Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/14/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 8 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabb {\varphi} {K^n} { K^m } {,} wobei $K$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bezeichnet.
}{Die
\stichwort {Äquivalenzklasse} {}
zu einem Element
\mathl{x \in M}{} in einer Menge $M$ mit einer
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
$\sim$.
}{Eine
\stichwort {beschränkte} {}
Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$.
}{Das \stichwort {geometrische Mittel} {} von zwei positiven reellen Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {.}
}{Der \stichwort {Kosinus} {} zu einem Winkel $\alpha$.
}{Das
\stichwort {Wahrscheinlichkeitsmaß} {}
auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{(M,f)}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {K^n} { K^m
} {}
heißt linear, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(u+v)
}
{ = }{ \varphi(u) + \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{u,v \in K^n}{.}
} {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi( s v)
}
{ = }{ s \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathkor {} {s \in K} {und} {v \in K^n} {.}
}
}{Die Äquivalenzklasse zu $x$ ist die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[x]
}
{ =} { { \left\{ y \in M \mid y \sim x \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Folge $x_n$ heißt beschränkt, wenn es ein Element
\mathl{B \in K}{} mit
\mathdisp {\betrag { x_n } \leq B \text { für alle } n \in \N} { }
gibt.
}{Die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{ a \cdot b}} { }
heißt das geometrische Mittel von
\mathkor {} {a} {und} {b} {.}
}{Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter
\mathl{\cos \alpha}{} die erste Koordinate des
\definitionsverweis {trigonometrischen Punktes}{}{}
$P(\alpha)$.
}{Die Abbildung
\maabbeledisp {\mu_f} { \mathfrak {P} \, (M ) } {\R_{\geq 0}
} {E} { \mu_f(E) = \sum_{x \in E} f(x)
} {,}
heißt
Wahrscheinlichkeitsmaß.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für $\Q$.}{Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in $\R$.}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Das Äquivalenzklassenmodell von $\Q$ ist mit der Addition
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ (a, b) ] + [ (c, d) ]
}
{ \defeq} {[ (ad+bc, bd) ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der Multiplikation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,b)] \cdot [(c,d)]
}
{ \defeq} {[(ac, bd)]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dem Nullelement
\mathl{[(0,1)]}{,} dem Einselement
\mathl{[(1,1)]}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,b)]
}
{ \geq} {[(c,d)]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ad
}
{ \geq} { bc
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
definierten Ordnung ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}}{Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in $\R$ konvergiert.}{Es seien
\mathl{a \leq b}{} reelle Zahlen und sei
\maabb {f} {[a,b]} { \R
} {}
eine stetige Funktion. Es sei
\mathl{y \in \R}{} eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {f(a)} {und} {f(b)} {.}
Dann gibt es ein
\mathl{x \in [a,b]}{} mit
\mathl{f(x)=y}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-7x+3y
}
{ =} {-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{
Es ist
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\ - { \frac{ 4 }{ 3 } } \end{pmatrix}}{} ein Punkt der Geraden, und der Richtungsvektor ist
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\7 \end{pmatrix}}{.} Somit ist
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ - { \frac{ 4 }{ 3 } } \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\7 \end{pmatrix} \mid t \in \Q \right\} }} { }
eine Beschreibung der Geraden in Punktrichtungsform.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & -2 & 7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}
}
{
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
+ y &
+5 z &
+2 w & = & 0 \\
3 x &
-2 y &
+7 z &
\, \, \, \, - w & = & 0 \\
2 x &
\, \, \, \, - y &
-4 z &
+3 w & = & 0 \,
\end{matrix}} { }
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable $y$. Das resultierende System ist
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ II'
}
{ = }{ II +2I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ III'
}
{ = }{ III+I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
+ y &
+5 z &
+2 w & = & 0 \\
7 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+17 z &
+3 w & = & 0 \\
4 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
+5 w & = & 0 \, .
\end{matrix}} { }
Wir eliminieren nun aus $II'$ mittels $III'$ die Variable $z$, das ergibt
\zusatzklammer {$II' -17 III'$} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
+ y &
+5 z &
+2 w & = & 0 \\
4 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
+5 w & = & 0 \\
-61 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
-82 w & = & 0 \, .
\end{matrix}} { }
Wir können jetzt dieses System lösen, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die anderen Variablen eindeutig festlegt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ 82
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ -61
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { -4x-5w
}
{ =} { - 4 \cdot 82 - 5 (-61)
}
{ =} { - 328+305
}
{ =} { -23
}
}
{}{}{.}
Schließlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ =} { -2x-5z-2w
}
{ =} { -2(82) -5 (-23) -2 (-61)
}
{ =} { -164 +115 + 122
}
{ =} { 73
}
}
{}{}{.}
Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit
\mathdisp {{ \left\{ s \begin{pmatrix} 82 \\73\\ -23\\-61 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
auf
\mathl{\N \times \N}{,} die durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } a+d = b+c} { , }
festgelegt ist, eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{
\aufzaehlungdrei{Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a+b
}
{ = }{b+a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b)
}
{ \sim }{(a,b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die Relation ist also reflexiv.
