Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/8/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 14 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 1 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {invertierbare} {} $n \times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
}{Die \stichwort {Symmetrie} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.
}{Eine $k$-te
\stichwort {Wurzel} {}
zu
\mathl{r \in R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Halbring}{}{}
$R$.
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}
}{Die
\stichwort {vollständige Unabhängigkeit} {}
von Ereignissen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E_1 , \ldots , E_k
}
{ \subseteq} { M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {endlichen Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mathl{(M, \mu)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.}{Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.}{Das
\stichwort {Folgenkriterium} {}
für die Stetigkeit einer Abbildung
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Überführe die Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in ein lineares Gleichungssystem.
} {Löse dieses lineare Gleichungssystem.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Beschreibe die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft, in Punktvektorform.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{14 (3+2+2+7)}
{
Betrachte auf $\Z \times (\Z \setminus \{0\})$ die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d),\, \text{ falls } ad = bc \text{ ist}} { . }
a) Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
b) Zeige, dass es zu jedem $(a,b)$ ein äquivalentes Paar $(a',b')$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b'
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
c) Es sei $M$ die Menge der \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\Z} {M } {z} { [ (z,1)] } {.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
d) Definiere auf $M$
\zusatzklammer {aus Teil c} {} {}
eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
$+$ derart, dass
$M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0,1)]$ als neutralem Element eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
wird, und dass für die Abbildung $\varphi$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(z_1 + z_2)
}
{ =} {\varphi(z_1) + \varphi(z_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_1,z_2
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ \neq} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {]0,1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2
}
{ =} { c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Die beiden reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
besitzen die Dezimalentwicklungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {0{,}2 \overline{13}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {0{,}\overline{127}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme die Dezimalentwicklung von
\mathl{x+y}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige unter Verwendung
der Bernoullischen Ungleichung,
dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {wachsend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2-7x+5 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3X+X^2 \right) } \cdot { \left( -5+4X-3 X^2 \right) }} { }
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$\Q[X]$.
} {Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( 2-3 \sqrt{2} +\sqrt{2}^2 \right) } \cdot { \left( -5+4\sqrt{2}-3 \sqrt{2}^2 \right) }} { }
in $\R$ auf zwei verschiedene Arten.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Z/(6)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} verschiedene \definitionsverweis {normierte Polynome}{}{} vom Grad $d$ über einem Körper $K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu einer streng wachsenden, stetigen Funktion \maabb {f} {I} {\R } {,} zu einem Intervall $I\subseteq \R$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Mustafa Müller darf zu seinem $n$-ten Geburtstag aus seiner Klasse $n$ Kinder einladen. Heute wird er $8$, in seiner Klasse gibt es neben ihm $30$ Kinder. Da alle Kinder nett sind, wählt er zufällig aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die $7$ Kinder vom letztjährigen Geburtstag wieder eingeladen werden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Aus den Zahlen
\mathl{\{1 , \ldots , 10\}}{} werden zufällig fünf Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den gezogenen Zahlen keine Teilbarkeitsbeziehung gibt.
}
{} {}