Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/14/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	3	3	2	3	12	2	3	3	1	8	3	4	4	2	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Peano-Axiome.
2. Die Summe ${}n+k$ zweier natürlicher Zahlen ${}n$ und ${}k$.
3. Die Multiplikation von ganzen Zahlen.
4. Eine Untergruppe ${}H$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Eine streng wachsende Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ auf einem angeordneten Körper ${}K$.
6. Eine Dezimalbruchfolge ${}x_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, in einem angeordneten Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die algebraische Struktur der natürlichen Zahlen.
2. Das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen ${}a$ und ${}b$.
3. Der Satz über die Wachstumsdominanz der (ganzzahligen) Exponentialfunktion.

Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Kein Mensch ist illegal“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Aufgabe * (3 Punkte)

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit ${}V$ (vordere Tafel), ${}M$ (mittlere Tafel) und ${}H$ (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine injektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ derart gibt, dass man ${}\varphi$ als Abbildung

$\varphi '\colon L\longrightarrow T$

auffassen kann (${}\varphi$ und ${}\varphi '$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs) und dass ${}\varphi '$ bijektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Erstelle das Pascalsche Dreieck bis ${}n=6$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Petra hat folgende Informationen über die Erfolge von Deutschland bei Fußballweltmeisterschaften:

1. Die Fußballweltmeisterschaft findet alle vier Jahre statt.
2. Deutschland war schon viermal Weltmeister.
3. Deutschland war zum ersten Mal 1954 und zum letzten Mal 2014 Weltmeister.
4. Deutschland war nie zweimal hintereinander Weltmeister.

Wie viele Möglichkeiten für die Jahre, in denen Deutschland die zweite bzw. die dritte Weltmeisterschaft gewann, verbleiben?

Aufgabe * (12 (4+3+5) Punkte)

Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen mit den beiden Verknüpfungen

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto {\operatorname {GgT} \,\left(a,b\right)}$

und

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto {\operatorname {KgV} \,\left(a,b\right)}.$

1. Zeige, dass der größte gemeinsame Teiler eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt (der größte gemeinsame Teiler von ${}0$ und ${}0$ sei als ${}0$ festgelegt).
2. Zeige, dass das kleinste gemeinsame Vielfache eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt (das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}a$ und ${}0$ sei als ${}0$ festgelegt).
3. Zeige, dass mit diesen Verknüpfungen (mit dem GgT als Addition) ein kommutativer Halbring vorliegt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Rest von ${}123456789$ bei Division durch ${}9$.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere die Rolle der Division mit Rest für die Dezimalentwicklung von natürlichen Zahlen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1023$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}a$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}b$ Litern, wobei ${}a$ und ${}b$ teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Exponenten zu ${}2$ von ${}203264$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Größergleichrelation ${}\geq$ auf ${}\mathbb {Q}$ wohldefiniert ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Unterteile die Strecke von ${}{\frac {2}{7}}$ nach ${}{\frac {3}{4}}$ rechnerisch in drei gleichlange Strecken.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Funktion

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -\left\lfloor -x\right\rfloor .$