Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	3	2	4	3	3	4	3	4	2	3	7	4	3	6	63

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein affiner Unterraum ${}S\subseteq K^{n}$.
2. Die Elementarmatrizen.
3. Die Antisymmetrie einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.
4. Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$.
5. Eine irrationale Zahl.
6. Der Logarithmus zu einer reellen Basis ${}b>0$, ${}b\neq 1$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$.
2. Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen und sei

$f\colon M\longrightarrow N$

eine surjektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

$s\colon N\longrightarrow M$

mit

${}f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,$

gibt es?

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

${}x'=2^{-1}\cdot {\left(x+{\frac {c}{x}}\right)}\,$

des Heron-Verfahrens in ${}\mathbb {Z} /(7)$ für ${}c=3$. Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in K_{+}$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Summenfolge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ ein Ring mit ${}0\neq 1$ und

$\varphi \colon K\longrightarrow R$

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$1{,}{\overline {4211}}$

gegeben ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt ${}c$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

${}P=7X^{11}-3X^{8}+{\frac {3}{2}}X^{6}-X+5\,$

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu ${}X^{5}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ vom Grad ${}\leq 2$, für welches

$f(1)=10,\,f(-2)=1,\,f(3)=16$

gilt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne

$2^{\frac {9}{10}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Lucy Sonnenschein und ihre kleine Schwester Veronika befinden sich auf der Zahlengeraden im Punkt ${}0$. Beide führen unabhängig voneinander fünf Sprünge aus, wobei die Sprünge von Lucy mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Einheiten nach rechts oder nach links und die Sprünge von Veronika mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Einheit nach links oder nach rechts gehen.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy sich zum Schluss in der Position ${}6$ befindet?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Veronika sich zum Schluss in einer Position befindet, die vom Nullpunkt den Abstand ${}5$ besitzt?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy und Veronika sich zum Schluss in der gleichen Position befinden?