Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/10/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 5 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 2 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 63 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleeinundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {Gerade in Punktvektorform} {}
im
\mathl{K^n}{.}
}{Die \stichwort {beschreibende Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} bezüglich der Standardbasen.
}{Eine \stichwort {Äquivalenzrelation} {} $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {Dedekindscher Schnitt} {.}
}{Der \stichwort {trigonometrische Punkt} {}
\mathl{P(\alpha)}{} zu einem Winkel $\alpha$.
}{Ein \stichwort {endlicher Wahrscheinlichkeitsraum} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.}{Der \stichwort {Satz über die Eindeutigkeit des Limes} {} in einem angeordneten Körper $K$.}{Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms
\mathl{F \in K[X]}{}.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Ein
\definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{}
sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y
}
{ \leq} {-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x
}
{ \leq} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x+7y
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das \stichwort {Injektivitätskriterium} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\mathl{x,y}{} rationale Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{37}}{} in
\mathl{\Z/(89)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {K} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {a} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } {.} Welche Eigenschaften eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} erfüllt die Abbildung $\varphi$, welche nicht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{[a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$. Beschreibe die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid - x \in [a,b] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als ein Intervall.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \sqrt{5} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 4 }{ 5 } } + { \frac{ 5 }{ 3 } } \sqrt{5} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {{ \frac{ 7 n^4-2n^2+5 }{ 4n^4-5n^3+n-6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz, dass der \definitionsverweis {Limes}{}{} einer \definitionsverweis {konvergenten Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $x \in \R_{\geq 0}$ eine nichtnegative reelle Zahl. Für jedes $\epsilon \in \R,\, \epsilon >0$, gelte $x \leq \epsilon$. Zeige $x = 0$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0{,}7 \overline{41}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^3+bX^2+cX+d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein normiertes Polynom über einem Körper $K$. Es seien
\mathl{u,v,w}{} drei
\zusatzklammer {verschiedene} {} {}
Zahlen aus $K$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von $P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uvw
}
{ =} {-d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ uv+uw+vw
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u+v+w
}
{ =} {-b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Fridolin sagt:
\anfuehrung{Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} { { \frac{ 1 }{ x } }
} {,}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1)
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ [-1,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist doch aber stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{}
Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu
\zusatzklammer {man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte} {} {.}
\aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1} { . }
}
-
a) -
b) -
c)
-
d) -
e) -
f)
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Zahlenlotto \zusatzklammer {genau} {} {} drei Richtige hat.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\{1,2,3 , \ldots , 143\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Laplace-Dichte}{}{.}
Es sei $E$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches der $11$ ist, und $F$ das Ereignis, dass eine Zahl aus $M$
ein Vielfaches der $13$ ist. Sind
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {unabhängig}{}{?}
}
{} {}