Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/16/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	1	5	4	7	3	3	5	5	5	3	5	7	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Linearkombination zu Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$.
2. Die Matrizenmultiplikation.
3. Die Transitivität einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.
4. Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$.
5. Ein vollständig angeordneter Körper ${}K$.
6. Die Unabhängigkeit von Ereignissen

   ${}E,F\subseteq M\,$

   in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,P)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Der Satz über die Intervallschachtelung.
3. Das Gesetz der großen Zahlen für den Münzwurf.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}5x-7y-4z&=&0\\2x+y-3z&=&0\\7x+6y-2z&=&0\,\end{matrix}}$

nur die triviale Lösung ${}(0,0,0)$ besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\rightarrow \mathbb {Q} ^{2}$ eine lineare Abbildung mit

${}\varphi (e_{1})={\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}\,,$

${}\varphi (e_{2})={\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}\,$

und

${}\varphi (e_{3})={\begin{pmatrix}4\\-11\end{pmatrix}}\,.$

Berechne ${}\varphi {\left({\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}\right)}$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bei einem vollständigen ungerichteten Graphen mit ${}4$ Ecken ist jede Ecke mit jeder (anderen) Ecke verbunden. Zeichne einen solchen Graphen in der Ebene ohne Überschneidungen.

Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$, ${}x+18$ und ${}x+24$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$, ${}x+18$ und ${}x+24$ Primzahlen sind?
3. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+6$, ${}x+12$ und ${}x+18$ Primzahlen sind?

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

${}x'=2^{-1}\cdot {\left(x+{\frac {c}{x}}\right)}\,$

des Heron-Verfahrens in ${}\mathbb {Z} /(5)$ für ${}c=3$. Zeige, dass für sämtliche Startglieder ${}x_{0}\neq 0$ stets eine nichtkonstante Folge entsteht.

Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

1. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert, aber ${}x_{n}-y_{n}$ nicht konvergiert.
2. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert, aber ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ nicht konvergiert.
3. Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert. Es gebe ein ${}a>0$ mit

   ${}y_{n}\geq a\,$

   für alle ${}n$. Zeige, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0{,}{\overline {142857}}$

gegeben ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den Konzepten Terme und Polynome.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}z\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt ein Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$, ${}P\neq 0$, mit ganzzahligen Koeffizienten und mit ${}P(z)=0$.
2. Es gibt ein Polynom ${}Q\in \mathbb {Q} [X]$, ${}Q\neq 0$, mit ${}Q(z)=0$.
3. Es gibt ein normiertes Polynom ${}R\in \mathbb {Q} [X]$ mit ${}R(z)=0$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Forme die Gleichung

${}x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7=0\,$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${}y^{4}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,$

mit ${}b_{i}\in \mathbb {Q}$ um.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

stetig ist.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Für die Eulersche Zahl ${}e$ seien die Abschätzungen

${}2,71\leq e\leq 2,72\,$

bekannt.

1. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{2}$ sagen?
2. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von ${}e^{-1}$ sagen?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}a,b,x,y$ positive reelle Zahlen und es gelte

${}a^{x}<b^{y}\,.$

Zeige, dass es positive rationale Zahlen ${}c,z$ mit

${}a^{x}<c^{z}<b^{y}\,$

gibt.

Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

In einem Kurs nehmen ${}n$ Personen teil. Für die Person ${}i$ ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Klausur durchzufallen, gleich ${}q_{i}$. Es wird eine Klausur und eine Nachklausur geschrieben, wobei sich diese Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.

1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in der ersten Klausur durchfällt, gleich ${}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}$ ist.
2. Die Nachklausur schreiben nur die Personen mit, die in der ersten Klausur durchgefallen sind. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus diesem Personenkreis zufällig ausgewählte Person bei der zweiten Klausur ebenfalls durchfällt, gleich ${}{\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}$ ist.
3. Zeige, dass die unter (2) berechnete Wahrscheinlichkeit größergleich der unter (1) berechneten Wahrscheinlichkeit ist.