}{Die Symmetrie folgt daraus, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+d
}
{ = }{b+c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c+b
}
{ = }{d+a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}{Zum Nachweis der Transitivität sei
\mathkor {} {(a,b) \sim (c,d)} {und} {(c,d) \sim (e,f)} {,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+d
}
{ = }{b+c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c +f
}
{ = }{ d+e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+f+c
}
{ =} {a+d+e
}
{ =} {b+e+c
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund
der Abziehregel
ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+f
}
{ =} {b+e
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und dies bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b)
}
{ \sim }{(e,f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring $\Z/(5)$.
}
{
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\cdot$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $0$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $1$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $2$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $3$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ $4$ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $0$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $1$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $2$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $3$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ $4$ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ 0 }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 0 }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 0 }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ 0 }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ 0 }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ 0 }
\renewcommand{\azweixzwei}{ 1 }
\renewcommand{\azweixdrei}{ 2 }
\renewcommand{\azweixvier}{ 3 }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ 4 }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ 0 }
\renewcommand{\adreixzwei}{ 2 }
\renewcommand{\adreixdrei}{ 4 }
\renewcommand{\adreixvier}{ 1 }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ 3 }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ 0 }
\renewcommand{\avierxzwei}{ 3 }
\renewcommand{\avierxdrei}{ 1 }
\renewcommand{\avierxvier}{ 4 }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ 2 }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ 1 }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitfuenfxfuenf
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Zeige, dass sich Gruppenelemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
$\varphi$ von $\Z$ nach $G$ über die Korrespondenz
\mathdisp {g \longmapsto ( n \mapsto g^n ) \text{ und } \varphi \longmapsto \varphi(1)} { }
entsprechen.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
fixiert. Dass die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi_g} { \Z} {G
} {n} {g^n
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist, ist eine Umformulierung
der Potenzgesetze.
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_g(1)
}
{ = }{ g^{1}
}
{ = }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus
\maabb {\varphi} {\Z} {G
} {}
durch
\mathl{\varphi(1)}{} eindeutig festgelegt, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(n)
}
{ = }{ (\varphi(1))^{n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für $n$ positiv und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(n)
}
{ = }{ { \left( (\varphi(1))^{-1} \right) }^{-n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für $n$ negativ gelten muss.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Irrationalität der Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
}
{
Nehmen wir an, dass die rationale Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} { { \frac{ a }{ b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q^k
}
{ =} { { \left( { \frac{ a }{ b } } \right) }^k
}
{ =} { { \frac{ a^k }{ b^k } }
}
{ =} {n
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt. Wir multiplizieren mit $b^k$ und erhalten in $\N$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^k
}
{ =} { b^k \cdot n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
Satz 21.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
besitzt diese Zahl, nennen wir sie $z$, eine eindeutige Primfaktorzerlegung und insbesondere ist der $p$-\definitionsverweis {Exponent}{}{}
davon zu jeder Primzahl $p$ eindeutig bestimmt. Es sei $p$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass der $p$-Exponent von $n$ kein Vielfaches von $k$ ist, was es nach Voraussetzung geben muss. Von der rechten Seite der letzten Gleichung her ist der $p$-Exponent von $z$ kein Vielfaches von $k$, von der linken Seite her aber doch, was ein Widerspruch ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=2$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { { \frac{ 2 + { \frac{ 5 }{ 2 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 9 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 9 }{ 4 } } + { \frac{ 5 }{ \, { \frac{ 9 }{ 4 } } \, } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 9 }{ 4 } } + { \frac{ 20 }{ 9 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 81+80 }{ 72 } }
}
{ =} { { \frac{ 161 }{ 72 } }
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_3
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 161 }{ 72 } } + { \frac{ 5 }{ \, { \frac{ 161 }{ 72 } } \, } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 161 }{ 72 } } + { \frac{ 360 }{ 161 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 25921 + 25920 }{ 23184 } }
}
{ =} { { \frac{ 51841 }{ 23184 } }
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine Nullfolge in $K$ und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ eine beschränkte Folge in $K$. Zeige, dass dann auch die Produktfolge $( x_n y_n)_{n \in \N}$ eine Nullfolge ist.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Schranke für
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Da
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Nullfolge ist, gibt es zu
\mathl{{ \frac{ \epsilon }{ B } }}{} ein $n_0$ derart, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \leq }{ { \frac{ \epsilon }{ B } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Für diese Indizes ist dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n y_n }
}
{ =} { \betrag { x_n } \cdot \betrag { y_n }
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ B } } \cdot B
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in $\Q$ konvergenten Folgen ein \definitionsverweis {Ideal}{}{?}
}
{
Die konstante Folge
\mathl{x_n=1}{} ist eine konvergente Folge. Die Folge
\mathl{y_n=n}{} gehört zum rationalen Folgenring $\Q^\N$, es ist
\mathl{x_ny_n=y_n}{} und dies ist nicht konvergent. Es liegt also kein Ideal vor.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {2,07 \overline{203}} { }
gegeben ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{2{,}07 \overline{203}
}
{ =} { 2{,}07 + 0{,}00 \overline{203}
}
{ =} { { \frac{ 207 }{ 100 } } + { \frac{ 1 }{ 100 } } \cdot 0{,} \overline{203}
}
{ =} { { \frac{ 207 }{ 100 } } + { \frac{ 1 }{ 100 } } \cdot 203 \cdot 0{,} \overline{001}
}
{ =} { { \frac{ 207 }{ 100 } } + { \frac{ 1 }{ 100 } } \cdot 203 \cdot { \frac{ 1 }{ 999 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 207 }{ 100 } } + { \frac{ 203 }{ 99900 } }
}
{ =} { { \frac{ 206793+203 }{ 99900 } }
}
{ =} { { \frac{ 206996 }{ 99900 } }
}
{ =} { { \frac{ 51749 }{ 24975 } }
}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang $d$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.
