Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/23/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	0	8	3	6	2	4	2	3	4	5	4	8	2	59

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Diagonalmatrix.
2. Der Kern zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

3. Eine Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
4. Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
5. Die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

6. Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für Basen im ${}K^{m}$.
2. Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.

Aufgabe * (2 Punkte)

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Die Karte zeigt Österreich mit seinen Bundesländern und den zugehörigen Hauptstädten (die Hauptstadt des Bundeslandes Wien ist Wien, Tirol ist ein Bundesland). Es sei ${}M$ die Menge der Bundesländer und sei ${}R$ die Relation auf ${}M$, die die Angrenzungsbeziehung (Nachbarschaftsbeziehung) beschreibt. Dabei legen wir fest, dass ein Land auch zu sich selbst benachbart ist.

1. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt diese Relation?
2. Bestimme die Faser zu Kärnten.
3. Gibt es eine Kette ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ in ${}M$ mit ${}x_{i}Rx_{i+1}$ für alle ${}i$, bei der jedes Bundesland genau einmal vorkommt?

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

1. Finde den kleinsten Exponenten ${}n\geq 2$ derart, dass die Potenzierung

   $\mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{n},$

   die Identität ist.

2. Was bedeutet dies für die Endziffer im Zehnersystem beim Potenzieren von natürlichen Zahlen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}$ eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{4}-20X^{2}+16$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

In ${}\mathbb {Q}$ sei eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben, deren Anfangsglieder durch ${}x_{0}=0$, ${}x_{1}=0,7$, ${}x_{2}=0,73$, ${}x_{3}=0,734$ gegeben sind. Muss die Folge in ${}\mathbb {Q}$ konvergieren? Muss die Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergieren? Kann die Folge in ${}\mathbb {Q}$ konvergieren? Kann die Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergieren?

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+cX^{2}$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-2)=3,\,f(0)=2,\,f(1)=4.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

${}x^{2}+{\frac {1}{x}}=3\,$

eine reelle Lösung im Intervall ${}[1,2]$ besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

stetig ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$, wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}y-3x+1=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(-2,3)$ und den Radius ${}4$ gegeben ist.

Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)

Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine ${}1$ (alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken). Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man aus zwei benachbarten Zahlen der Zeile das arithmetische Mittel bildet und dieses in der nächsten Zeile unterhalb der beiden Zahlen hinschreibt.

1. Bestimme die ersten fünf Zeilen (also Zeile ${}0$ bis Zeile ${}4$).
2. Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich ${}1$ ist.
3. Zeige, dass in der ${}n$-ten Zeile die Zahlen ${}B_{{\frac {1}{2}},n}(k)$, ${}k=0,1,\ldots ,n$, der Binomialverteilung stehen.

Aufgabe (2 Punkte)

Man beschreibe eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten addiert werden, und eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden.