystem die Addition
\mathdisp {794385 + 503819} { }
schriftlich durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1071$ und $1029$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das Lemma von Euklid für ganze Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}
b) Berechne den
\definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{}
der ganzen Zahlen
\mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Erläutere den Begriff \stichwort {Dreisatzaufgabe} {} samt Lösungsverfahren anhand eines typischen Beispiels.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass das Produkt von zwei Dezimalbrüchen wieder eine Dezimalbruch ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{
Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen $n$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis
\zusatzklammer {die Ja-Antworten} {} {}
in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab
\mathl{,5}{} nach oben gerundet wird.
a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der
\definitionsverweis {Gaußklammer}{}{}
$\lfloor \, \, \rfloor$, die bei gegebenem $n$ aus $i$ die Prozentzahl
\mathl{p(i)}{} berechnet.
b) Für welche $n$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?
c) Es sei
\mathl{n=99}{.} Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?
d) Es sei
\mathl{n=101}{.} Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?
e) Es sei
\mathl{n=102}{.} Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?
}
{} {}