Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/6/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 8 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {endliche} {} Menge $M$ mit $n$ Elementen.
}{Eine \stichwort {Relation} {} auf einer Menge $M$.
}{Die \stichwort {Multiplikation} {} von ganzen Zahlen.
}{Ein \stichwort {gemeinsames Vielfaches} {} zu natürlichen Zahlen $a_1 , \ldots , a_k$.
}{Die \stichwort {Größergleichrelation} {} $\geq$ auf den rationalen Zahlen.
}{Die \stichwort {Darstellung} {} eines Dezimalbruches im Dezimalsystem. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Beziehung zwischen der Addition und endlichen Mengen.}{Die \stichwort {Potenzgesetze} {} für natürliche Zahlen.}{Der Satz über die algebraische Struktur der ganzen Zahlen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Negiere den Satz \anfuehrung{Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich}{} durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{a \in \N_+}{.} Zeige, wie man $a^{10}$ mit vier Multiplikationen berechnen kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist auch $f$ injektiv.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+2+1)}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass für
\mathl{a,b \in \N}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ab
}
{ \leq} {a^2+b^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt und somit stets
\mathl{a^2+b^2 -ab \in \N}{} ist.
}{Besitzt die Verknüpfung
\maabbeledisp {} {\N \times \N} { \N
} {(a,b)} {a \star b \defeq a^2+b^2 -ab
} {,}
ein neutrales Element?
}{Berechne
\mathdisp {5 \star (4 \star 3)} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Führe im Dreiersystem die Addition
\mathdisp {201 021 + 112 002} { }
schriftlich durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise das \stichwort {allgemeine Distributivgesetz} {} für einen kommutativen Halbring.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+3)}
{
Wir interessieren uns für Eigenschaften von ganzen Zahlen, die nur davon abhängen, ob eine positive
\zusatzklammer {$p$} {} {}
oder eine negative Zahl
\zusatzklammer {$n$} {} {}
vorliegt.
\aufzaehlungdrei{Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Multiplikation auf
\mathl{\{ p, n\}}{,} die die Multiplikation auf $\Z$
\zusatzklammer {hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist} {} {}
widerspiegelt.
}{Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung auf
\mathl{\{ p, n\}}{,} die der Verknüpfung \anfuehrung{Maximum nehmen}{} auf $\Z$
\zusatzklammer {hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist} {} {}
entspricht.
}{Gibt es eine Beziehung zwischen diesen Verknüpfungen und den Verknüpfungen $\cdot$ und $+$ auf
\mathl{\{g,u\}}{,} die das Verhalten von geraden und ungeraden Zahlen bei der Addition und der Multiplikation beschreiben?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (1+1+1+3+2)}
{
Zur großen Pause fährt der Eiswagen \anfuehrung{Largo Maggiore}{} auf den Pausenhof. Eisverkäufer Lorenzo di Napoli bietet $10$ Eissorten an. Lucy Sonnenschein hat heute Lust auf ein Eis mit drei Kugeln, die in der Eistüte übereinander gestapelt werden. \aufzaehlungfuenf{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird? }{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird? }{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird? }{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird? }{Wie kann man mit den Schritten mit denen man (4) beantwortet hat die Antworten zu (1) und zu (3) herleiten? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{n \geq 2}{.} Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System
\zusatzklammer {ohne die Nuller- und die Zehnerreihe} {} {,}
ob $n$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass eine Quadratzahl
\mathl{\neq 0}{} stets eine ungerade Anzahl an Teilern besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+3+1)}
{
Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter. \aufzaehlungdrei{Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen? }{Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann? }{Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen
\mathkor {} {p} {und} {q} {}
größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{a \neq b}{} Basen zu einem Stellenwertsystem
\zusatzklammer {$a$-er System und $b$-er System} {} {.}
Es sei $z$ eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Stellenwertsystem zur Basis $a$ eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis $b$?
}
{} {}