}
{
Bei konstantem Umfang $d$ ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bestimmt, die andere Seitenlänge ist
\mathl{{ \frac{ d }{ 2 } } -s}{} und der Flächeninhalt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s { \left( { \frac{ d }{ 2 } } -s \right) }
}
{ =} {s { \frac{ d }{ 2 } } - s^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beim Quadrat ist die Seitenlänge gleich
\mathl{{ \frac{ d }{ 4 } }}{} und der Flächeninhalt gleich
\mathl{{ \frac{ d^2 }{ 16 } }}{.} Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s { \frac{ d }{ 2 } } - s^2
}
{ \leq} { { \frac{ d^2 }{ 16 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Dies ist wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ d^2 }{ 16 } } - s { \frac{ d }{ 2 } } + s^2
}
{ =} { { \left( s - { \frac{ d }{ 4 } } \right) }^2
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Forme die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^5+10x^4+x-5
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in eine äquivalente Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^5 +b_3y^3 + b_2y^2 + b_1y +b_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_i
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
um.
}
{
Wir machen den Ansatz
\mathl{x=y+c}{.} Einsetzen ergibt
\mathdisp {(y+c)^5 +10 (y+c)^4 +y+c -5 =0} { , }
wobei der Koeffizient zu $y^4$ gleich $0$ werden soll. Dieser Koeffizient ist
\mathl{5c +10}{,} also muss man
\mathdisp {c = - 2} { }
wählen. Damit wird das Polynom zu
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\,
}
{ =} { (y+c)^5 +10 (y+c)^4 +y+c-5
}
{ =} {(y -2)^5 +10 (y-2)^4 +y-2-5
}
{ =} { y^5 -5 \cdot 2 y^4 +10 (-2)^2 y^3 +10 (-2)^3 y^2 +5 (-2)^4 y -2^5
}
{ \, \, \,} {+ 10(y^4+4(-2)y^3 + 6(-2)^2y^2+4(-2)^3y +16) +y -7
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { y^5 + 40 y^3 -80 y^2 + 80 y -32 -80 y^3 + 240 y^2 -320y +160 +y -7
}
{ =} { y^5 -40y^3 +160 y^2 -239 y +121
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
und die äquivalente Gleichung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^5 -40y^3 +160 y^2 -239 y +121
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Man finde ein Polynom
\mathl{f \in \R[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(3)
}
{ = }{9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Das Polynom $X^2$ erfüllt offenbar diese Eigenschaften.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{a \in \R}{} und seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
stetige Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ >} {g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mathl{\delta >0}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ >} {g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in [a - \delta,a + \delta]}{} gilt.
}
{
Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ \defeq} { f(a) -g(a)
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
stetig sind, gibt es zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ \defeq} { { \frac{ c }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
positive Zahlen
\mathkor {} {\delta_1} {bzw.} {\delta_2} {}
derart, dass aus
\mathl{\betrag { x-a } \leq \delta_1}{} die Abschätzung
\mathl{\betrag { f(x)-f(a) } \leq \epsilon}{} und aus
\mathl{\betrag { x-a } \leq \delta_2}{} die Abschätzung
\mathl{\betrag { g(x)-g(a) } \leq \epsilon}{} folgt. Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\delta
}
{ \defeq} { {\min { \left( \delta_1, \delta_2 , \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt somit für jedes
\mathl{x \in [a- \delta, a+ \delta]}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \geq} { f(a) - \epsilon
}
{ >} { g(a) + \epsilon
}
{ \geq} { g(x)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne
\mathdisp {5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq} { 5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^3
}
{ \leq} {5^2
}
{ =} {25
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2,9)^3
}
{ =} { 24,389
}
{ <} {25
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^3
}
{ =} {27
}
{ >} {25
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2,9
}
{ <} { 5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }
}
{ <} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{8 (1+1+1+2+3)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Standardparabel und $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt $(0,1)$ und dem Radius $1$.
