Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 23/latex

\setcounter{section}{23}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Löse in $\Q$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ 3 } } x - { \frac{ 1 }{ 5 } } }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 4 } } x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Artikuliere die beiden folgenden Brüche mit \anfuehrung{tel}{} \aufzaehlungzwei {
\mathl{{ \frac{ 500 }{ 19 } }}{,} } {
\mathl{{ \frac{ 509 }{ 10 } }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sind die beiden rationalen Zahlen
\mathdisp {{ \frac{ 25746 }{ 32987 } } \text{ und } { \frac{ 47556 }{ 60931 } }} { }
gleich oder verschieden?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die gekürzte Darstellung für den Bruch
\mathdisp {{ \frac{ 1517 }{ 1591 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die gekürzte Darstellung \zusatzklammer {ausgerechnet} {} {} für den Bruch
\mathdisp {{ \frac{ 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^3 \cdot 151 }{ 2^7 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^{2} \cdot 151^2 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Darstellung der Zahlen
\mathdisp {{ \frac{ 41 }{ 125 } } ,\, - { \frac{ 91 }{ 350 } } ,\, { \frac{ 69 }{ 222 } } ,\,} { }
mit dem kleinstmöglichen Hauptnenner.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Im Bruch
\mathdisp {{ \frac{ {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} }{ {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} {{|}} } }} { }
sind Zähler und Nenner im Strichsystem angegeben. Man gebe die entsprechende gekürzte Darstellung an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Rechne den im Fünfersystem gegebenen Bruch
\mathdisp {{ \frac{ 214 }{ 303 } }} { }
in das Zehnersystem um.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Rechne den Bruch
\mathdisp {{ \frac{ 219 }{ 95 } }} { }
in das Dreiersystem um.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne im Vierersystem
\mathdisp {{ \frac{ 321 }{ 203 } } + { \frac{ 131 }{ 301 } }} { }
\zusatzklammer {das Ergebnis muss nicht gekürzt sein} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die natürliche \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\Z} {\Q } {n} { { \frac{ n }{ 1 } } } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Addiere die ersten fünf Stammbrüche.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Multiplikation von rationalen Zahlen wohldefiniert ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe die Antworten als Bruch \zusatzklammer {bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß} {} {:} Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man erläutere die Uhrzeitangaben \anfuehrung{halb fünf}{,} \anfuehrung{viertel fünf}{,} \anfuehrung{drei viertel fünf}{.} Was würde \anfuehrung{ein sechstel fünf}{} und \anfuehrung{drei siebtel fünf}{} bedeuten?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {3^2 \cdot 5^{-1} \cdot 7^{-2} + 2^{-4} \cdot 5^{-2} \cdot 7} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {{ \frac{ \,\, \,\, { \frac{ -7 }{ 11 } } \,\,\,\, }{ \,\,\,\, { \frac{ 13 }{ -9 } }\,\, \,\, } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise durch Induktion die folgende Formel.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1+\sum_{i = 1}^n \frac{2^{2(i-1)} }{3^i} }
{ =} { { \left( \frac{4}{3} \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse in $\Q$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 7 }{ 11 } } +x }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 9 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse in $\Q$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 5 } } x - { \frac{ 2 }{ 7 } } }
{ =} { { \frac{ 4 }{ 3 } } - { \frac{ 5 }{ 6 } } x + { \frac{ 1 }{ 2 } } x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie $30$ km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch $30$ km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es soll Holz unterschiedlicher Länge \zusatzklammer {ohne Abfall} {} {} in Stücke zerlegt werden, die zwischen $30$ und
