Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/12/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 6 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Ebene} {} im $K^n$.
}{Die \stichwort {inverse Matrix} {} zu einer
\definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} über einem Körper $K$.
}{Die Äquivalenzrelation $\sim_H$ zu einer Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer kommutativen Gruppe.
}{Ein \stichwort {normiertes} {} Polynom.
}{Der Ausdruck
\mathl{b^q}{}
zu
\mathl{b \in \R_+}{} und
\mathl{q \in \Q}{.}
}{Die
\stichwort {bedingte Wahrscheinlichkeit} {}
zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{(M,P)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.}{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}{Der Satz über die Verteilung bei der $n$-fachen Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme den Kern der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^4} {\R^2
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über $\Q$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $B$ eine
$n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
\mathdisp {K^p \stackrel{B}{\longrightarrow} K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^m} { }
die zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathl{A \circ B}{} die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Wir betrachten die drei Ebenen
\mathl{E,F,G}{} im $\Q^3$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 5x-4y+3z = 2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 7x-5y+6z = 3 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 2x-y+4z = 5 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Bestimme sämtliche Punkte
\mathl{E \cap F \setminus E \cap F \cap G}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass die folgende Relation eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $\Z$ ist:
\mathdisp {x \sim y, \text{ falls } 6 \text{ ein Teiler von } x-y \text{ ist}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Löse das folgende
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{\Z/(7)}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
$K$ enthalte die Wurzeln
\mathkor {} {\sqrt[3]{2}} {und} {\sqrt[7]{2}} {.}
Zeige, dass $K$ auch
\mathl{\sqrt[21]{2}}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \begin{cases} 1,\, \text{ falls } n \text{ eine Primzahl ist} \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
\aufzaehlungzwei {Bestimme
\mathl{x_{117}}{} und
\mathl{x_{127}}{.}
} {Konvergiert die Folge in $\Q$?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0{,}523 \dotso} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den \stichwort {Satz von Vieta} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {-6 X^{9}-5X^8 -4X^7+ { \frac{ 1 }{ 9 } } X^6 + X^2 +X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^6$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+3+2)}
{
Aus den Zahlen
\mathl{\{1 , \ldots , n \}}{} wird zufällig eine Zahl ausgewählt.
\aufzaehlungdrei{Erstelle in Abhängigkeit von $n$ eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Zahl eine Quadratzahl ist.
}{Ist die Folge der Wahrscheinlichkeiten monoton?
}{Konvergiert diese Wahrscheinlichkeit, wenn $n$ gegen unendlich geht?
}
}
{} {}