\aufzaehlungfuenf{Skizziere
\mathkor {} {P} {und} {K} {.}
}{Erstelle eine Gleichung für $K$.
}{Bestimme die Schnittpunkte
\mathdisp {P \cap K} { . }
}{Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von
\mathl{[-1,1]}{} nach $\R$.
}{Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{ $\,$
}{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{K
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (y-1)^2+x^2 = 1 \right\} }
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y^2 -2y +1+x^2 = 1 \right\} }
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y^2 -2y +x^2 = 0 \right\} }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}{Es geht um die gemeinsame Lösungsmenge der beiden Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 -2y +x^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir ersetzen in der zweiten Gleichung $x^2$ durch $y$ und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { y^2-2y+y
}
{ =} { y^2-y
}
{ =} { y(y-1)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mathkor {} {y=0} {oder} {y=1} {.}
Dies führt zu den drei Schnittpunkten
\mathl{(0,0),(1,1),(-1,1)}{.}
}{Die Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 -2y +x^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2-2y
}
{ =} { -x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (y-1)^2
}
{ =} { 1-x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 1 \pm \sqrt{1-x^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der untere Kreisbogen ist somit der Graph der Funktion
\maabbeledisp {} {[-1,1]} { \R
} {x} { 1 - \sqrt{1-x^2}
} {.}
}{Wir behaupten, dass die Parabel auf
\mathl{[-1,1]}{} oberhalb des unteren Kreisbogens verläuft. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \geq} {1 - \sqrt{1-x^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{1-x^2}
}
{ \geq} { 1-x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da beide Terme im angegebenen Intervall positiv sind, ist dies äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1-x^2
}
{ \geq} { { \left( 1-x^2 \right) }^2
}
{ =} { 1 +x^4-2x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^4 -x^2
}
{ \leq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 -1
}
{ \leq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was wegen
\mathl{x \in [-1,1]}{} erfüllt ist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{
Skat wird mit $32$ Karten gespielt, dabei gibt es vier Könige und vier Damen \zusatzklammer {die Buben werden in dieser Aufgabe als Kinder betrachtet} {} {.} Der \anfuehrung{Skat}{} besteht aus zwei zufälligen Karten und spielt eine besondere Rolle. \aufzaehlungdrei{Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind? }{Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gleichgeschlechtliches Paar ist? }{Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat ein gemischtgeschlechtliches Paar ist? }
}
{
\aufzaehlungdrei{Es gibt insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { 32 } { 2 }
}
{ =} { { \frac{ 32 \cdot 31 }{ 2 } }
}
{ =} { 16 \cdot 31
}
{ =} { 496
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Möglichkeiten. Für einen reinen Königsskat gibt es
\mathl{\binom { 4 } { 2 }=6}{} Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass im Skat zwei Könige sind, ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 6 }{ 496 } }
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 248 } }
}
{ =} { 0,012096774...
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt nur die beiden Möglichkeiten zwei Könige oder zwei Damen. Diese Ereignisse sind disjunkt, somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot { \frac{ 3 }{ 248 } }
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 124 } }
}
{ =} {0,024193548...
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für ein Paar der Form ein König und eine Dame gibt es
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4 \cdot 4
}
{ =} { 16
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Paar im Skat beträgt somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 16 }{ 496 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 31 } }
}
{ =} {0,032258065 ...
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen
\mathl{x,y}{} aus
\mathl{\{1,2 , \ldots , 10\}}{} gezogen
\zusatzklammer {mit Zurücklegen} {} {.}
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy
}
{ \geq} {50
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Jedes Paar
\mathl{(x,y)}{} besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit ${ \frac{ 1 }{ 100 } }$. Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare die Eigenschaft besitzen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy
}
{ \geq} { 50
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dazu zählen wir, wie viele Möglichkeiten es für $y$ bei gegebenem $x$ gibt. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es für $y$ die Möglichkeiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {5,6,7,8,9,10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also insgesamt $6$ Möglichkeiten. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es $5$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es $4$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es $3$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es $2$ Möglichkeiten für $y$, bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es $1$ Möglichkeit für $y$. Insgesamt gibt es also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6+5+4+3+2+1
}
{ =} { 21
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Möglichkeiten und somit besitzt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt zumindest $50$ ist, den Wert
\mathl{{ \frac{ 21 }{ 100 } }}{.}
}