\mathl{40}{} cm lang sein sollen \zusatzklammer {jeweils einschließlich} {} {.} Für welche Holzlängen ist dies möglich?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zwei Schwimmer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} schwimmen auf einer $50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer $A$ schwimmt $3 m/s$ \zusatzklammer {das ist besser als der Weltrekord} {} {} und Schwimmer $B$ schwimmt $2 m/s$. \aufzaehlungfuenf{Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen \mathkor {} {0} {und} {100} {} Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt \zusatzklammer {wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden} {} {} entfernt ist. }{Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer $A$ \zusatzklammer {und Schwimmer $B$} {} {} nach $30$ Sekunden? }{Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal \zusatzklammer {abgesehen vom Start} {} {?} }{Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer \zusatzklammer {Start mitzählen} {} {?} }{Wie oft überrundet Schwimmer $A$ den Schwimmer $B$? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine Gitarrensaite schwingt beim Ton c ca. $131$ mal pro Sekunde hin und her \zusatzklammer {also $131$ Hertz} {} {.} Wie oft schwingt die Große Septime dazu pro Sekunde? Wie oft schwingt die Quarte zu c pro Minute?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der Preis für eine Maß Bier auf der Münchner Wiesn steht zum Vorjahrespreis im Verhältnis
\mathl{14:13}{.} In welchem Verhältnis steht der heutige Preis zum Preis von vor zehn Jahren?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es ganze Zahlen $a,b$ derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 100 } } }
{ =} { a { \frac{ 1 }{ 4 } } + b { \frac{ 1 }{ 25 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Finde solche Zahlen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde ganze Zahlen $a,b$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 15 } } }
{ =} { a { \frac{ 1 }{ 3 } } + b { \frac{ 1 }{ 5 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{a,b}{} positive natürliche Zahlen. Die Summe der \definitionsverweis {Stammbrüche}{}{} ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } } }
{ =} { { \frac{ b+a }{ ab } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass bei $a,b$ \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} diese Darstellung gekürzt ist.

b) Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die \stichwort {Nichtnullteilereigenschaft} {} für einen Körper $K$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige direkt, dass für \definitionsverweis {rationale Zahlen}{}{} \mathkor {} {{ \frac{ a }{ b } }} {und} {{ \frac{ c }{ d } }} {} das Produkt nur dann $0$ sein kann, wenn eine der Zahlen $0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Körperelement $n_K$ zuordnen kann, derart, dass $0_K$ das Nullelement in $K$ und $1_K$ das Einselement in $K$ ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (n+1)_K }
{ =} { n_K+1_K }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften
\mathdisp {(n+m)_K = n_K + m_K \text{ und } (nm)_K = n_K \cdot m_K} { }
besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen $\Z$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente aus $K$. Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus $\N$ sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von
\mathl{u^k}{} gleich
\mathl{{ \left( u^{-1} \right) }^k}{} ist, verwenden. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{m+n} }
{ =} { a^m \cdot a^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^{m} \right) }^n }
{ =} { a^{m n } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a\cdot b)^n }
{ =} { a^n \cdot b^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass jede \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine eindeutige Darstellung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { \pm \prod_p p^{{ \exp_p(z) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzt, wobei das \zusatzklammer {endliche} {} {} Produkt sich über \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} erstreckt und die Exponenten
\mathl{{ \exp_p(z) } \in \Z}{} sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Finde die gekürzte Darstellung von
\mathdisp {{ \frac{ 8586305 }{ 7190755 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Eine lineare Funktion \maabbdisp {\varphi} {\Q} {\Q } {} hat an der Stelle
\mathl{{ \frac{ 11 }{ 13 } }}{} den Wert
\mathl{{ \frac{ 7 }{ 17 } }}{.} Welchen Wert hat sie an der Stelle
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 19 } }}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die \anfuehrung{Rechenregel}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } + { \frac{ c }{ d } } }
{ =} { { \frac{ a+c }{ b+d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,c }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b, d, b+d }
{ \in }{ \Z \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d,b+d }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wo diese Regel gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {p} {und} {q} {} verschiedene \definitionsverweis {Primzahlen}{}{.} Zeige, dass es ganze Zahlen $a,b$ derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ pq } } }
{ =} { a { \frac{ 1 }{ p } } + b { \frac{ 1 }{ q } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}