Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/9/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 10 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwortpraemath {m \times n} {Matrix}{} über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {Relation} {} zwischen Mengen \mathkor {} {M} {und} {N} {.}
}{Ein
\stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Ein \stichwort {halboffenes Intervall} {} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.
}{Eine \stichwort {Nullfolge} {} in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Kreis} {} mit dem Mittelpunkt $(a,b)$ und dem Radius $r$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Basen im
\mathl{K^m}{.}}{Die Eigenschaften des Cauchy-Folgen-Modells der reellen Zahlen.}{Die
\stichwort {Division mit Rest} {}
im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-5y+7z
}
{ =} {-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2 x+4y+3z
}
{ =} {9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige die folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Für jede
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
\mathl{\sum_{i = 1}^k s_i v_i}{} in $K^n$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^ks_i v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Gartentoreverbindung.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Gartentoreverbindung.png } {} {Bocardodarapti} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10 (2+2+5+1)}
{
Wir betrachten auf $\N_+$ die Relation $\sim$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ \sim} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt ist, falls $m$ eine Potenz von $n$ und $n$ eine Potenz von $m$ teilt.
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
}{Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
\mathdisp {100,\, 1000, \, 9,\, 125, \, 500 , \, 27, \, 10, \, 210} { . }
}{Es sei $Q$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei $\mathbb P$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge
\mathl{\mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )}{.} Zeige, dass es eine natürliche Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\N_+} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )
} {}
gibt, die zu einer injektiven Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )
} {}
führt. Ist $\tilde{\varphi}$ surjektiv?
}{Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{44}}{} in
\mathl{\Z/(97)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} derart, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \geq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$ gibt. Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x_n } }}{} ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { 0{,}523\,107\,34\dotso
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 0{,}346\,892\,65\dotso
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und sei $P \in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { x^3-5x^2-x+2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x+2 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(-2) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 20 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {endlichen Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mathl{\{ a,b,c,d,e\}}{}
mit der
\definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsdichte}{}{}
\mathdisp {f(a) = { \frac{ 1 }{ 100 } } ,\, f(b) = { \frac{ 1 }{ 25 } } = { \frac{ 4 }{ 100 } } ,\, f(c) = { \frac{ 1 }{ 5 } } = { \frac{ 20 }{ 100 } } ,\, f(d) = { \frac{ 1 }{ 4 } } = { \frac{ 25 }{ 100 } },\, f(e) = { \frac{ 1 }{ 2 } } = { \frac{ 50 }{ 100 } }} { . }
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
\aufzaehlungvier{
\mathl{\{a, e\}}{,}
}{
\mathl{\{b,c,e\}}{,}
}{
\mathl{\{a, c,d\}}{,}
}{
\mathl{\{a,b,d,e\}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+2+1)}
{
Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde.
\aufzaehlungdrei{In welchem minimalen Bereich der Form
\mathl{\{5-k , \ldots , 5+k \}}{} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 0{,}9$?
}{In welchem minimalen Bereich der Form
\mathl{\{5-k , \ldots , 5+k \}}{} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 0{,}6$?
}{In welchem minimalen Bereich der Form
\mathl{\{5-k , \ldots , 5+k \}}{} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 25\,\%$?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Welche Eigenschaften der reellen Zahlen kann man am Zahlenstrahl gut illustrieren, für welche ist das schwierig?
}
{} {}